2019-2020学年湖北省武汉市钢城第四中学高二下学期期中数学试题(解析版)

1、第 1 页 共 16 页2019-2020学年湖北省武汉市钢城第四中学高二下学期期中数学试题一、单选题1. 在（2-x）6展开式中，含 x3项的系数是（）A20B-20C160D-160【答案】 D【解析】 先确定（2-x）6展开式的通项公式，再令 x 的幕指数为 3 求解即可【详解】因为（2-x）6展开式的通项公式Tr,C；26 rxrC；26 r1rxr，令r 3，得T4C632313x3160 x3，含 x3项的系数是160.故选： D【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜， 决出胜负为止， 则所有可能出现的情

2、形 （各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A、10 种B 、15 种 C、20 种D 、30 种【答案】 C【考点定位】该题主要考察分类组合的实际应用，把握分类，正确运用组合是关键【解析】 某一个队获胜可以分成 3 中情况，得分 3:0,4:1,5:2 ；方法数为1+C32C42） C1220.3.现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6 的六张卡片， 现从甲、 乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等 差数列的取法数为（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】 C第 2 页 共 16 页【解析】 根据题意，若取出的卡片上的标

3、号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等 时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1 或-1 ，三是所得的等差数列的公差为 2 或-2 时，分别求出其不同的取法，再求和.第 3 页 共 16 页详解】 根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况， 一是标号相等时，即全部为 1、2、3、4、5、6 时，有 6 种取法，二是所得的等差数列公差为 1 或-1，即 1、2、3; 3、2、1;4、5、6; 6、5、4 等 8 种取法，三是所得的等差数列的公差为2 或-2 时，即 1、3、5;5、3、1;2、4、6;6、4、2等 4 种取法，所以共有6 8 4 18种 .故选：

4、 C【点睛】本题主要考查分类加法计算原理， 还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力， 属于中 档题.4 . C33+C43+C53+ + C153等于（）A C154B C164CC173DC174【答案】 B【解析】 利用组合数的性质求解详解】C33+C43+C53+ C153,故选： B【点睛】 本题主要考查组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题5.用 1 、 2、 3、 4、 5、 6 中的两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的不同的对数值共有（ ）【解析】 先对真数为 1 和不为 1 讨论，再对底数，真数都不为 1 求解，然后求和C44C43C53C63C73C135，C5

5、4C53C63C73C135，C64C63C73C135，C74C135C145C135，C146.A. 30 个【答案】 DB. 15 个C. 20 个D. 21 个第4页共 16 页【详解】因为 1 只能作真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值为0,有 1 个对数式，从 1 除外的其余各数中任取两数， 分别作为真数和底数， 共能组成5 420个对数式，且值不同，所以共有12021个故选：D【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题6 5 名师生站成一排照相留念，其中教师1 人，男生 2 人，女生 2 人，则两名女生相邻而站的概率是()123

6、4A -B.-CD .5555【答案】B【解析】这是一个古典概型，先确定 5 名师生站成一排站法数，记两名女生相邻而站为事件 A，两名女生站在一起，视为一个元素与其余3 个人全排，计算出事件 A 共有不同站法数，再代入公式求解【详解】55 名师生站成一排共有A5120种站法，记两名女生相邻而站”为事件 A，两名女生站在一起有A；2种，视为一个元素与其余 3 个人全排，有A424种排法,则事件 A 共有不同站法A|A：48种,所以p A4821205，2两名女生相邻而站的概率是5故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于中档题7 如果函数f(x) ax b

7、在区间1,2上的平均变化率为3,则a()第5页共 16 页A .3B.2C.3D.2【答案】C【解析】根据平均变化率的定义，可知n yn x2a b a ba 32 1故选C8.下图是 :y = f(x)的导数图象，f(x)在(-3 ,1)上是增函数；x1是 f(x)的极小值点；f(x)在(2, 4)上是减函数，在(-1 , 2)上是增函数；x=2 是 f(x)的极小值点；则正确的判断是()A .B.C .D .【答案】B【解析】根据导数极值点的定义以及导数的正负与函数的增减之间的关系判断【详解】当3 x调，故错误；1时，fx0，当1x 1 时,f x 0，故 f(x)在(-3, 1)上不单当

8、3 x1时，fx0,当1x 1 时,f x 0,故x1是 f(x)的极小值点，故正确；当 2 x4 时，f x0,当1x2时，f x 0,所以 f(x)在(2, 4)上是减函数，在(-1 ,2)上是增函数，故正确；当 2 x4 时，f x0,当1x2时，f x 0, x=2 是 f(x)的极大值点，故错误；故选：B【点睛】本题主要考查极值点的定义以及导数的正负与函数的增减之间的关系，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题第6页共 16 页9 与直线 2x 6y+ 1 = 0 垂直，且与曲线 f(x)= x3+ 3x2- 1 相切的直线方程是()A . 3x+ y+ 2 = 0B.

9、3x y+ 2= 0C. x + 3y+ 2= 0D . x 3y 2 = 0答案】 A【解析】根据 f(x)= x3+ 3x21,求导f x，设切点为P Xo,yo，再根据切线与直线2x 6y+ 1= 0 垂直，求得切点，写出切线方程 【详解】因为 f(x)=x33x21,所以f x 3x26x,设切点为P x0,y0,又因为切线与直线 2x 6y 1 = 0 垂直,2所以f x03x026x03,解得x01,y01,所以切线方程是y 13 x 1,即 3xy2= 0.故选： A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及两直线的位置关系,还考查了运算求解的能力, 属于基础题 .10 .已知奇函数

10、 f(x)在 R 上是增函数，g(x) xf(x).若0.8a g( log25.1),bg(2.),cg(3)，则a,b,c的大小关系为()A .a b cB.c b aC.b a cD .b c a【答案】C【解析】根据奇函数f x在R上是增函数可得g(x)为偶函数且在0,上为增函数,从而可判断a,b,c的大小 .【详解】g x的定义域为R.g( x) xf( x) x f x xf x g x,故g x为偶函数 .因为f x为R上的奇函数，故f 00,当x 0时，因为f x为R上的增函数，故f x f 00.设任意的0 x1x2,则0 fx1fx2,故x1f x1x2f x2,第 5 页

11、 共 16 页第8页共 16 页故g Xig X2，故g x为0,上的增函数，0 8所以a glog25.1g log25.1，而3 log28 log25.1 log24 2 2.,故g 3 g log25.1 g 20.8，所以cab.故选 C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.211.设fnX 1 X XnXx 0，其中nN,n 2，则函数GnXfnX2在丄,1内的零点个数是（）2A . 0B. 1C. 2D .与 n 有关【答案】 B【解析】先利用导

12、数判断fX在0,上单调递增 ,再利用零点存在定理可得结果【详解】由f nx 1 2x 3x24x3.n 1nx0,知f X在0,上单调递增1n 11nn小1上1211Gn_2 2- 2- 0，fn2122122Gn1fn12 n 1 0 n 2，1根据零点存在定理可得GnXfnX 2在 歹，1零点的个数只有1个，故选 B.【点睛】判断函数y f X零点个数的常用方法：（1）直接法： 令f X0,则方程实根的个数就是函数零点的个；（2）零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f afb0,再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称第9页共 16 页性）可确定函数的

13、零点个数；（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题第10页共 16 页12 如图，一环形花坛分成A、B、C、D 四个区域，现有 5 种不同的花供选种，要求在每个区域里种 1 种花，且相邻的 2 个区域种不同的花，则不同的种法种数为()【解析】 按照 A-B-C-D 的顺序种花，分 A, C 同色与不同色两种情况求解【详解】按照 A-B-C-D 的顺序种花，当 A, C 同色时，5 4 1 480种,当 A, C 不同色时，5 4 3 3 180种，所以共有 260 种.故选：C【点睛】 本题主要考查涂色问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题二、填空题13 .若 C

14、9x-2=C92x-1,则 x=_.【答案】4【解析】 根据组合数的性质求解【详解】因为 C9X2= C92X1,所以x 2 2x 1 9解得x 4故答案为：4【点睛】本题主要考查组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题14 . (1-x)7的展开式中，所有含 X 的奇次幕的项的系数和为 _.【答案】-6427【解析】设(1-x)7a。a/ a?x. a?x，分别令x 1和x 1，两式相减求解B. 84C. 260D . 320【答案】C第11页共 16 页【详解】设(1-x)7aoa1x2a?x7.a?x,令x 1时，aoa1a?.a70,令x1时，aa1a?.a727,两式相减得：

15、2 a1a3.a727,所以q a38764.故答案为：64【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题15 如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度,则亮亮从A移动到B最近的走法共有 _种.【答案】80【解析】分三步来考查，先从A到C，再从C到D，最后从D到B，分别计算出三个 步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果【详解】分三步来考查：从A到C,则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有C；种走法；2从C到D,则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一3个单位，此时有

16、C6种走法；13从D到B，由可知有C2种走法第12页共 16 页由分步乘法计数原理可知，共有c2c；c；80种不同的走法故答案为：80.【点睛】本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题16 .设函数 f(x)的定义域为 R.若存在与 x 无关的正常数 M，使|f(x)|和 I 凶对一切实数x 均成立，则称 f(x)为有界泛函.则函数：f(x)=-3x,f(x)=x2，f(x)=sin2x，f(x)=2x,f(x)=xcosx 中，属于有界泛函的有 _ .(填上所有正确的番号)【答案】【解析】根据“(X)为有界泛函”的定义找到符合条件的 M 即可.【详解】1因

17、为f x 3x 3 x，要使3x M x对一切实数 x 均成立，只要M3即可，故正确2因为f x x2M x，当x 0时，x M，不存在这样的M，使|f(x)|1凶对一切实数 x 均成立，故错误.3因为f x sin2x sinxx，要使sin2x M x对一切实数 x 均成立，只要M 1即可，故正确4因为f x2x，当x 0时，f 01 M 0 0，不存在这样的M，使|f(x)| 3,所以 c-20当0vmv2即c二时,当 r=m 时，y =0当 r (0, m)时，yv0当 r (m, 2)时，y 0所以 r=m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点.当 m2即 3vcW时，当 r (0,

18、 2)时，yv0,函数单调递减.所以 r=2 是函数 y 的最小值点.综上所述，当 3vcW时，建造费用最小时 r=2 ；q和m当 cE 时，建造费用最小时 r= 厂_ 220.设(1x)na。a/a2X2LanXn,n4,nN*.已知aj2a2a(1) 求 n 的值；(2)设(1 .3)na b-.3，其中 a,b N*，求a23b2的值.【答案】(1)n 5；(2) -32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定a2,a3,a4的值，然后求解关于n的方程可得n的值；(2)解法一：利用(1)中求得的 n 的值确定有理项和无理项从而可得a,b 的值，然后计算(2)由(1)得，y =8n

19、c-2) r-1&D兀2an (e-2j f3- z(r,OvrW2=m , (m0)gn (c- 2)所以 y=1rr2+rmi- m当令=0 时， 贝 U r=第18页共 16 页a23b2的值即可;-5解法二：利用 中求得的 n 的值，由题意得到1、.3的展开式，最后结合平方差公式即可确定a23b2的值【详解】(1)因为(1 x)ncnC；x c：x2L,n 4，a b3解法-* :因为 a,b N*,所以aC0243C59C5176,b C53C；9C544,从而a23b27623 44232.解法二一:(13)5c5c5(.3)Cf(，3)2c；(、3)3c：(3)4c：(、

20、3)5C0c53 c5(、3)2c；(、3)3c：c3)4c5(、3)5因为 a,b N*，所以(1、.3)5a b.3因此a23b2(a b - 3)( a b . 3)(13)5(13)5( 2)532【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力2ax x 1x所以a22n(n 1) _Cn, a32c3n(n 1)( n 2)64n(n 1)(n 2)(n3)a4Cn242因为a32a2a4,n(n 1)(n 2)26n(n 1) n(n 1)( n 2)( n 3)224c0C5、3C2(3)2淤3)3C：(.3)4戊(3)521 .已知函数所以(2

21、)由(1)知，第19页共 16 页e第20页共 16 页(1)求曲线y f x在点o, i处的切线方程;(2)证明：当 a 1 时，f X e 0【答案】(1)切线方程是2x y 1 0(2)证明见解析【解析】(1)求导，由导数的几何意义求出切线方程明gx 0即可.【详解】2ax 2a 1 xx单调递增;【点睛】 本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造g(x) ex 1x2x 1很关键，本题有难度.22.设a,b R ,|a | 1.已知函数f (x) x36x23a(a 4)x b,g(x) exf(x).(I)求 f (x)的单调区间；(n)已知函数y g

22、(x)和y ex的图象在公共点(X0,y。)处有相同的切线，(i )求证：f (x)在xX。处的导数等于(ii )若关于x的不等式 g(x) ex在区间人 1,x。1上恒成立，求b的取值范围.【答案】(I )单调递增区间为(，a),(4 a,)，单调递减区间为(a,4 a). (II )(i )见解析.(ii ) 7,1.(2)当a 1时,f x e(ex12x人x x 1)e,令gxex 1x2x 1，只需证因此曲线f x在点0,处的切线方程是2x y(2)当 a1时,，则g x 2x 11时,0,g x单调递减；当1时,所以g1 =0.因此f x e 0.第21页共 16 页【解析】 试题分析：求导数后因式分解根据a 1，得出a 4 a，根据导数的符号第22页共 16 页判断函数的单调性，给出单调区间，对g(x)求导，根据函数y g(x)和y ex的图象求出f(a)的范围，得出b的范围23x 12x 3a a 43 x a x 4 a令f x 0,解得x a，或x 4 a.由a 1，得a 4 a.X,aa,4 a4 a,f X-f XZZ当x变化时，f x，x的变化情况如下表:在公共点(x