2020届广东省广州市荔湾区高三调研测试(二)数学(文)试题(解析版)

1、本题考查集合间的运算，属于基础题第 1 页共 19 页2020 届广东省广州市荔湾区高三调研测试(二)数学(文)试题、单选题1.已知复数 za2(其中 i 为虚数单位)，右 z 为纯虚数，则实数i1a 等于(1)A . - 1B.C.1D.22【答案】B【解析】根据复数的除法，求出 z 的实部和虚部，由纯虚数的定义， 得出关于a的方程,即可求解【详解】z(ai)(2i)2a 1(a2)i 2a 1(a 2)；(2i)(2i)55|,51z 为纯虚数，2a 10,a2 0，解得a.2故选:B.【点睛】 本题考查复数的除法运算，考查纯虚数的定义，属于基础题2 .设集合 A=x|x2- 4x+3W0

2、, B=x|x2- 91. 故选:D.【点睛】3 .已知命题 p：若 a|b|，则 a2b2;命题 q：?x R，都有 x2+x+i0.下列命题为真命题的是( )第2页共 19 页A.pAqB.pAqC pAqDpAq【答案】A【解析】由不等式的性质可判断命题p为真，x2x 1配方求出最小值，可判断命题 q 为真，根据复合命题的真假关系，可得出结论【详解】命题p:a b 0，平方可得a2b2，故为真命题；21233命题q:x x 1 (x )2442x x 10, x R恒成立，故为真命题故选:A.【点睛】本题考查复合命题的真假，关键要判断简单命题的真假，属于基础题4.已知等差数列an的公差为

3、2,a2,a3,a6成等比数列，则a.的前 n 项和Sn()A.n n 2B.n n 1C.n n 1D.n n 2【答案】A【解析】由等差数列an的公差为2,a2,a3,a6成等比数列，列出方程求出a1=- 1，由此能求出an的前 n 项和 Sn.【详解】等差数列an的公差为 2, a2, a3, a6成等比数列，(a a1+4)2=(a a1+2) ( a1+10),解得 a1=- 1,n n 122二an的前 n 项和 Snn 12n+n - n = n - 2n= n (n - 2).2故选：A.【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和的求法，考查等比数列、等差数列性质等基础知识，考查

4、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.uuuL uuuuuuuuu5. 已知 ABC 为直角三角形，点 D 为斜边 BC 的中点，IABI3,IACI=1,AEED，第3页共 19 页uuuuuu则AE?EC等于()20A .9【答案】D按照向量的数量积运算，即可求解【详解】uuurAEuuur、，人、丄BC 的中点，UULT1 UJUT1uuu1UJUTAE-AD -AB AC244UUluuur 1 uuur3 uuur 1UUUECACAD -3ACAB,244uuuUUU1 UUU 1 uuur3uuurAEEC ( AB -AC) ( AC44441 uuu21 uiuruuL

5、uu 3 uuur213AB AB AC AC =30.16816 1616故选:D.【点睛】运算，属于基础题6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=log2X- 3x.则 f( - 4)=()A.10B. 10C. 14D. 14【答案】A【解析】由已知求出f(4)，根据奇函数的对称性，即可求出f( 4).【详解】x0 时，f xlog2x-3x, f (4) 2 1210,f(x)是定义在 R 上的奇函数，f( 4) f (4) 10.故选:A.【点睛】本题考查奇函数的对称性，属于基础题.B. 1uuu - mur【解析】IABI 、3, IAC1=1,AB

6、uuu uuurAC,以AB, AC为基底,uuu uuur uuuUULT将AE, EC用AB, AC十一 uuu表示，AEED, D 为斜边 BC 的中点,uuu 1 uuu 1 uuurAE AB AC44uuur 3 uuur 1 uuuECAC -AB，44本题考查向量基本定理,将所求的向量转为基底表示是解题的关键,考查向量的数量积第4页共 19 页7.某人第一年月资为 7000 元，各种用途占比统计如图的条形图，第二年，他加强了体育锻炼，月工资的各种用途占比统计如图的折线图，已知第二年的月就医费比第一年月第5页共 19 页就医费少 100 元，则他第二年的月工资为（A . 7000

7、 元B. 8500 元【答案】C【解析】根据条形图求出第一年月就医费用,C. 9500 元D. 10500 元由已知求出第二年的月就医费用，进而求出第二年的月工资【详解】由条形图求出第一年月就医费用7000 0.15 1050,依题意第二年月就医费用为1050 100 950,950占月工资的10%，月工资为9509500.0.1故选:C.【点本题考查条形图和折线图的识别，属于基础题8.函数A .【答案】A第6页共 19 页【解析】由于函数 f(x)的解析式中含有参数a，因此可考虑对a直接进行取值，然后 再判断f(x)的大致图象即可【详解】直接利用排除法：当a 0时，选项 B 成立；21当 a

8、 1 时，f(x) x函数的图象类似D；x【点睛】本题主要考查函数图象的辨析，难度较易f(x)f(x)=2x+cosx2x+cosx在点( (2，f(f(2 2)处的切线方程为(【答案】【详解】在点(2，f()处的切线方程为y即为x y0.2故选:B.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题B.4【答案】D【解析】 做出可行域，根据图像即可求出结论【详解】2当a 1时，f (x) xix， 函数的图象9 函数y 0 B.x- y 3C. 3x - y02【解求f(X)，求出切线的斜率f(2)，f(?)，由直线的点斜式方程，求出切线方2x cosx, f ( ), f (x)2sin x,f

9、( )110 若 x, y 满足约束条件X2x，则6z=2x- y 的最小值是(第7页共 19 页做出可行域，如下图所示:第8页共 19 页xy2x1八联立，解得，A(1,1),xy0y1由图像可得，当目标函数z 2k y 过点A时,取得最小值为 1.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题*2I11 已知双曲线的左、右焦点分别为珂，过作圆弋的切线分别交双曲线的左、右两支于，且 I-.-,则双曲线的渐近线方程为（）A .:丄B . -二C.、.；丨D. .1Z【答案】D【解析】直线 I3C 的斜率为器计算 iBFj = 4a, llF二 2 心

10、，利用余弦定理得到b2-2ab-2a2= 0,化简知得到答案fl【详解】第9页共 19 页由题意知直线的斜率为又-1：加由双曲线定义知 ICF-ICFJ二BFJ =环 IBFJ 二 4a，虬 F-% 由余弦疋理: c 饷师片=：二p= % u _3 J 二 血，即 |b：-2b-2a2= O，即)T)-2 = 0 解得卜】乍 3.故双曲线渐近线的方程为！.、 | .故答案选 D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.12 .三棱柱 ABC - AiBiCi的底面是边长为 2、3 的正三角形，侧棱 AAI丄底面 ABC,若球 0 与三棱柱 ABC -

11、AiBiCi各侧面？底面均相切，则侧棱 AAi的长为()A . iB. . 3C. 2D .2、入【答案】C【解析】 球 0 与上下底面相切，侧棱长为球的直径，球0 与三棱柱 ABC - AiBiCi各侧面，球的半径为底面三角形内切圆的半径，即可求解。【详解】 三棱柱 ABC- AiBiCi的底面是边长为 2、3 的正三角形，侧棱 A丄底面 ABC，球 0 与三棱柱 ABC - AiBiCi各侧面，所以球0半径为正ABC内切圆的半径为 上 3 2.3 i ,6球0与上下底面相切，侧棱长为球的直径为2.故选:C.【点睛】本题考查多面体与球的接、切问题，要注意数形结合借助棱柱和球的几何特征求解，属

12、 于基础题.、填空题i3.数列an中，满足 2an+i- an=O，且 a23 ;贝 U a4=_ .i【答案】丄81i【解析】由已知可得an为公比为一的等比数列，再由a2，即可求解22第 7 页共 i9 页第11页共 19 页【详解】3n 111石-，3n为公比为2的等比数列，_ / 1、234=32(2)1故答案为：1.8【点睛】 本题考查等比数列的判断，以及等比数列基本量的运算，属于基础题14 执行如图的程序框图，若输出的y 值等于输入的 x 值，则这样的 x 的值是_ ./输出【答案】523x 5 x【解析】根据条件结构语句可得出，y关于x的函数为y2，分类讨论x 5 x求出yx的解，

13、即可求出结论【详解】5当x时，由y 3x5x，解得x2当x时，由y x25x, x2x 5,1 219 0,方程无实根，5故满足条件的x.25故答案为：5.2【点睛】本题考查程序框图输入值和输出值，读懂程序功能是解题的关键，属于基础题15 已知点 A(5,)，过抛物线 y2=8x 上一点 P 作直线 x= - 2 的垂线，垂足为 B 若|PB|=|PA|,则 P 的横坐标为_ .12an厂an,且32.,an,第12页共 19 页【答案】72【解析】直线 x= - 2 抛物线寸8x的准线，抛物线的焦点F(2,0)，由条件和抛物线 的定义可得PB PA |PF|，可得出P的横坐标为线段AF中点的

14、横坐标，即可求出结论【详解】直线 x= - 2 是抛物线y28x的准线，抛物线的焦点F (2,0)，依题意可得PB PA |PF |，过P作x轴的垂线，垂足为AF的中点，所以 P 的横坐标为2故答案为；-.2【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键点判断出已知的直线为抛物线的准线，属于基础题.16 .已知四边形 ABCD 为矩形，AB =2AD =4, M 为 AB 的中点，将厶 ADM 沿 DM 折起，得到四棱锥 Ai- DMBC，设 AiC 的中点为 N，在翻折过程中，得到如下有三个命题:BN /平面 A1DM :三棱锥 N - DMC 的最大体积为:在翻折过程中，存3在某个位置，使得 D

15、M 丄 A1C.其中正确命题的序号为 _.【答案】【解析】分别延长 DM , CB 交于 H ,连接 A1H ,可证 B 为 CH 的中点，因此有 BN / A1H , 可得为正确；要使三棱锥 N - DMC 的体积最大，只需 N 到平面 DMBC 的距离最大， 当平面 A1DM丄平面 DMBC 时满足，可求得此时体积为 还2,正确；DM = CM=2 ,3CD=4,可得 DM 丄 MC,若 DM 丄 AQ，可证 DM 丄 A1M，与已知 DM 为斜边矛盾，错误.【详解】对于，分别延长 DM , CB 交于 H，连接 A1H，如图所示；11由已知得BM - AB CD，可得 B 为 CH 的中

16、点，22可得 BNAQH 的中位线，可得 BN / A1H ,BN?平面 A1DM , A1H?平面 A1DM ,可得 BN /平面 A1DM 正确；第13页共 19 页对于，当平面 AIDM 丄平面 DMBC 时，Ai到平面 DMBC 的距离最大，且为：2，此时 N 到平面 DMBC 的距离最大，且为 _2 ,21 DMC 的面积为 2 用=4 ,2可得三棱锥 N - DMC 的最大体积为142红2,323正确；对于，若 DM 丄 AiC,又 DM=CM=2 , CD=4,可得 DM 丄 MC,贝UDM 丄平面 AiCM，即有 DM 丄 AiM ,这与 DM 为斜边矛盾，错误；综上，以上正确

17、命题的序号为.本题以图形翻折为背景，考查空间平行、垂直的判定和体积的最值，要注意翻折前后不变量合理地运用，考查空间想象能力，属于中档题 三、解答题17 某高中三年级有 A?B 两个班，各有 50 名同学，这两个班参加能力测试，成绩统计结果如表：A?B 班成绩的频数分布表分组50, 60)60, 70)70 , 80)80, 90)90, 100A 班频数482396B 班频数71213108第14页共 19 页(1)试估计 A?B 两个班的平均分;(2)统计学中常用 M 值作为衡量总体水平的一种指标，已知M 与分数 t 的关系式为:2(t60)M2(60 t 80).4 t 80分别求这两个班

18、学生成绩的M 总值，并据此对这两个班的总体水平作简单评价【答案】(1)A=76，B=75见解析【解析】(1)取每组区间的中值作为该组的成绩，求出成绩总和，即可得出结论；(2)分别统计出两个班在50，60)，60，80)，80，100的人数，结合M与分数的关 系，即可求解.【详解】(1)估计 A 班平均分为：1XA一 (4 55+8 65+23 75+9 85+6 95)=76 ,501B 班平均分为：xB一 (7 5+12 65+13 75+10 5+8 95)=75.50A 班学生成绩的 M 总值为：MA=-2 4+2 8+23)+4 +6)=114 ,B 班学生成绩的 M 总值为：MB=

19、- 2 灯+2 (12+13)+4 (10+8)=108 ,TMAMB, A 班总体水平好于 B 班.【点睛】本题考查由频率分布表求平均数，理解分段函数的意义，考查计算能力，属于基础题.(1)求厶 ABC 的面积;(2)由(1)得 bc=10,已知 c=2，得到 b=5，根据余弦定理可求出a，再由正弦定理,18.在 ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别为A2J5 uuuuuura, b, c,且满足 cos -,AB?AC256.(2)若c=2,求sinB 的值.【答(1)回17【解(1)A 2 5cos，利用二倍角公式求出cosA，进而求出sin A,25uuu uuurAB AC

20、6uuu，求出ABAC10,由三角形的面积公式，即可求解;第15页共 19 页即可求出sinB.第16页共 19 页【详解】 cosA口，二cosA 2cos 13,2525由(1)知，bc=10，且 c=2 , b=5,二由余弦定理得，a2=b2+c2- 2bccosA=25+4 - 12=17,a 17，在 ABC 中，由正弦定理得:应54sinB，解得sinB5【点睛】本题考查利用二倍角公式、向量的数量积求三角形面积，考查正弦定理、余项定理解三角形，属于基础题.【答案】 证明见解析（2）、.3BAA!，有OB AA1，结合平面 AA1C1C 丄4uuu uuir3uuruuur.sinA

21、,ABACAB AC 6,551UU uurAB|AC10SV1 uuU|Uur-AB” AC sinA 4.4,1717【解析】（1）连接 OG , AA1=2AC=2 ,O 为 AA1的中点，可得OC OC12，可证OC OC1,侧面 AA1B1B 是菱形,ABC19 .如图，三棱柱 ABC - A1B1C1的侧面 AA1B1B 是菱形，侧面 AA1C1C 是矩形，平面（2）求点 C1到平面 ABC 的距离.O 为 AA1的中点.第17页共 19 页3平面 AA1B1B，可证第 i3 页共 i9 页OB平面 AAiCiC，可得OB OC,进而有OC平面BOCi，即可证明结论;(2)AC/A

22、1G，可证ACi/平面ABC，点 Ci到平面 ABC 的距离与点 Ai到平面ABC 的距离相等，由(1)OB平面 AAiCiC，求出ABC, AAC的面积，用等体积 法VA|ABCVB AAC，即可求解.【详解】证明：连接AB,OCi，AAi=2AC=2，O 为 AAi的中点,OC OCi2, OC2OCi2CiC2，OC OCi，因为侧面 AAiBiB 是菱形，BAA3所以BAAi为等边三角形，O 为 AAi的中点，所以OB AAi，平面 AAiCiC 丄平面 AAiBiB,平面 AAiCiCI平面 AAiBiBAAi,OB平面 AAiBiB,所以OB平面 AAiCiC，同理可证AC平面 A

23、AiBiB,OC平面 AAiCiC，所以OB OC,OB I OCiO,OB,OCi平面BOCi，所以OC平面BOCi,因为BCi平面BOCi，所以OCBCi；(2)因为侧面 AAiCiC 是矩形，所以AC / /AiCi,AG平面ABC,AC平面ABC,所以AiCi/ /平面ABC,点 Ci到平面 ABC 的距离与点 Ai到平面 ABC 的距离相等,设 Ci到平面 ABC 的距离为h,由(i)得OB平面 AAiCiC,AC平面 AAiBiB,所以ACAB,OB .3、A ABCVB AA,Cii厂SABCh_SAAC33A1OB,h3SAA,CSABC3,第19页共 19 页【点睛】本题考查

24、线线垂直的证明，空间垂直之间的转换是解题的关键，考查等体积法求点到面的距离，属于中档题11(ab0)的左？右焦点分别为 Fi, F2,离心率为一，A 为椭23圆 C 上一点，且 AF2丄 F1F2，且|AF2|.2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左？右顶点为 Ai, A2,过 Ai, A2分别作 x 轴的垂线 li, 12,椭圆 C 的一条切线 l：y=kx+m(kz0 与 li, 12交于 M , N 两点，试探究说明理由2 2【答案】(1) J1(2)是，理由见解析33【解析】(1 )设椭圆的焦距为 2c,由已知可得点A的横坐标为c，将x c代入椭圆可a2b2c2，求出a,b

25、，即可求解;(2)由(1)得 li:x= - 2, b:x=2，直线 I 方程与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的元二次方程，0，求出k,m关系，求出直线 li, l2与直线 I 的交点M,N坐标,LUULT UUUU求出MF2NF2，即可求出结论【详解】c 11(1)设椭圆的焦距为 2c ,根据题意，c -a,2220 .已知椭圆 C：22a buuur uuunMF2?NF2是否为定值，并.2.2得y，可得aa?b2ia，再由离心率ec 11no夕士厶,ca，结合所以点 Ci到平面 ABC 的距离为.3 .第20页共 19 页a 22A 为椭圆 C 上一点，且 AF2丄 FiF2,第21页

26、共 19 页点A的横坐标为C，将X C代入椭圆可得y2 2解得 a=2,b b、3，椭圆的方程为：-y1；43由题设知 li:x= - 2, l2：x=2，直线 l:y=kx+m,kx y m 0联立x2y2，消去 y,1432 2 2得4k 3 x 8kmx 4(m -3)0,64k2m216( m23)(4k23)16(12k23m29)0故m24k23,l 与 11, l2联立得 M(-2, - 2k+m), N(2, 2k+m),又 F2(1, 0),ujuir ujur所以MF2NF2(3, 2k- m)?(- 1,- 2k- m)=-3 - (2k- m)(2k+m)= - 3 -

27、 4k2+m2=0,uuuu uiuu故MF2?NF2为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及定值问题，考查计算能力，属于中档题ml nx21 .设函数 f(x)(m R).x(1)当 m=1 时，求函数的单调区间；2(2)若函数 F(x)=f(x)+xmm+2 有两个零点，求实数 m 的取值范围4x【答案】递增区间为(0, e)，递减区间为(e, +R)(-汽-2e).【解析】(1)m 1时，求出f(x), f (x)，求出f (x)0, f (x)0的解，即可得出结论;224mlnx 4x m 4mx 8x有两个零点，求g (x),求出极值点且 |A

28、F2|32b2,b2a|a，所以a2b2c2(2)求出F(x)整理,F(x)有两个零点，转化为函数I,分析第22页共 19 页即可求出结论【详解】Inx1 Inx(1)当 m=1 时，f(x), x0, f(x)2-,xx令 f(x)=O，得 1 - Inx=0, x=e,随x的变化f (x), f (x)变化如下表：x(0,e)e(e,+8)f(x)+0f(x)递增极大值递减函数 f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +8);ml nx2mF(x)xm+2,定义域为(0,+8),x4xml nx2m4ml nx4x2m24mx 8xF(x)xm+2x4x4x设 g(x)

29、=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x,2函数 F(x)=f(x)+xmm+2 有两个零点，4x-函数 g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x 有两个零点，2”、4m8x 4m 8 x 4m 4 x 1 2x m- g(x) 划8x 4m 8xxx令 g(x)=0 得，x函数 g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x 有两个零点,随x的变化g (x),g(x)变化如下表:x(0,m7m2m(,+8)2函数值的变化趋势,只需g(x)g(x)的极小值g(g(等)。方程有两个零点，解不等式g(g(m)0,二函数 g(x)在(0, +1上不单调,m0, - m0,2第 i7 页共

30、i9 页g(x)0+第24页共 19 页g(x)递减极小值递增函数g(x)g(x)的极小值为g(g(),/当XT0时，g(x)T+8；当XT+8时，g(x) +,若函数 g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x 有两个零点, 则函数 g(x)的极小值 g(2即 4mln(m)+4m24点(不同于点 0),且 li的倾斜角为-.(1)求曲线 C 的极坐标方程和直线 12的直角坐标方程;(2)求 OAB 的面积.【答案】(1) C 的极坐标方程pcoS0=2sin,l的直角坐标方程y sin代入直角坐标方程，求出曲线C 极坐标方程；由已知 li的倾斜角为；，直6线 li, l2相互垂直，即可求出 12的极坐标方程；(2)曲线 C 的极坐标方程分别与直线 li, l2极坐标方程联立，求出两交点代B的极坐标，再由两直线 li, 12相互垂直，即可求出结论 【详解】m2- 4mm4m0,2 mln(mi i) ) - - m m0 0，又m m0 0,mln(ln(亍)1 1,m2实数 m 的取值范围为：(-8,e, m - 2e,-2e).【