第5章平面向量 (2)

1、第五章 平面向量 第1讲平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平

2、行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.

3、诊 断 自 测1. 判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)零向量与任意向量平行.()(2)若ab，bc，则ac.(×)(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(×)(4)若ab，则存在R使ba.(×)(5)在ABC中，D是BC中点，则().()2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A.ab B.abC.a2b D.ab且|a|b|解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知C满足题意.答案C3.(2015·全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A

4、. B.C. D.解析由题意得. 答案A4.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B.2 C.3 D.4解析()()224.故选D.答案D5.(人教A必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示).解析如图，ba，ab.答案baab考点突破 分类讲练，以例求法考点一平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()A. B.

5、 C. D.解析不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同，因此.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当b0时，a，c可能不平行.综上所述，正确命题的序号是.答案A规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向

6、量a与的关系：是与a同方向的单位向量.【训练1】 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.错误.当a0时，不论为何值，a0.错误.当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量. 答案C考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)（2015·金华联考）在ABC中，AB边的高为CD，若a

7、，b，a·b0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于()A. B.C. D.解析(1)a·b0，ACB90°，AB，CD，BD，AD，ADBD41.()ab.(2)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.答案(1)D(2)D规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形

8、；运用法则找关系；化简结果.【训练2】 (1)在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则等于()A.1 B. C. D.(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.解析(1)，2，即.故.(2)因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.答案(1)D(2)2考点三共线向量定理的应用【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它

9、们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k±1.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立.【训练3】 (1)已知向量i与j不共线，且imj，nij.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()A.mn1 B.mn1C.mn1 D.mn1(2)(2015·嘉兴模拟)如图，经

10、过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_.解析(1)由A，B，D共线可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.(2)设a，b，由题意知×()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，即nbmaab，从而消去，得3. 答案(1)C(2)3课堂总结 反思归纳，感悟提升思想方法1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公

11、共点时，才能得出三点共线.3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.易错防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.第2讲平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知

12、识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，

13、y2y1)，|.4. 平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.诊 断 自 测1. 判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(×)(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(×)(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.(×)(5)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则等于45°.(×)2.在下列向量组中，可以把向量a(3

14、，2)表示出来的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，2)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2(2，3)解析由题意知，A选项中e10，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a(3，2)2e1e2).答案B3.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且AOC，且|OC|2，若 ，则()A.2 B. C.2 D.4解析因为|OC|2，AOC，所以C(，)，又 ，所以(，)(1，0)(0，1)(，)，所以，2.答案A4.（2016·杭州联考）设D，E分别是ABC的边

15、AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.解析()，所以1，2，即12.答案5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则_.解析，()，. 答案考点突破 分类讲练，以例求法考点一平面向量基本定理的应用【例1】 (1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则等于()A. B. C. D.(2)(2016·杭州二中调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.解析(1)因为()22，所以，所以.(2)设k，kR.因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案(1)D(2

16、)规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.(3)要熟练运用平面几何的一些性质定理.【训练1】 (1)在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab(2) （2015·绍兴联考）已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs的值是()A. B. C.3 D.0解析(1)法一因为CD平分ACB，由角平分线定理，得2，所以2.

17、所以()ab.法二(特殊值法)构造直角三角形，令CB1，CA2，AB，则DCB30°，所以BD.故，a(ba)ab.(2)，.又rs，r，s，rs0，故选D.答案(1)B(2)D考点二平面向量的坐标运算【例2】 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(

18、3，24)(3，4)(0，20)，M(0，20).又2b，2b(12，6)(3，4)(9，2)，N(9，2).(9，18).规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.【训练2】 (1)(2016·广东六校联考)已知A(3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A.1 B. C. D.(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2，4)，(1，3)，则()A.(2，4) B.(3，5)C.(3，5) D.(

19、2，4)解析(1)过C作CEx轴于点E.由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2，0)(3，0)，故.(2)由题意得()2(1，3)2(2，4)(3，5).答案(1)D(2)B考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1).(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标.解(1)akc(34k，2k)，2ba(5，2)，由题意得2×(34k)(5)×(2k)0，解得k.(2)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2，4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(

20、5，3).规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(b0)，则ab.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_.(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(

21、4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，解得，故点D的坐标为(2，4).(2)因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，所以，结合余弦定理知，cos C，又0°C180°，所以C60°.答案(1)(2，4)(2)60°课堂总结 反思归纳，感悟提升思想方法1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.

22、(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10.易错防范1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标.2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.3.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.第3讲平面向量的数量

23、积及其应用最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0°180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b|a|b|cos_，规定零

24、向量与任一向量的数量积为0，即0·a0.(3)数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：a·b0x1x2y1y20.(5)|a·b|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| ·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·bb·a(交换律).

25、(2)a·b(a·b)a·(b)(结合律).(3)(ab)·ca·cb·c(分配律).诊 断 自 测1. 判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(×)(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角.(×)(5)a·ba·c(a0)，则bc.(×)2.(2015·

26、全国卷)向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)·a等于()A.1 B.0C.1 D.2解析因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，得(2ab)·a(1，0)·(1，1)1，选C.答案C3.(2016·宁波模拟)如图，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60°，点M在AB边上，且AMAB，则·等于()A. B.C.1 D.1解析，所以··()22·1·|·|cos 60°×1×2×1.选D.答案D4.(

27、2016·石家庄模拟)已知平面向量a，b的夹角为，|a|2，|b|1，则|ab|_.解析|ab|2|a|22a·b|b|242|a|b|cos 1523，|ab|.答案5.(人教A必修4P104例1改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120°，则向量b在向量a方向上的投影为_.解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4×cos 120°2.答案2考点突破 分类讲练，以例求法考点一平面向量的数量积【例1】 (1)(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°，动点E和

28、F分别在线段BC和DC上，且，则·的最小值为_.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_；·的最大值为_.解析(1)法一如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则B(2，0)，C，D.由得E.由得F.从而··2×.法二在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60°，可得DC1，·()·()····2×1×cos 602××1×1×cos 60°·

29、×cos 120°2，当且仅当，即时，取得最元小值为.(2)法一如图，·()···21，·()····|·|21.法二以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t0，1，则(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因为(1，0)，所以·(t，1)·(1，0)t1，故·的最大值为1.法三由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影

30、都是CB1，·|·11.当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，(·)max|·11.答案(1)(2)11规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2016·温州适应性测试)在ABC中，若A120°，·1，则|的最小值是()A. B.2 C. D.6(2)(2015·四川卷)设四边形A

31、BCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则·等于()A.20 B. 15 C.9 D.6解析(1)·1，|cos 120°1，即|2，|2|222·22|·|2·6，|min.(2)取，为一组基底.3，·(43)·(43)(16292)(16×629×42)9，选C.答案(1)C(2)C考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2015·重庆卷)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.(2)已知向量与的夹角为12

32、0°，且|3，|2.若，且，则实数的值为_.解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|·|b|·cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20.cos .又0，.(2)由，知·0，即·()·()(1)·22(1)×3×2××940，解得.答案(1)A(2)规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，aba·b0等

33、，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)解决向量的夹角问题时要注意方法的选择，可以用定义法、坐标法以及图形法求解，在用定义法求解的过程中要注意运算的准确率.【训练2】 (1)(2016·江西师大附中模拟)已知向量a，b满足a·(a2b)3，且|a|1，b(1，1)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.解析(1)由|a|1，a·(a2b)3，|a|22a·b3，a·b1，又b(1，1)，|b|，cosa，b，又a，b0，

34、a，b，故选C.(2)b·cb·ta(1t)bta·b(1t)b2t|a|·|b|·cos 60°(1t)|b|2t1tt10，t2.答案(1)C(2)2考点三平面向量的模及应用【例3】 (1)(2015·浙江卷)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2.若平面向量b满足b·e1b·e21，则|b|_.(2)(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_.解析(1)因为|e1|e2|1且e1·e2.

35、所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1b·e21，所以b·e1b·e20，即b·(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1|b|·|e1|cos 30°1.|b|.(2)设D(x，y)，由|1，得(x3)2y21，向量(x1，y)，故|的最大值为圆(x3)2y21上的动点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心(3，0)到点(1，)的距离加上圆的半径，即11.答案(1)(2)1规律方法(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(a&#

36、177;b)2|a|2±2a·b|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)(2016·杭州模拟)如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60°，则|_.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的动点

37、，则|3|的最小值为_.解析(1)因为，60°，所以·|·|cos 60°1×3×，又，所以2()2(22·2)，即2(139)，所以|.(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx(0xa)，D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).(2，x)，(1，ax)，3(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，当x时取等号.|3|的最小值为5.答案(1)(2)5课堂总结 反思归纳，感悟提升思想方法1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数

38、量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.当利用定义处理问题较困难时，可考虑向量的坐标法求解.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.易错防范1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·ba·c(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b0，反之不成立.3.注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.第4讲平面向量的应用最新考

39、纲1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质aba·b0x1x2y1y20(a，b均为非零向量).(3)求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角).2.向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的

40、数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.3.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.诊 断 自 测1. 判断正误(在括号内打“”或“×”) (1)若，则A，B，C三点共线.()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量

41、的坐标运算.()(4)在ABC中，若·0，则ABC为钝角三角形.(×)(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8，0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()2.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，则这个三角形是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解析(2，2)，(6，6)，·12120，ABC为直角三角形.答案B3.(2016·济南模拟)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B.2 C.5 D.10

42、解析·(1，2)·(4，2)0，则，故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S|××25，故选C.答案C4.(2015·湖南卷)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2，0)，则|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9解析由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，线段AC为圆的直径，故2(4，0)，设B(x，y)，则x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y).故|，当x1时，此式有最大值7，故选B.答案B5.(人教A必修4 P120B8改编)在ABC中，若···，则点O是A

43、BC的_(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”).解析··，·()0，·0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线.同理·0，·0，故O为ABC的垂心.答案垂心考点突破 分类讲练，以例求法考点一平面向量在平面几何中的应用【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60°，E为CD的中点.若·1，则AB的长为_.(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，则的值为_.解析(1)由题意，可知，.因为·1

44、，所以()·1，即2·21.因为|1，BAD60°，所以·|，因此式可化为1|21，解得|0(舍去)或，所以AB的长为.(2)法一如图，所以···22×2×2×cos 120°1，解得2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，··21，解得2.答案(1)(2)2规律方法用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，这样可以使

45、向量的运算更简便一些.在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用.【训练1】 (1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_心(填“重”、“垂”、“内”、“外”).(2)(2016·杭州质检)在边长为1的菱形ABCD中，BAD60°，E是BC的中点，则·_.解析(1)由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心.(2)建立如图平面直角坐标系，则A，C，B.E点坐标为，(，0)，

46、3;×.答案(1)重(2)考点二平面向量在三角函数中的应用【例2】 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m，n，且2m·n|m|，·1.(1)求角A的大小；(2)求ABC的面积S.解(1)因为2m·n2sin cos 2cos2sin A(cos A1)sin1，又|m|1，所以2m·n|m|sin，即sin.因为0A，所以A，所以A，即A.(2)cos Acos coscos cos sin sin ，因为·bccos A1，所以bc.又sin Asin sin，所以ABC的面积Sbcsin A()×

47、.规律方法(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识.【训练2】 (1)已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()A.， B.，C.， D.，(2)ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B

48、的大小为_.解析(1)由mn得m·n0，即cos Asin A0，即2cos0，<A<，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin C，且acos Bbcos Acsin C，ccsin C，所以sin C1，又C(0，)，C，所以B.(2)mn，(ab)(sin Bsin A)(ac)sin C0，又，则化简得a2c2b2ac，cos B，0<B<，B.答案(1)C(2)考点三向量在解析几何中的应用【例3】 （2015·杭州联考）已知平面上一定点C(2，0)和直线l：x8，P为该

49、平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且·0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求·的最值.解(1)设P(x，y)，则Q(8，y).由()·()0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点P在椭圆上，其方程为1.(2)因·()·()()·()2221，P是椭圆1上的任一点，设P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0，1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故·的最大值为19；当y02时，2取得最小值为

50、134(此时x00)，故·的最小值为124.规律方法向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(2)工具作用，利用aba·b0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.【训练3】 如图所示，已知点F(1，0)，直线l：x1，P为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且··.(1)求动点

51、P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M.已知1，2，求12的值.解(1)设点P(x，y)，则Q(1，y)，由··，得(x1，0)·(2，y)(x1，y)·(2，y)，化简得P的轨迹C的方程为y24x.(2)设直线AB的方程为xmy1(m0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(1，)，联立方程消去x，得y24my40，(4m)216>0，故由1，2，得y11y1，y22y2，整理，得11，21，所以122()2·2·0. 课堂总结 反思归纳，感悟提升思想方法1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2.以向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3.向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.易错防范1.对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的