第4章三角函数、解三角形

1、第四章 三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k·360°，kZ.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度

2、与弧度的换算1° rad；1 rad°弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然.(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×)(4)若

3、，则tan sin .()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(×)2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45°(kZ) B.k·360°(kZ)C.k·360°315°(kZ) D.k(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确. 答案C3.(2016·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP，则点P的坐标是()A.(cos ，sin ) B.(cos ，sin )C.(sin ，cos ) D.(

4、sin ，cos )解析由三角函数的定义知xPcos ，yPsin ，故选A.答案A4.函数y的定义域为_.解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).x(kZ). 答案(kZ)5.(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度. 答案考点突破 分类讲练，以例求法考点一象限角与三角函数值的符号【例1】 (1)若角是第二象限角，则是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)如果sin ·tan 0且sin cos (0，1)，那么角的终边在()A.第一象限 B.第二

5、象限 C.第三象限 D.第四象限解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角.(2)sin ·tan 0，cos 0，(sin cos )212sin cos (0，1)，sin cos 0，sin 0，为第二象限.答案(1)C(2)B规律方法(1)已知所在的象限，求或n(nN*)所在象限的方法是：将的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限.(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°(

6、0°360°，kZ)的形式，即找出与此角终边相同的角，再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角.(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.【训练1】 (1)设是第三象限角，且cos ，则是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角(2)若tan 0，则()A.sin 20 B.cos 0 C.sin 0 D.cos 20解析(1)由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角.(2)由tan 0可得的终边在第一象限或第三象限，此时sin 与cos 同号

7、，故sin 22sin cos 0，故选A. 答案(1)B(2)A考点二三角函数的定义【例2】 已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值.解由题意得，r，sin m.m0，m±. 故角是第二或第三象限角.当m时，r2，点P的坐标为(，)，cos ，tan .当m时，r2，点P的坐标为(，).cos ，tan .综上可知，cos ，tan 或cos ，tan .规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此

8、时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).【训练2】 (1)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2等于()A. B. C. D.(2)(2016·湖州联考)已知锐角的终边上一点P(sin 40°，1cos 40°)，则等于() A.10° B.20° C.70° D.80°解析(1)取终边上一点(a，2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ±，故cos 22cos21.(2)由题意可知sin 40°0，1cos 40°0，点P在第一

9、象限，OP的斜率tan tan 70°，由为锐角，可知为70°.故选C. 答案(1)B(2)C考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为 (>0)，所在圆的半径为R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则60°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2).(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇

10、83;R2···.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.弧长和扇形面积公式：l|R，S|R2lR.【训练3】 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_ cm和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_ cm2.解析设扇形圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形|·r22rr2(r1)21，当r1时，(S扇形)max1，此时|2. 答案121课堂总结 反思归纳，感悟提升思想方法1.任意角的三角函数值仅与

11、角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关.若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的.如有可能则取终边与单位圆的交点.其中|OP|r一定是正值.2.三角函数值的符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.易错防范1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180° rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.已知三角函数值的符

12、号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan ；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±，±的正弦、余弦、正切的诱导公式.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看

13、象限诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)sin2cos21.(×)(2)sin()sin 成立的条件是为锐角.(×)(3)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()(5)若sin(k)(kZ)，则sin .(×)2.若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A. B. C. D.解析sin ，且为第四象限角，cos ，tan ，故选D. 3.设asin 33°，bcos 55°，ctan 35&

14、#176;，则()A.abc B.bca C.cba D.cab解析bcos 55°sin 35°sin 33°a，ba.又ctan 35°sin 35°cos 55°b，cb.cba.故选C.4.已知f()，则f的值为()A. B. C. D.解析f()cos ，fcoscoscos . 答案A5.(人教A必修4P22B3改编)已知tan 2，则的值为_.解析原式3. 答案3考点突破 分类讲练，以例求法考点一同角三角函数基本关系式的应用【1】 (1)(2016·宁波诊断)已知sin()log8 ，且，则tan(2)的值为(

15、)A. B. C.± D.(2)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2 ()A. B. C. D.(3)已知sin cos ，且0，则tan _.解析(1)sin()sin log8 ，又因为，则cos ，所以tan(2)tan()tan .(2)由于tan 2，则sin2sin cos 2cos2.(3)0，sin cos ， (sin cos )2，即12sin cos ，2sin cos 0，sin 0，cos 0，(sin cos )212sin cos ，sin cos ，由得，sin ，cos ，tan .答案(1)B(2)D(3)规律方法(1)利用sin2

16、cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二.(3)若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型.【训练1】 (1)若3sin cos 0，则的值为()A. B. C. D.2(2)已知sin cos ，(0，)，则tan ()A.

17、1 B. C. D.1解析(1)3sin cos 0cos 0tan ，.(2)法一由得：2cos22cos 10，即0，cos .又(0，)，tan tan 1.法二因为sin cos ，所以sin，所以sin1.因为(0，)，所以，所以tan 1.法三因为sincos ，所以(sin cos )22，所以sin 21.因为(0，)，2(0，2)，所以2，所以，所以tan1.答案(1)A(2)A考点二诱导公式的应用【例2】 (1)sin(1 200°)cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)_.(2)设f()，其中1

18、2sin 0，则f_.解析(1)原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°sin 1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°sin 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(36

19、0°60°)·sin(360°30°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(2)f()，f.答案(1)1(2)规律方法利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式.(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.【训练2】 (1)化简：_.(2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，则·tan

20、2()_.解析(1)原式1.(2)方程5x27x60的根为或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式·tan2tan2.答案(1)1(2)考点三巧用相关角的关系解题【例3】 (1)（2016·金华一中模拟）已知cosa (|a|1)，则cossin的值是_.(2)已知sin，则cos_.解析(1)由题意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.(2)，coscossin. 答案(1)0(2)规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有与；与；与等，常见的互补关系有与；与等.【训练3】 (1)已知sin，则cos_；(2)若ta

21、n()，则tan(3)_.解析(1)coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.(2)因为tan()tan ，所以tan(3)tan()tan .课堂总结 反思归纳，感悟提升 思想方法1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x进行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法

22、：如利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan .易错防范1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.第3讲两角和与差及二倍角公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两

23、角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础诊断 梳理自测，理解记忆知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin_cos_±cos_sin_.cos()cos_cos_±sin_sin_.tan(±).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan ±tan t

24、an(±)(1tan_tan_).(2)cos2，sin2.(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.4.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()·cos().诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.(×)(4)存在实数，使

25、tan 22tan .()2.(2015·全国卷)sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()A. B. C. D.解析sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin 30°. 答案D3.(2016·东北三省三校联考)已知sin cos ，则sin2()A. B. C. D.解析由sin cos 两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2，故选B

26、. 答案B4.(2015·江苏卷)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_.解析tan tan()3.5.(2014·课标全国卷)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_.解析f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin (x)2sin cos (x)sin(x)cos cos (x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos (x)sinsin(x)sin x，f(x)的最大值为1. 答案1考点突破 分类讲练，以例求法考点一三角函数式的化简、求值【例1】 (1)化简：(0)_.(2)(2016·舟山高三模拟)计算：s

27、in 10°_.解析(1)原式.因为0，所以0，所以cos 0，所以原式cos .(2)原式sin 10°·. 答案(1)cos (2)规律方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等.(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.【训练1】 (1)化简

28、：_.(2)已知sin cos ，且，则的值为_.解析(1)原式 cos 2x.(2)法一sin cos ，sin cos ，sin，sin.又，cos，cos 2sin2sin·cos2××，.法二sin cos ，sin cos ，(sin cos )212sin cos ，2sin cos ，sin cos ，(sin cos ). 答案(1)cos 2x(2)考点二三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0<<<<，且cos，sin，求cos()的值.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值.解(1)0<

29、<<<，<<， <<，sin，cos ，cos coscoscossinsin××，cos()2cos212×1.(2)tan tan()>0，又(0，).0<<，又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.规律方法(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然

30、后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2()()，()，等.(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.【训练2】 （2016·杭州六校联考）已知cos ，cos().(1)求tan 2的值； (2)求的值.解(1)cos ，0<<，sin ，tan 4，tan 2.(2)0<<<，0<<，sin()，cos cos()cos cos()si

31、n sin()××. .考点三三角变换的简单应用【例3】 已知f(x)sin2x2sin·sin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围.解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin·cossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2. 所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.sin1，0f(x)，所以f(x)的取值范围是.规律方法解三角函数问题的基本思想是“变

32、换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】 已知ABC为锐角三角形，若向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A，1sin A)是共线向量.(1)求角A； (2)求函数y2sin2Bcos的最大值.解(1)因为p，q共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则sin2A. 又A为锐角，所以sin A，则A.(2)

33、y2sin2 Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2Bsin 2Bcos 2B1sin1.因为B，所以2B，所以当2B时，函数y取得最大值，解得B，ymax2.课堂总结 反思归纳，感悟提升 思想方法1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.2.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角

34、恒等变形将已知条件中的函数解析式整理为f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.易错防范 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通. 2.在(0，)范围内，sin 所对应的角不是唯一的. 3.利用三角函数值求角要考虑角的范围.第4讲三角函数的图象与性质最新考纲1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.

35、基础诊断 梳理自测，理解记忆知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)由sin(30°120

36、°)sin 30°知，120°是正弦函数ysin x(xR)的一个周期.(×)(2)ysin x在x上是增函数.()(3)ycos x在第一、二象限上是减函数.(×)(4)ytan x在整个定义域上是增函数.(×)(5)ysin|x|为偶函数.()2.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为的奇函数是()A.ysin B.ycosC.ysin 2xcos 2x D.ysin xcos x解析ysincos 2x是最小正周期为的偶函数；ycossin 2x是最小正周期为的奇函数；ysin 2xcos 2xsin是最小正周期

37、为的非奇非偶函数；ysin xcos xsin是最小正周期为2的非奇非偶函数.答案B3.函数f(x)sin在区间上的最小值为()A.1 B. C. D.0解析由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.答案B4.(2016·杭州模拟)若函数f(x)sin (0，2)是偶函数，则()A. B. C. D.解析由已知f(x)sin 是偶函数，可得k，即3k(kZ)，又0，2，所以. 答案C5.(人教A必修4P47B2改编)函数ytan的单调递减区间为_.解析因为ytan x的单调递增区间为(kZ)，所以由k2xk，得x(kZ)，所以ytan的单调递减区间为(kZ

38、).答案(kZ)考点突破 分类讲练，以例求法考点一三角函数的定义域和值域【例1】 (1)函数ylg (2sin x1)的定义域为_.(2)函数f(x)cos2xsin x的值域为_.解析(1)要使原函数有意义，必须有：即解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为(kZ).(2)f(x)cos2xsin xsin2xsin x1，又x，sin x，f(x).答案(1)(kZ)(2)规律方法(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，

39、再求值域(最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数，可先设tsin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).【训练1】 (1)函数y的定义域为_.(2)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_.解析(1)法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原

40、函数的定义域为.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).定义域为.法三sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ).所以定义域为.(2)设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.答案(1)(2)考点二三角函数的单调性【例2】 (1)已知函数f(x)2sin(2x)(|x)，若f2，则f(x)的一个单调递减区间是()A. B.C. D.(2)（2015

41、83;温州联考）已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D.(0，2解析(1)由f2得f2sin2sin2，所以sin1.因为|，所以. 由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.当k1时，x，故选C.(2)由x得x，由题意知，故选A.答案(1)C(2)A规律方法(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定

42、已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练2】 (1)求函数f(x)sin的单调减区间.(2)(2015·重庆卷)已知函数f(x)sinsin xcos2x.求f(x)的最小正周期和最大值；讨论f(x)在上的单调性.解(1)由已知可得函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调减区间为(kZ).(2)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.当x时，

43、02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.考点三三角函数的对称性与奇偶性微题型1求三角函数的对称轴或对称中心【例31】 (1)(2014·福建卷)将函数ysin x的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是()A.yf(x)是奇函数B.yf(x)的周期为C.yf(x)的图象关于直线x对称D.yf(x)的图象关于点对称(2)（2016·金华十校联考）当x时，函数f(x)Asin(x)(A0，|)取得最小值，则函数yf()A.是奇函数且图象关于点对称B.是偶函数且图象关

44、于点(，0)对称C.是奇函数且图象关于直线x对称D.是偶函数且图象关于直线x对称解析(1)将函数ysin x的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则yf(x)sincos x.此函数为偶函数，周期为2.由于fcoscos 0，所以yf(x)的图象关于点对称，故选D.(2)由x时，函数f(x)Asin(x)(A0，|)取得最小值，知，故f(x)Asin，故函数yfAsinAsin(x)Asin x，所以yf是奇函数，故选C.答案(1)D(2)C规律方法对于可化为f(x)Asin(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需

45、令xk(kZ)，求x即可.微题型2由三角函数的对称性求参数【例32】 (1)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为_.(2)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A>0，>0).若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_.解析(1)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.(2)f(x)在区间上具有单调性，所以，即T，又ff，所以x和x均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x，又因为ff，且f(x)在区间上具有单调性，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为，故函数f(x)的最小正周期T4

46、5;. 答案(1)(2)规律方法已知函数f(x)Asin(x)的对称轴或对称中心，一般将x看成整体，写出对称轴或对称中心，再结合条件得出参数或参数范围.【训练3】 (1)已知0，0，直线x和x是函数f(x)sin(x)的图象的两条相邻的对称轴，则()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，则的值为() A.0 B. C. D.解析(1)2，即1，f(x)sin(x)，fsin±1.0，.(2)据已知可得f(x)2sin，若函数为偶函数，则必有k(kZ)，又由于，故有，解得，经代入检验符合题意.答案(1)A(2)B课堂总结 反思归纳，感悟提升思想方

47、法1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质.3.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.4.数形结合是本讲的重要数学思想.易错防范1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间

48、的混淆.3.计算形如ysin(x)，xa，b形式的函数最值时，不要将x的范围和x的范围混淆.课时作业 分层训练，提升能力 基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·昆明检测)下列函数中，是周期函数的为()A.ysin|x| B.ycos|x| C.ytan|x| D.y(x1)0解析f(x)cos x是偶函数，f(x)f(|x|)，即ycos|x|cos x，它的最小正周期为2.f(|x|)的图象是由f(x)的y轴右边图象保持不变，并把y轴右边图象关于y轴对称翻折到y轴左边得到的，ysin|x|和ytan|x|都不是周期函数.y(x1)01，任何大于0的实数都是它的正周期，无最小正周期.故选B.2.(2015·石家庄模拟)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)解析当k2xk(kZ)时，函数ytan单调递增，解得x(kZ)，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)，故选B.3.(2016·嘉兴高三模拟)已知函数f(x)sin(xR)，下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于直线x对称D.函数f(x)在区间上是增函数解析f(x)sincos 2x，故其最小正周期为，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B