2020届福建省龙海市第二中学高三上学期期初数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1515 页2020 届福建省龙海市第二中学高三上学期期初数学（文）试一、单选题1 1.已知集合二：、工 3 二匕 1 1 II -的必要而不充分条件 【考点】充分条件与必要条件 X5 5 .已知函数f x x a e的图象在x 1和x1处的切线相互垂直，则a（ ）A A .1B B. 0 0C C. 1 1D D . 2 2【答案】A A【解析】因为f （X）(x a 1)ex1a，所以f (1) (a 2)e, f( 1) ae1，由e题意有f(1)f( 1)1，所以a1，选 A.A.6 6 设函数 f f（x x）是定义在实数集上的奇函数，在区间1,0）上是增函数，且f(x

2、 2)f(x)，则有（)1A A .f(3)f(f)f(1)B B.f(1)31七)3231331C.f(1)f(3)f(2)D Df (1) f(;)3【答案】丿A A【解析】由题意可得f1f1-,f (1)f( 1),33f 3f 12f1，再利用函数在区间1,0）上是增函数可得答案222【详解】解：Qf f （x x）为奇函数，f（ x)f (x),又Q f (x2)f(x)f1f13,f (1) f( 1),f -f丄2f丄，33222又Q 1,11210,且函数在区间1,0）上是增函数，1111f( 1)f -f -0,f( 1)f -f -2323C C .充分必要条件第3 3页共

3、 1515 页f(1)故选 A.A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小， 考查利用知识解决问题的能力【答案】C C【解析】根据对数的运算性质转化为对数不等式的问题求解.【详解】由题意得，原不等式等价于loga21且log3a 1,340 a 1所以2且log3a 1,logalogaa4323解得2a 1且3a 1,343所以3a 14所以实数a的取值范围是I，1故选 C C.【点睛】 解对数不等式时，一般要根据对数的单调性进行，若对数的底数为参数，则需要注意对 底数进行分类讨论，同时不要忽视真数大于零这一隐含条件.8 8 .函数 f(x)f(x) = =cos( x)的

4、部分图像如图所示，贝 y yf f (x)(x)的单调递减区间为(B B.(2k-,2k-),k Z4427 7 若实数a满足loga -1 log3a，则a的取值范围是()343422 33门2A A .,1B B.C C.-,1D D.0,33 443第4 4页共 1515 页C C.(k 4,k4),kZ【答案】D D13D D(2k,2k-), k Z44【解析】由五点作图知，442，解得-24，所以f（x）cos( x ),4令2kx 2k413间为（2k -,2k-）,44【考点】三角函数图像与性质,kZ，解得Z，故选2kD.D.Z，故单调减区9 9若函数f （x） x,则函数yf

5、（x）logi ,x的零点个数是（2B B. 4 4 个C C . 3 3 个D D . 2 2 个【答案】D Dlogjx有 2 2 个交点，所以选 D.D.2【解析】如图：函数 f f（x x）与函数g（x）212,x 11010 .已知函数f x |2x 1 ,xlog75A.-B B.44【答案】A A【解析】试题分析：f ax 13 2log2a 13a 7f 6 a【考点】函数求值23或27f 1224，且fa13，则f 6 a（）31C C.D.-441111.函数飞沁 zs.的图像大致为（）第5 5页共 1515 页【解析】【详解】试题分析：因为丽二，所以排除 A,C,A,C,

6、当函数在.轴右侧靠近原点的一个较小区间（0 0 川）时，扛兀）=8181 曲斗乂師狀-如其=亦強垃0 0，函数单调递增，故选 D.D.【考点】函数图象与函数性质.1212 设函数yf（x）的图像与y 2x a的图像关于直线yx对称，且f( 2)f( 4)1则a()()A A .1B B.1C C.2D D.4【答案】C C【解析】【详解】试题分析：设 （x,x, y y）是函数y f（x）的图像上任意一点，它关于直线y x对称为（y, x）,由已知（y, X）在函数y2x a的图像上，x 2y a,解得ylOg2(x)a，即f (x)log2( x) a,- f ( 2)f ( 4)log22

7、 a log24 a 1，解得a 2，故选 C C.【考点】函数求解析式及求值二、填空题1313.函数y sinx J3cosx的图像可由函数y 2sin x的图像至少向右平移 _个单位长度得到.【答案】3【解析】试题分析：因为y si nx 3cosx 2si n( x -)，所以函数3第6 6页共 1515 页y sinx.、3cosx的的图像可由函数y 2sin x的图像至少向右平移个单位长度3得到.【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡先平移，后伸缩”但 先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一

8、个变换总 是对字母x而言，即图像变换要看变量”变化多少，而不是 角”变化多少.31414 .已知函数f x ax x 1的图像在点1, f 1的处的切线过点2,7，则a【答案】1 1【解析】试题分析：f x23ax 1f 1 3a 1,f(1) a 2 l: y (a 2)(3a 1)(x 1)7 (a 2)(3a 1)(2 1) a 1. .【考点】1 1、导数的几何意义；2 2、直线方程. .【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强,属于较难题型 首先求导可得f x3ax21f

9、1 3a 1,f(1) a 2 l:y (a 2)(3a 1)(x 1)7 (a 2)(3a 1)矽1)a 1.1515 .已知tan( )2，则sin(2 )的值等于44【答案】10【解析】由tan()2，解得tan3,41 tan第7 7页共 1515 页2sin coscos2sin22:2cos sin2 ( 3) 1 ( 3)2221 ( 3)270的距离为 2JJ2JJ，贝 U U= =_【答案】2【解析】 由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为1-(k115 ,2),( -(k2,2),k2Z, ,距离最短的两个交点一定215在同一个周期内，2.3()2(2 2)2,442【考

10、点】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形 应把三角函数 的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一 这样就能理解条件距离最短的两个交点”- 定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解三、解答题1717 .函数f x3sin 2x的部分图象如图所示6(1 1)写出f x的最小正周期及图中X。、y的值；求fx在区间上的最大值和最小值因为sin(2)子(sin 2cos2近2)(2s in cos cos2sin2).2 2tan 1 tan221 tan21616 .已知0,0,在函数 y=2siny=2sinx x 与 y=2cosy=2cos x x 的

11、图像的交点中，距离最短的两个交点第8 8页共 1515 页【解析】【详解】试题分析：(1 1 )由图可得出该三角函数的周期，从而求出Xo,y。；把2x看作一个整体，从而求出最大值与最小值 6(1 1)由题意知：f x的最小正周期为，令 y=3y=3，则2x 一+2k，k Z6 2得x+k,k Z，所以X。7,y。3. .66(2 2)因为x,，所以2x5-,0，于2126 6当2x0，即x时，f x取得最大值 0 0；612当2x6-，即x时,fx取得最小值3. .23【考点】本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查 同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们

12、分析问题与解决问题的能力321818 .设函数f x x 3ax 3bx的图像与直线12x y 1 0相切于点1, 11(1)求a, b的值；(n)讨论函数f x的单调性.a 1【答案】(1 1)( 2 2)单调递减区间为(1,3), ,单调递增区间为(，1)(3,b 3【解析】【详解】第9 9页共 1515 页根据f (1)11, f (1)12建立关于 a,ba,b 的方程. .(2) 由f (x) 0得函数的单调增区间；由f (x) 0得函数的单调减区间 (2)，解). .第 1010 页 共 1515 页解：求导得f (x) 3x26ax 3b.由于 f f (x)(x)的图像与直线1

13、2x y 10相切于但当 x x (-1(-1 ， 3)3)时， f(x)f(x) 是减函数.2f (x) x22x 3,0,贝 U Ux 0,通过 f(x)f(x) f(f( x)x)求解. .( 3 3)利用( 2 2)的单调性求解 . .【详解】(1 1)Q y f (x)是定义在(，)上的偶函数，当x 0时,f(x) x22x 3,当x 0时，设x 0，贝 U Ux 0,22f(x) f ( x) ( x)22( x) 3 x22x 3即x 0时，f(x) x22x 3. .故f (x)x22x 3,x 0 x22x 3,x 0(2(2)如图所示:点(1, 11)，所以f(1)11,

14、f (1)12,1 3a 3b11即3 6a 3b12,解得 : :a 1,b3. .(2)(2)由a 1,b3得：2f (x) 3x26ax23b 3(x22x 3)3(x 1)(x3)令 f f ( (x) ) 0 0,解得 x xv-1-1 或 x x 3 3;又令 f f(x)(x) 0 0 解得-1-1vx xv3 3.故当 x x ( (, , -1)-1)时, f(x)f(x) 是增函数,当 x x(3,)(3,)时，f(x)f(x)也是增函数,1919 .已知y f (x)是定义在()上的偶函数，当x 0时，f (x)2x3. .1 1) 用分段函数形式写出y f (x)的解析

15、式;2 2) 写出y f (x)的单调区间;3 3) 求出函数的最值 . .答案】1 1)2xf(x)2x2x 3,x2x 3,x0 0; (2 2) f(x)f(x)的增区间为01,0)，1,)，区间为(1，0,1;3 3)最小值为 -4-4，无最大值 . .解析】1 1) 根据y f (x)是定义在()上的偶函数，且当x 0时，2 2) 每一段都是二次函数,根据二次函数的图象和性质求解第 iiii 页共 i5i5 页A5-当x0时，f (x)x22x3，对称轴为x1,增区间为1,)，减区间为0,1；当x0时，f (x)x22x3，对称轴为x 1,增区间为1，)，减区间为(，1. .综上，f

16、(x)f(x)的增区间为1,0),1,)，减区间为(，1,0,1. .(3 3)由(2 2)知，当x 0时，f (x) x22x 3,f (x)minf(1) 1 2 34，无最大值；当x 0时，f (x) x22x 3，f (x)minf( 1) 1 2 34，无最大值. .综上，函数的最小值为-4-4，无最大值. .【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题 2020 .已知顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线，焦点F在直线2x 3y 4 0上. .(1)求抛物线的方程；(2)过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程 【答

17、案】(1 1)y28x； (2 2)y24x 8. .第1212页共 1515 页【解析】(1 1)根据焦点在直线2x 3y 4 0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，令y 0，求得焦点坐标即可2(2)设M(x,y)，A为， ,Bx2,y2，根据A、B在抛物线上，有yi8治，解 【详解】(1 1)Q焦点在直线2x 3y 4 0上,且抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点F的坐标为(2,0)，设方程为y22px(p 0)，则号2，求得p 4，则此抛物线方程为y28x. .(2 2)设M(x, y)，A为，yi，B X2, y2因为A、B在抛物线上，2所以yi8x1，2y28x2，2x XiX

18、2，2y yiy?，- -得yiy2yiy 8 XiX2，设直线方程：y yk x X04代入k -，M (2,0)，ykyiy28 84Xix2yiy22yy当直斜率存在时,2y 8x2，两式相减得到yiy2 %y?8 XiX2，再分直斜率存在和不存在求第 iiii 页共 i5i5 页4得y (x 2)，y2y 4x 8。当直线斜率不存在，M与F重合2M (2,0)，满足. .y 4x 8。综上，弦AB的中点M的轨迹方程：y 4x 8.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法以及弦中点轨迹问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题 2121 .已知函数 f(x)f(x) lnln

19、x x,g(x) a(x 1)(i)当a 2时，求函数h(x) f (x) g(x)的单调递减区间；(n)若x 1时，关于x的不等式f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(川)若数列an满足an i1 an,a33，记an的前n项和为Sn，求证：a 0时，因为x 1，所以a x 1 lnx 0显然不成立，先证明因此a 1时，f x g x在1,上恒成立，再证明当0 a 1时不满足题意，从而可得结果;(IIIIII)先求出等差数列的前n项和为Sn，结合(IIII)可得2ln2 2,ln33,ln44, ,ln n n,各式相加即可得结论. .试题解析：(i)由a2，得h xf xg x

20、lnx 2x 2, (x 0). .所以u1c 1 2xh xln(1 23 4 .n) Sn. .【答案】1(I)(1,);(IIII )1,)；(illill)证明见解析. .【解析】 试题分析:(i)求出hx，在定义域内，分别令可得函数h x增区间，h x0求得x的范围，可得函数h x的减区间；(n)当h x 0求得x的范围,第1414页共 1515 页xx令h x0,解得x或x 0(舍去) ，所以函数h x f x g x的单调递2减区间为2，(n)由fx g x得，a x 1lnx0当a 0时，因为x 1，所以a x 1 lnx 0显然不成立，因此a 0. .方程;第 1313 页共

21、 1515 页1令F x a x 1lnx，则卩xa1xa，令Fx 0,得x -.Clxxa当a11时，0丄a1,F x0, F x F10，所以a x 1 lnx，即有f xg x. .因此a 1时，f xg x在1,上恒成立 1当0 a 1时，-a1,F x在1丄上为减函数，a1在，上为增函数，a FxminF 10,不满足题意综上,不等式f xg x在1,上恒成立时，实数a的取值范围是1,. .(III(III )证明：由an11 an, a33知数列an是a33,d1的等差数列，所以ana3n3 dn所以Snna1ann 1n22由(n)得，lnxa x 1x 1x在1,上恒成立 所以

22、ln22,l n3 3,l n4 4,ln nn. .将以上各式左右两边分别相加，得ln2ln3ln4Inn 23 4n. .因为ln1 01n 1 n所以ln1ln2ln3ln4lnn1 2 3 4nSn2所以In 123 4nSn. .2222.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为寸4x. .(1(1)以坐标原点为极点，x x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;x2 tcos(2 2)直线|的参数方程是tsi n(t为参数)，1与C交于A,B两点,yABAB 4 4 6 6，求|的倾斜角. .【答案】(1)sin24cos0; (2 2)或44【解析】(1)(1)由题意利用直角坐标与极坐标的转化公式可将直角坐标方程转化为极坐标第1616页共 1515 页(2)(2)联立直线参数方程与抛物线方程，结合参数的几何意义求得sin的值即可确定直线的倾斜角 【详解】x cos2(1 1) ，代入