2019届百师联盟全国高三模拟考(三)全国Ⅰ卷数学(文)试题(解析版)

1、属于基础题.第 1 1 页共 1818 页2019 届百师联盟全国高三模拟考（三）全国I卷数学（文）试题一、单选题1 1.设集合 A A = y|yy|y= 2 2x- 1 1, x x RR, B B= x|x| - 2$2$- 11,B B = x|x|- 2 23, x x ZZ = - 2 2, - 1 1, 0 0, 1 1, 2 2, 33, APBAPB = 00 , 1 1 , 2 2 , 33,故选：C C.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.【详解】a iz1i由其在复平面对应的点在第二象限,得a 10，则 a a 1.1.a 1 0故选：B.B.【点睛】 本题

2、考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力,2 2 .若复数z-在复平面内对应的点在第二象限，则实数ia的取值范围是（A A .B B.C C.D D.0,【答案】B B【解析】复Ei，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于2的不等式组,解得a 1. i,2第2 2页共 1818 页A.ysinxB B.y = x2C C.y COSx【答案】C C【解析】逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论.【详解】选项 A A :ysin x是奇函数，不符题意；选项 B B :y =x在区间0,1上单调递增，不符题意；选项C：ycosx符合题意；选项 B B :yIn

3、 :x在区间0,1上单调递增，不符题意；3 3 下列函数中，是偶函数且在区间0,1上单调递减的是（故选：c.c.D D.y In x【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性,熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键.4 4 .在ABC中,D为BC中点，且uuuAE1 uuuED,2uuuBEuuuABuurAC，则B B.【答案】B B【解析】选取向量UJUAB，uurAC为基底,由向量线性运算,求出UJUBE，即可求得结果. .【详解】uuuBEUJJ UJUAE ABUJUBE5UJU5AB61 UJJ-AD 31UULT-AC6UJUAB,uuuAB故选:uuurAD1 U

4、JU UULT (AB AC),2uurAC,B.B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题5 5 .已知函数f (x).4 x2m，贝ym0 0 ”是xo 2,2,f Xo0的( )A A .充分不必要条件B B.必要不充分条件C C.充要条件D D .既不充分也不必要条件第3 3页共 1818 页第4 4页共 1818 页【答案】A A【解析】由4X)0知，m m 0 0，必有f(x) 0,故满足充分条件；但当f(x) 0时，也mo0，例如Xo0时，m 1,故不满足必要条件 【详解】若 m m 0 0,则x2,2，f(X0)0，而f(X0)0，未必有 m m 0

5、 0，例如f (0)2 m 0，解得m 2 故选：A.A.【点睛】本题考查了充分条件，必要条件的判断问题，考查了逻辑推理的能力，属于基础题 6 6 .某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a,b,c,d，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：出水口a,ba,cc,db,d时间(秒)170160140140150150则 a a ,b,c,d四个出水口放水速度最快的是()A A .dB B.bC C.cD D.a【答案】A A【解析】禾 U U 用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可【详解】由题易解得 a a, b b, c c, d d

6、放水时间分别为 7070, 100100, 9090, 5050,所以 d d 出水速度最快. .故选：A.A.【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题2 27 7 已知双曲线：令占1(a 0,b 0)的一条渐近线为I，圆C :(x c)2y24 a b第5 5页共 1818 页与l相切于点A，若AF1F2的面积为23，则双曲线的离心率为()第6 6页共 1818 页y24与I相切可知，圆心C(c,O)到|的距离为 2 2,即b 2. .又SAF1F2【详解】2SVAOF2ab 2 3，由此求出 a a 的值，利用离心率公式，求出e.e.由题意得b2,SAFiF2ab 2 3,a .3,e1

7、b：721Va23故选：D.D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题的所有棱中最长棱的长度为()【解析】 利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为ADAD，算出长度A A .2B B.2337C.3【答案】D D2121【解析】由圆C : (x c)28 8.如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体2.2C C.2.3【答案】C C第7 7页共 1818 页ADAD 2 2 3 3【详故选：C.C.第8 8页共 1818 页【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.xln |x

8、|9 9 函数f(X)X的大致图象为(e【答案】A A【解析】利用特殊点的坐标代入，排除掉【详解】1C C，D D；再由f(2)1判断A选项正确. .1.1ln |1.1|f( 1.1)肓0，排除掉 C C,ef(1)1ln212Vel n近，1e21Q ln ,2 In、e -, 、e 2,21f( -).eln、2 1. .2故选：A A 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题,决这类问题的一种常用方法，属于中档题. .1010 .已知关于x的方程.3 sinx sin x2代入特殊点，采用排除法求解是解m在区间0,2上有两个根x1,x2,第9 9页共 1818 页且XiX2

9、，则实数m的取值范围是(【答案】C C【解析】 先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合X x2， 解 得m的取值范围【详解】由题化简得3sinx cosx m，m 2sin(x )，6本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围 属于中档题. .1111.已知f x是定义在R上的奇函数，且f(2 x) f (x)，f (1)2.数列3满足Sn2an2，其中Sn是数列a.的前n项和，则f aa51 f a6()A A .1B B. 0 0C C.1D D.2【答案】D D【解析】 根据奇偶性，对称性，周期性

10、三者之间的关系，得出函数f(x)f(x)是周期函数，再利用数列中an与Sn的关系，求得数列an的通项公式，代入所求函数式，求值. .【详解】由f(2 x)f(x)得函数对称轴为X 1,由f x是奇函数，所以周期为4.a12,n 2,anSnSn 12an2an 1,0,2B B.1,2C C.0,1D D.0,1y 2sin(x -)，将作出y2si n(x的图象,【点第1010页共 1818 页nan2,f a51 f a6f (31) f(64) f( 1) f (0)2. .故选：D.D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，对称性，周期性的综合应用， 数列通项的求法，属于中档题则实数k的取值

11、范围是(【答案】D D问题相结合，即可求解 【详解】由图知y f (x)与 y y k(xk(x 2)2)有4个公共点即可,即k 0, k切，当设切点x0, y0,1212 .已知函数f (x)x 7e2x2x, x若函数g(x) f (x) k(x02)在R上零点最多,2A A . %)B B.2(3e，0)1C C.(2J1D D.(0,2 e)【解析】将函数的零点个数问题转化为函y f (x)与直线 y y问题，画出函数y f (X)的图象，易知直线y y k(xk(x1 1k(xk(x罗的交点的个数1(孑,。)，故与 f f (x)(x)在x 0时的图象必有两个交点，故只需与f f (

12、X)(X)在x 0时的图象有两个交点，再与切线第1111页共 1818 页故选：D.D.【点睛】1 xk(xx0 x0k_1_2 * ex第1212页共 1818 页本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题 、填空题cos2B _.【答案】16【解析】 利用正弦定理求得角 B B,再利用二倍角的余弦公式，即可求解【详解】由正弦定理得3 sin B，23血“，c 18 7sinB,cos2B 1286416故答案为：-.16【点睛】 本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题x 2y 6 01414 .已知x,y满足约束条件x y 1

13、 0，则z x2y2的最大值为_【答案】9【解析】根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解 【详解】1313 .已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a第1313页共 1818 页第1414页共 1818 页2 2易知当x 0, y y 3 3 时，z x y的最大值为9.故答案为：9.9.【点睛】本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题21515 已知椭圆C:x2 y1,MG, 2,0）,若椭圆C上存在点N使得OMN为等边m三角形（O为原点），则椭圆C的离心率为 _ .【答案】空3【解析】 根据题意求出点 N N 的坐标，将其代入

14、椭圆的方程，求出参数m m 的值，再根据离心率的定义求值 【详解】由题意得N（辽6）,2 2将其代入椭圆方程得m 3,故答案为：_3【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题1616 .已知四棱锥P ABCD，底面四边形ABCD为正方形，PA PB PC PD, 四棱锥的体积为 生念,在该四棱锥内放置一球O,则球O体积的最大值为 _3【答案】上612【解析】由题知，该四棱锥为正四棱锥P ABCD，作出该正四棱锥的高PH和斜高PE,连接HE，则球心 O O 必在RtVPHE的PH边上，设OEH，由球与四棱锥 的内切关系可知PEH 2，设AB 2a，用a和 表示四棱锥的体积，解得a和

15、的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值【详解】所以e、2：3第1515页共 1818 页设OEHAB 2a,第1616页共 1818 页本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力, 三、解答题 1717.已知数列an满足a15,an 12 2a.(1)(1) 求数列 a an的通项公式；(2)(2) 若bnn2an4，求数列 b bn的前n项和Sn.n 1n 1【答案】(1 1)an2 3 2； (2 2)Sn3(n 1) 26【解析】(1 1)根据递推公式，用配凑法构造等比数列an2由球 0 0 内切于四棱锥可知，PEH 2,EH a,则PH

16、 atan2，球 O O 的半径R atan,VPABCD34a2atan22.63a3tan236a2ta n2m33丄36 ta n3. 6 ta n3R a tan2ta n22 2ta n1 tan2、6ta n21 ta n26476当且仅当tan2时，等号成立,2此时v4逅逅031612属于较难的填空压轴题，求其通项公式，进而求故答案为：. .第1717页共 1818 页出an的通项公式;【详解】 解：(1 1)Q an2 2aan22 an 12,印23(n 1) 2n16. .【点睛】中档题 1818 如图，在棱长为2 2的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC边上的中点,现

17、以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得P EF A为直二面角.(1)证明：EF PA;(1)在折叠前的正方形 ABCDABCD 中，作出对角线 ACAC, BDBD，由正方形性质知(2)求出数列bn的通项公式,利用错位相减法求数列bn的前n项和Sn. .an2是首项为3，公比为2的等比数列.所以an2 3 2n 1,an2 3 2n 1(2)bn4 3 2n4 n 3n 2n1 212 2 23 232Sn1 222 233 242n1SnL2n3n本题考查了由数列的递推公式求通项公式,错位相减法求数列的前n n 项和的问(2(2)求PD与面ABF所成角的正弦值.【答(1(1)证明见详解；(

18、2 2)上66【解第1818页共 1818 页AC BD，又EF/BD，则AC EF于点 H H，则由直二面角可知PH面ABEFD, 故PH EF 又AH EF，则EF面PAH，故命题得证;(2)作出线面角PDH，在直角三角形中求解该角的正弦值【详解】 解：(1)证明：在正方形ABCD中，连结AC交EF于H 因为AC BD, EF/BD，故可得AC EF, 即EF AH,EF CH又旋转不改变上述垂直关系，且AH ,CH平面PAH, ,EF面PAH, 又Q PA面PAH，所以EF PAnEIX? Fj/ It(2 2)因为P EF A为直二面角，故平面PEF平面AEF, ,又其交线为EF, ,

19、且PH EF , PH平面PEF, , 故可得PH底面ABF,连结DH，贝V PDH即为PD与面ABF所成角，连结BD交AH于0,在RtAODH中,DH . DO2OH2.5，PH CH 1在Rt PHD中DP、DH2PH2x6，sin PDH空丄左DP 766所以PD与面ABF所成角的正弦值为【点睛】 本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题1919 某网络商城在2019年1月1日开展 庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿， 为了 提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励 如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额(单位：千元)的频率分布直方图

20、.第1919页共 1818 页(1) 求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值；(2)估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；(3)为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在0,2和8,10的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在0,2和8,10各一个的概率.8【答案】(1 1)5500元；(2 2) 3232 家；(3 3)15【解析】(1 1)频率分布直方图中每个小矩形底边的中点作为该组数据的代表，求出平均数；(2)在频率分布直方图中找到销售额不低于40004000 的 3 3 个小矩形，算出概率，由此估计4040 家中有多少家销售额不低于4000

21、4000；(3)本题为古典概型，将销售额在0,2的 2 2 家店铺和销售额在8,10的 4 4 家店铺分 别编号，用列举法求概率 【详解】解：(1 1)频率分布直方图销售额的平均值为2 (0.025 1 0.075 3 0.2 5 0.15 7 0.05 9) 5.5千元，所以销售额的平均值为5500元；(2) 不低于4000元的有40 (0.2 0.15 0.05) 2 32家；(3) 销售额在0,2的店铺有2家，编号为m,n；销售额在8,10的店铺有4家，编号为a,b,c,d.选取两家，第2020页共 1818 页共有(a,b), (a,c)(a,c) , (a,d)(a,d) ,(a,m

22、),(a,n),(b,c)(b,c), (b,d)(b,d),(b,m),(b,n), (c,d)(c,d) ,(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)i5分选取方式，其中满足条件的有(a,m),(a, n),(b,m),(b, n),(c, m),(c,n),(d,m),(d,n)共8种，8所以选取的两人销售额在0,2和8,10各一个的概率为2.15【点睛】本题考查了由频率分布直方图估计平均数，计算频数，用列举法求解古典概型的问题，属于中档题 22020直线l与抛物线C : y 2px(p 0)相交于P,Q两点，且OP OQ,若P,Q到x轴距离的乘积为 1616 .(1)

23、求C的方程；(2)设点F为抛物线C的焦点，当PFQ面积最小时，求直线I的方程.2【答案】(1 1)y 4x； (2 2)x 4【解析】(1 1)设出两点的坐标，由距离之积为 1616,可得y1y216. .利用向量的数量积uuu umr坐标运算，将OP OQ转化为OP OQ xlx2y1y20. .再利用两点均在抛物线上，即可求得 p p 的值，从而求出抛物线的方程；(2 2)设出直线 I I 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线I I 恒过定点M 4,0, 将PFQ面积用参数 t t 表示，求出其最值，并得出此时的直线方程 【详解】解：(1 1)由题设P X1,y1,Q X2, y2所

24、以抛物线C的方程为y24X.因为P,Q到x轴的距离的积为 1616，所以y216,又因为OP OQ,uuu ULUOP OQ X1X2比丫20，%X2162 2% y22p 2p2562,4p第2121页共 1818 页(2(2)因为直线|与抛物线两个公共点，所以I的斜率不为 0 0 ,所以设IPQ:x tym联立xtym* o2得y4ty4m 0,y4x即y24tyy164mm 4即直线I恒过定点M 4,0,13 -所以SPFQ |FM|% y Jl6t264，22当t 0时，PFQ面积取得最小值12，此时x 4. .【点睛】本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直

25、条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题X122121 .已知函数f (x) xe x x.2(1) 求曲线f x在点1,f 1处的切线方程；2(2) 当x 0时，(x k)f (x) (x 1)，求整数k的最大值.1【答案】(1 1)y 2(e 1)x e； (2 2) 2 2【解析】(1 1)利用导数的几何意义，求出在该点处的切线的斜率，再结合点的坐标，求出切线方程；(2 2)整理该不等式，将其恒成立问题，转化为新的函数的最值问题，采用分类讨论，求最值，再构造关于 k k 的新函数，分析其单调性和函数值的正负，从而确定整数k k 的最大值 【详解】第2222页共 1818

26、页解：(1 1)f (x) (x 1) ex1,3f (1) 2(e 1),f(1) e -,23I: y e 2(e 1)(x 1),第2323页共 1818 页曲线C:1 cossin(为参数)，以坐标原点0为极点,x轴的非负半轴为极轴建I:y 2(e 1)x e、1所以切线方程为y 2(e 1)x e；x(2 2)(x k) f (x) (x 1)2，即(x k) e 1 x 10.令g(x)g (x) (x(x k) ex(k 1)ex1 x 1,只需g(x)min0.当k 1时,g x0,g x在0,单调递增，所以g(x)g(0) 10满足题意;当k 1时，由g (x)0，得xk 1 :)由g (x)0，得0 x k 1,所以g x在0,k 1上单调递减, 在k 1,上单调递增,g(x)ming(k 1)1k.-e k e1 0,令h(k)1k.e k e1,h(k)1 1 eke,h(1) 0,h(k)单调递减，所以h k0,所以h k在1,上单调递减，h(1)10,h(2)3 e 0, 1h(3) 4 e20综上可知，整数k的最大值为2【点睛】本题考查了导数的几何意义，求切线方程，利用导数解决函数恒成立问题，判断函数的 单调性，属于难度较大的压轴题x2222 .在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为