2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(解析版)

1、第页12019 届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1集合. ：!；，r 九 + 2 K，*，若/，则的取值范围是（）A. : B.、上C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合 M、N,再求，再根据*得到 a 的不等式，即得解.【详解】由题得-，厶a因为- I -宀，所以-.故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验2

2、若直线.:-2 与双曲线9 422 2 2A. ： B. 、【答案】C【解析】【分析】36，即得的取值范围.4-9时【详解】联立直线和双曲线的方程得:八.:1 ：_, 2当- ，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点3,223622当-，解之得:.f: _.34-9k33故答案为：CI 相交，则的取值范围是（）联立直线和双曲线的方程得到第页2【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力3.在中，AB=3，AC = 2，丽=扌盘：，则心，血=（）5555A. B. C. D.2244【答案】C【解析】【分析】I 一 1 * * 1*如图

3、所示，由=工.=，可得-I：-，代入即可得出.【详解】如图所示，r 1 r 1 rr= *-竺r 1 r -n,r r r r 电?=3 丄 M :匹:=-故答案为：4已知数列的前 项和为 =，正项等比数列中，则)A. :. I B. -： I C. ：厂:D.【答案】D【解析】【分析】2数列an的前 n 项和 Sn=n - n, ai=Si=0, n2 时，an=Sn- Si，可得 a*.设正项等比数列bn的公比为 q 0, b2=a3=4. bn+3bn-i=4bn2(n 2, n N+),化为 q2=4，解得 q，可得 bn.【详解】数列 an的前 n 项和 Sn=n2- n,-ai=S

4、i=0, n2 时，an=Sn Sn-i=2n 2, n=1 时也成立.一ui=4 上|，化为 q2=4，解得 q=2 .第页3 an=2 n - 2.设正项等比数列bn的公比为 q 0, b2=a3=4.2bn+3bn-i=4bn(n 2, n N+),第页4b1x2=4,解得 b1=2 .二 bn=2n.则 log2bn = n .故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法， 考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若在已知数列中存在：6-輕：龙二-.：的关系，可以利用项和公式如儿卫，求数列的通项.lSirSn-l5已知直线门与圆: :J

5、.-丨相交于，且芒.I- 为等腰直角三角形，则实数的值为()A.或-1 B. -1 C. I D. 1或-I7【答案】D【解析】【分析】由三角形 ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离 d=rsin45。，禾 U 用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值.【详解】由题意得到 ABC 为等腰直角三角形，la-a - 1Ji圆心 C (1,- a)到直线 ax+y -仁0 的距离 d=rsin45 即了冷,VI + a 2整理得：1+a2=2，即 a2=1,解得：a=- 1 或 1,故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆

6、的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键.r r r 2tanA - taTiB分别是角的对边，若，则A. 1；B. 1 C. 0 D. 2014【答案】A【解析】【分析】6.在中,的值为()第页5由 a2+b2=2014c2,禾 U 用余弦定理可得 a2+b2- c2=2013c2=2abcosC.禾 U 用三角函数基本关系式和两角和的正弦62sinA sinB2tanA - tanB cosA cosB 2sinAsinBco3 2abcosC.=即可得出.tanCftanA + tfuiB) sinCs in A sinB sinCsin(

7、A + B) LcosC cosA cosB【详解】 a2+b2=2014c2, a2+b2- c2=2013c2=2abcosC.2smA sinBX-2tanA - tanB cosA cosB 2sinAsinBcosC 2abcosC = =2013.tanCftanA + tanB) sinCsinAsinB sinCsin(A + B) ccosC cosA cosB故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题.7已知点忍 J亍丁是圆:.X : / =内一点，直线是以 为中点的弦所在的直线，直线的方程为 :

8、，那么()A. I 二且门与圆相切B.I】且门与圆相切C. I 二且门与圆相离D.I】且门与圆相离【答案】C【解析】【分析】求圆心到直线的距离，然后与a2+b2vr2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系.*b【详解】以点 M 为中点的弦所在的直线的斜率是-，直线 m 的斜率为，直线 I 丄 m,ba点 M (a, b)是圆 x2+y2=r2内一点，二 a2+b2vr2,22L圆心到 bx - ay=r2的距离是 - r，故相离.J 矿 + b2故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.若圆.-：i-

9、.I 和圆宀了二.关于直线对称，过点的圆 与 轴相切，则圆心的轨迹方程是()A. y2lx I 4y I- 8 = 0 B. y2十 2x2y12 = 0C. 4 乂_4y I K = 0 D. y22x-y I 1 =0【答案】C公式、正弦定理可得7第页第页8【解析】 【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出出过点 C （- a, a）的圆 P 与 y 轴相切，就是圆心到 C 的距离等于圆心到 y 轴的距离，即可求出圆心 P 的轨迹方程.x2+y2- ax+2y+仁 0 的圆心（肆-1 ）,因为圆 x2+y2- ax+2y+仁 0 与圆 x2+y2=i 关于

10、直线y=x - 1 对称，设圆心（）和（0,0）的中点为（）,242a 1所以（）满足直线 y=x - 1 方程，解得 a=2,42所以, : )，再消参.第页9【详解】平行四边形 ABCD 中，AB=2 , AD=1 ,第页10昇.I = 1，点M在边 CD 上， AE1? AD1?COsZ A=- 1, cosA= - -, A=120 ,2以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的垂线为 y 轴，建立如图所示的坐标系， A ( 0, 0), B (2, 0),J313设 M (x, 一)，则x b 0)焦点在 x 轴上，四边形 AFFIB 为长方形根据椭圆的定义:【详解

11、】椭圆=1 ( a b 0)焦点在 x 轴上，汕 b2椭圆上点A关于原点的对称点为点B , F 为其右焦点，设左焦点为 R，连接 AF , AF!, BF ,BFI,四边形 AFF!B 为长方形.根据椭圆的定义：|AF|+| AFi|=2a,/ABF=X，则：/AFIF=a. 2a=2ccosa+2csinaIE JEaw ,4 2故答案为：5兀 w12H D兀sin(0+) 1 1? = ?,k? (-) = ? =0,F- F即：丄，第页i2同理可得：丄，丄/即 0 是垂心，故厶 ABC 是正三角形,OA扯=QB?=oc ? = -1,222兀令外接圆半径 R,则：R cos(ZAOB )

12、 =R cos () = - 1即：R=.a即：-=.=2R=2 .,siiiA sin-3即：a=,故周长：3a=3.：岸，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题.7C15.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且：，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 _.【答案】【解析】【分析】设| PFi|千，| PF2| =% | Fl =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为ei, e2,由余弦定理可得2 2 2 “ 2 24c = (ri) + (2) - 2rir2cos，在椭圆中，化简为即4c =4a - 3仃2，在双曲线中，化

13、简为即 4c2=4ai2+rir2，心匕 r 一,再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离ele2心率的倒数之和的最大值 【详解】设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为 ai, (aaj ,半焦距为 c,由椭圆和双曲线的定义可知，设| PFi| =ri, | PF2| =2, | FiF2|=2c,椭圆和双曲线的离心率分别为ei, e2,j-222ZFiPF2=，则.由余弦定理可得4c = (ri) + (r2) -2ri2COS.，在椭圆中，化简为即4c2=4a2- 3订2，第页17在双曲线中，化简为即4c2=4ai2+rir2，第页i2所以-=42 2 ，eLe2I：;I2由柯西不等式得（1+ ）

14、（二一：）（）3 引 匕 26 j十 I I 砧所以一 I 2 时,-严，两式相减得.-:，得- 7又 ，数列是以 2 为首项，1 为公差的等差数列,2 2an0,不等式 2n2- n - 33时，-，厂； 5 -入二，即，8 8 8整数入的最大值为 4.故答案为：4【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了不等式的恒成立问题，是中档题.（2）解答本题的关键有两点，其一是根据y 一 :求数列的通项:二=了：严，其二是求的最大值2三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17在.中，角的对边分别是，已知向

15、量,且满足匚-，产丄丄 丄（1）求角的大小;若/ c ,试判断、 一的形状.【答案】（1）（ 2）直角三角形【解析】【分析】（1）直接化简山门得工:加 匸，.（2）联立 一-_ ，：- =.，化简得或 ，22hc2当 b=2c 时，可以推理得到.为直角三角形，同理，若，则二上：一也为直角三角形.、令=t 卄y t3A3A - A A【详解】T.、，代入：- ,_；,有AzE 匕3A A3A A. -,222 23A A3AA13AA11.,即卩，.=. 一 厲：22222222-2联立有，即 七：, 解得 h 或_ ;!，,又上，若 t： ,则；T.=.g丫，5 匚二为直角三角形，同理，若，则

16、二-二芒也为直角三角形【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解题的关键是推理得到或 .2bc第页2018.已知圆 经过原点且与直线/ -相切于点i.-J-(I)求圆的方程；(n)在圆 上是否存在两点关于直线丫-1对称，且以线段匸 A 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 的方程；若不存在，请说明理由【答案】(I). _ - I.-(n)见解析.【解析】【分析】(I)由已知得圆心经过点P (4, 0)、且与 y=2x - 8 垂直的直线上，它又在线段 OP 的中垂线x=2 上，求得圆心 C( 2, 1),半径为需，可得

17、圆 C 的方程.(n)假设存在两点 M, N 关于直线 y=kx - 1 对称，则 y=kx - 1 通过圆心 C (2, 1),求得 k=1，设直线 MN 为 y= - x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及？=0,求得 b 的值，可得结论.【详解】(I)法一：由已知，得圆心在经过点且与垂直的直线上，它又在线段的中垂线 上，所以求得圆心，半径为所以圆 的方程为.：. -.(细则：法一中圆心 3 分，半径 1 分，方程 2 分)法二：设圆 的方程为/,?：/22Yo1可得X。- 42(吨-4)十九-(或$解得 =1-，匸=屈所以圆 的方程为产：-=:.(细则：方程组中一个方程1 分)(n)假设存

18、在两点关于直线厂-对称，则通过圆心，求得 ，所以设直线为代入圆的方程得jI 2I-. 2设：贝 y ?. j-.-1-.第页21这时匕、1、,符合题意，所以存在直线I?为 T - ”：.或- -：符合条件(细则：未判断 的扣 1 分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质 的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应 用是解答问题的关键19.各项均为正数的数列 中， 是数列 的前 项和，对任意，有?

19、:(1) 求常数的值；(2) 求数列的通项公式；4Sn记，求数列的前项和11n + 3n + 【答案】(1)(2)(3):】丨上 -【解析】【分析】(1)令J：中 n=1 即得 p 的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出4S.，再利用错位相减法求数列的前.项和hEl 3【详解】解：(1)由 及 2；，得：， .由 I，得匚+如丄十L 由一，得，即：小叮1A 叮由于数列各项均为正数，J 即 i 匚：=数列是首项为 1，公差为 的等差数列，.I n 十 1数列的通项公式是n + 1n(n I 3)4%由，得：，二,工4n + 3第页22pi 二二二 r VJJI .1:J. : J

20、 I-T =2-22+ 25十十-n - 2n+l=x2n_1= - fn - l)2,1+l-2nI-2I ,.1 I1?.【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求 和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法22j(rr20.已知椭圆的离心率，原点到过点，的直线的距离是，/ IT25(1)求椭圆的方程;如果直线交椭圆 于不同的两点二三，且二三都在以 为圆心的圆上，求.的值.【答案】(1)( 2)；16 44【解析】【分析】(1)由题得到 a,b 的方程组，解方程组即得椭

21、圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y 得到.，可知 ，设啖 6 心，丽仏二的中点是二乜 d 求出 M 的坐标，再根据XM+21-求出 k 的值.殂k【详解】解：因为 ，.= /,所以 ，自2x y 此 叭因为原点到直线 十 I 的距离，解得 ，a b曲+b“x2y2故所求椭圆的方程为一一.164.y = kx+ 1FT齐由题意 X y_ 1 消去 y,整理得(I I 4k+ Skx- 2 = 0，可知 A0，(164x十耳设，宝的中点是叱;厂烏，贝y -4k1 4-4k2第页23所以 ，所以84【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系

22、，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M 的坐标，根据已知得到U 二=.21.已知定点，定直线：，动圆 过点，且与直线相切(I)求动圆的圆心轨迹 的方程；(n)过点 F 的直线与曲线 相交于，两点，分别过点，作曲线 的切线，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.【答案】(I)-厂= .r； (n)当二.时线段.最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为.【解析】试题分析：(I)设. ，由I 化简即可得结论；(n)由题意 注主E的外接圆直径是线段二土，设沁：丁 -加 I ,与九联立得:一 4：；,从而得、： .1 , 时线段最短，

23、最短长度为 4,此时圆的面积最小，最小面积为.试题解析：(I)设点 到直线的距离为，依题意li -i I-.设：，则有- I .化简得.所以点的轨迹的方程为厂-.(n)设：I代入中，得：!:.设，则- 山，r广八.所以.计1广 J：.、! 1/. .2因为：=;:，即 r 一，所以一.4 2所以直线 的斜率为，直线 的斜率为1222KiX,因为.，1-4所以丄I即，即. 为直角三角形.第页24所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.因为 | : = ；. -:；所以当 时线段.最短，最短长度为 4,此时圆的面积最小，最小面积为.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题求轨迹方程的常见方法有：直接法， 设出动点的坐标 ，根据题意列出关于的等式即可；定义法， 根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.本题(I)就是利用方法求圆心轨迹方程的22.设函数 (1)当.卜 时，求函数 ii 的最大值;2 令：: