2019届广东省湛江市高三调研测试题数学(文科)试题(解析版)

1、第页1湛江市2019届高三调研测试题数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1已知集合，则.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由与，求出两集合的交集即可【详解】/，昱一：沁：，“一：.:,故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取A. B.C.、D.【答案】B【解析】【分析】【详解】由扇形图可得学生总人数为 M.，名学生进行调查，则抽取的高中生人数为由扇形图先得学生总人数，根据分层抽样的定义建立比例关系n2000二，解方程即可

2、得到结论】第页2设抽取的高中生人数为n，则200，解得，故选B.第页3【点睛】本题主要了考查分层抽样的概念及应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题Z -i i3.满足(是虚数单位)的复数Z1 1 1 1 1 1 1 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本运算即可得到结论.zH1-i i *i)i *11 【详解】T,，；.i，即，故选A.z1-1(1-1)(! -1)222【点睛】本题主要考查复数的计算，掌握其运算法则即可，比较基础24.双曲线二-的焦点到渐近线的距离为4 A. B.C. I D.、【答案】C【解析】【分析】 分别求出双曲线的焦点坐标和渐

3、近线方程，禾U用点到直线的距离公式，即能求出结果.2 【详解】双曲线中，焦点坐标为.，渐近线方程为匕J| I 5|双曲线的焦点到渐近线的距离，故选C.4 -yi +4【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质5.已知非零向量m、n满足n -Jm，且m丨m n，贝U m、n的夹角为A. B.C.:D.【答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到.【详解】，即 -扁:.:又J ! in ,.：II：二if缶:，解得 心二.结合 讪I，所以 2 :)，故选C.第页4【点睛】本题考查

4、平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础6明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正整数【答案】A【解析】出循环，的输出值为，故选 A.A.7曲线 厂.在点,T：处的切线方程为（）JC. T A.： - -I I B.B. - ： I I C.C.、 D.D.【答案】A【解析】 解:x + 2-x _2(X + 2)2(x+2)22-=2(-1 习利用点斜式方程可知为y=2x+i视频孙子歌诀：三人同行七被：除余,被除余：，被除余,的结果为（）按程序框图知的初值为代入循环结构，

5、第一次循环，第二次循环： ，推8某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为()【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为、.：，高为的三角形，其面积为讥1,故选D.9使函数f(x)=筋別琐2x亠耳cos(2x i 0)是偶函数，且在厲即上是减函数的的一个值是()4J兀荻2兀5兀A. B.C. D.6336【答案】B【解析】313C-,由于心：为偶函数，则22b算住0) = 2sin(0卜沪 26兀 兀7C兀_ 兀-.-，当三：时，:卜，：二二d为减函数，符合题意,Jo242所以选B.10.设工、-是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. a f

6、l B二n, mUa, mZ/|3 m/nB a丄卩，aDp = m, m丄n分n丄卩C. m丄n, mUct, n匚p =a丄0D.,=【答案】A【解析】【分析】对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可.【详解】对于A,根据线面平行性质定理即可得A选项正确；对于B,当 ，、；：时，若,则，但题目中无条件-，故B不一定成立；对于C,若：“：，T,则 与 相交或平行，第页4【答案】D第页6故C错误；对于D,若t .,I：-，；,则:】：与I】平行或异面，则D错误，故选A.【点睛】本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练掌握空间中线线

7、垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键.X11.已设函数，则满足的 的取值范围是A. | I | B.- C. | I . | D. |-|【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可【详解】当 时，的可变形为I I,.当 时，i-:疋.兰；的可变形为，、,则满足的的取值范围是| -|,故选D.【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式，解题的关键为转化特定的不等式类型求解，属于基础题12.点豆、 在同一个球的球面上若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为169TE289s2轨A.B.C.D.心161616【答案】B【解

8、析】【分析】根据几何体的特征，先确定.外接圆的圆心即小圆圆心，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1,小圆的圆心为 ，由4于底面积-二.；.匕不变，高最大时体积最大，所以 二；：；与面丿 m 垂直时体积最大，最大值为-：|： -?：1：: J,设球心为 ，半径为，则在直角.中，二二上二订二匚：，即J广 ！u, -,8则这个球的表面积为：，故选B.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键第页7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13若；：=.是奇

9、函数，贝U2 1【答案】2【解析】本题考查函数的奇偶性定义。此函数的定义域为卜亠门因为函数为奇函数所以有 个- -瓦o1I即2-2K- 12s1-+ 2a =- -1严2-1 2a = I所以汇=-2xy-l 014._设X、y满足不等式组 丘十y-4i【答案】；【解析】【分析】确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得的最大值.x - y - 0-A=(【详解】不等式组x-ny-4 0表示的平面区域如图，由F丫二一，解得忑=2x十y表示直线心丨【y一1第页8第页9(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3

10、)将最优解坐标代入目标函数求出最值.15._圆心在直线y=-牧， 且与直线x + y-1 =。相切于点玖玄-2)的圆的标准方程为 _【答案】讣：疔=【解析】|a 1 b-l| b =_斗気-尸一J2试题解析：设,| r - - - :|a+b-l|则 =-所以（x-1）2+（y+4）2= 8.点睛：确定圆的方程方法直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法1若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出：的值；2若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D E、F的方程组,进而求出D E、

11、F的值.16若ABC的内角 满足k :- ,贝U的最小值是 _.【答案】一-4【解析】匚3丁1丁血厂a +(2b7応 寿犷 + -fib试题分析：由正弦定理有上；，所以，-,由于2 cosiC -二-2ab2ab32I2(32I3&6-2.，故一:一，所以的最小值是考点：1正弦定理；2余弦定理的推论；3均值不等式【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题在本题中，由正弦定理把加“二化为払”，再由余弦定理推论求出的表达式，还用到用均值不等式求出，再算出结果来42J4 22:视频试题分析：可设圆标准方程，则根据题意可列个条件：f，解方程组可得.丨：、！ 即得圆方

12、程-: I- ，解得丨! 第页10、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列怛J满足町=2%一1（壮EN*,门巴2）,且引二1, %二入+1.（I）证明：数列.是等比数列；（n）求数列冰的前.项和.【答案】（1）见解析（2） . , =1【解析】【分析】（I）由已知条件可得叫1药I?,即亠 ：可得结论；（n）由（I）求得；：；=,利用错位相减 法求其前项和【详解】（I）证明：当时，,%u-, .S 1数列：是以2为首项，公比为2的等比数列.（n）解： -y 严Tn = 1 X 2 I 2沁2 + 2 % 2*! - + （n- I） - 2111i n 2n,:1.i ：

13、 I ,：._二-.i二IB1-2【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于S,其中和:卜，：分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于；. = = ：,其中 为等差数列，.为等比数n（n + 1）列等18如图，在四棱锥中，底面是矩形，是棱的中点.（I）证明：平面王心平面 ；第页11(n)若.空一 mm,求点 到平面二比:的距离.【解析】试题分析：(1)证明上：wm, . I，贝八I；釘；1；门,所以国W .1涵:;(2)利用求得。7试题解析：(1)在矩形ABCD中,.I又 -

14、 丄1 L： .1丄:U：/.；又-空 .-：:：(2)在U 中，丸-珂；,是棱.的中点， 由(1) 知 .-r-平面H，上：三.F-i-j. j I.平面-:.I.-I面；2 二,而！； -面1_1所以，在.中， =匚设点到平面的距离为19某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评 出一二三等奖现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.g - PAC = % MAO所以点到平面的距离为【答案】(1)见解析又I门1?一.卩APAC = iNAC7第页12（I）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（n）用随机抽样的方法

15、从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（川）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率.【答案】（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（3）【解析】试题分析：（I）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（n）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平

16、均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（川）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果试题解析：（I）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等1 - 0.4 - 0.26 -0.1奖的考生 -；:人（n）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，_8 +34 + 93 + 90 I 92-79 + 39 + 84+ 86 i 87x.=-=8S x3=- - 85155,72+ 4：+- 2 +6：-42+ Z + I2“町=-=22 s；=- -=H -6,因为885,

17、】Iv 2亠，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差（川）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有 人-9分设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是，只有语文一科为一等奖的 人是，则随机抽取两人的基本事件空间为:I - - |1,共有 个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件第页13入.；、共：个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率15 520.已知椭圆：一一(-八沁)的离心率，且右焦点为：丄二：.斜率为 的直线与椭圆 交于aD孑、 两点，以.为底边作等腰三角形，顶点为(I)求椭圆的标准方程；(n)求亠 n的面积. V29【答案】(

18、1)(2)12 42【解析】【分析】(I)由椭圆的离心率为-，右焦点为. ，结合扩，即可求出椭圆 的方程；(n)设，代入椭圆方程，得*；-.：:，根据韦达定理益中点的坐标，根据斜率可求得，进而能求出亠.的面积.【详解】(I)由已知得.-= /:- ,，解得一.a 3、.1-，-,2 2椭圆的标准方程124(n)设直线的方程为；, -：.：，代入椭圆方程得k7.1广:.,设、二J,中点为叫 ,X t x巾3mm则，24耳因为是等腰讥主E的底边，所以于 .m2-所以的斜率为，解得.，3m二十4此时方程为，.；：；？-J解得,，所以，所以I二此时，点if;.到直线.:”：的距离1-3-2 + 213

19、 甩 忑2，所以的面积J -二一【点睛】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、14根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用.2 121.设函数 （）.xx（I）求函数的单调区间；（n）记函数的最小值为 ，证明：【答案】（1） 在上单调递减，在上单调递增.（2）见解析【解析】【分析】（I）的定义域为：工十云，求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（n）要证，11 1即证，即证明，构造函数，判断函数的单调性，通过函数的最小值推出结果即可.a矿0【详解】解：（I）显然的定义域为；匚,2 1 2X2+ 2 x2+ 2 （x2+ 2Yx - a）f（x）=1 + - a（ !） = _ a * =-.X2孟X3X2X3X3若I, ：、-；I：,此时Tjg, ii在 上单