2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题(解析版)

1、第1页共 21 页2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1 1.已知集合A -x Z |x?_4x-5_0二B=x|0：l n x：2个数为（）A A . 2 2B B. 3 3C C. 4 4【答案】C【解析】求出集合 代B，根据集合的交集运算即可求解【详解】A=xEZ x24x5兰0 = 1,0,1,2,3,4,5 ,B=x0 vln x2=x1 x 0，可排除 B ;当x = 2时，川2罟晋“2，特殊值法可排除 D ；故选：A【点睛】B B. 4242C C. 3838D D . 3636本题主要考查利用函数的性质求函数的大致图像可采用排除-3 -第4页共 21

2、页法，此题属于中档题5 5 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（a俯视图A A 7676【答案】C【解析】 几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4.【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4.所以五棱柱的表面积为44 -122 2 4 4 2 2 2 .2 4 = 76 8、2故选：C【点睛】本题主要考查三视图，解题的关键是还原几何体，属于基础题.H”（JI6 6 .将函数y =f x的图象向右平移个单位长度后，得到g x = sinl2x，则6I 6丿y =f x的函数解析式为（）（兀）A A.f X二-cos2xB B.f x =s

3、in 2x-I 6丿C C. f(x) = cos2x(nD D.f (x ) = cos. 2x1【答案】 C【解析】 根据函数图象的平移法则即可求解【详解】(兀JI把g (x ) = sin 2x +的图像向左平移一个单位可得V 6丿63侧视團B B. 8484C C 76 8 2D D 84 8 2正视團第5页共 21 页.（nI.（兀）ffx = sin |2 x+i = sin 2x+ =cos2x, 丿I 6丿6I 2丿故选：C【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移，需掌握平移法则，平移是对变量减”，属于基础题x f m +1 7 7 .设命题p:lg 2x -1 -0，命题q:-

4、0，若 q q 是 P P 的必要不充分条件，则x a实数 a a 的取值范围是（）A A.0丄B B.10,丄C C.0,丄D.D.- -IL 2IL 2【答案】A【解析】首先求出命题p、q中不等式的解集，再根据命题之间的关系推出集合的包含关系即可求出参数的取值范围【详解】 1解不等式Ig 2x -1 0得0 : 2x-1乞1，所以一：x叮,2故满足命题P的集合P = xI解不等式x-a 10得X- a九X - a 1 0且x = a，所以a：x空a 1x a故命题q的集合Q =xa ,若q是p的必要而不充分条件，则P1 Q1a一即2解得 0wa -20 +1兰1故选：A【点睛】本题主要考查

5、命题中必要不充分条件，解题的关键是根据命题的关系推出集合的包含关系，属于基础题x平移且左加右第6页共 21 页( )A A 乜B B近C C.至D D. A3333【答案】B【解析】 两式平方相加利用两角和与差的公式可化为5-4sin : - - - 3,再根据得出，代入cos：;亠2sin - -、2即可求解.22 6【详解】sin2：-4sin：cos,亠4cos2：=1将两个等式两边平方可得22 -，cos a +4cosa sin P +4sin P = 21两式相加可得5 -4sinI；：3，所以sin：* 応冉 兀肚 花冉丄兀+ ，则ee2的最小值为()3A A.2B B.4 2.

6、3C C.2 .3D D.1.32【答案】A【解析】 设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：m n二2a, m - n = 2a1，解2 2出m,n，利用余弦定理解关于q,e2的等式，再由基本不等式求出e?的最小值即可.8 8.已知V-，2 2sin：-2cos-2，则第7页共 21 页【详解】第8页共 21 页22xy22=11a b 0,ab1-+22n.贝U m n二2a, m - n二2a1,亠n在PF1F2中，.F1PF2，由余弦定理可得3JICOS/RPF2= cos=2 2 2m n -4c122mn化为2aai：a -aia-ai，所以22a 3ai,2小4c 0,i2ei

7、e22=4 ,当且仅当q f 3时，取等号，则e2- e22的最小值是2、32式转化为Z 9 + 213 L la b丿-，解不等式即可求解a b不妨设椭圆与双曲线的标准方程为:-4 +4考查了学生的计算能力,【解根据题意可得-a 2 -i3la第9页共 21 页【详解】由a 1 2上，则1 a 2ba b 213所以宀+213 I12Q所以一的最大值为一ab2故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件,属于中档题二、填空题iiii抛物线 v1 = 2x的焦点坐标是 _ ，准线方程是_ . .【答案】，.1.I1I【解析】试题分析：由题意得，焦点

8、坐标是 ，准线方程是，故填：，【考点】抛物线的标准方程及其性质 .1212 已知点 A( 1,01,0), B(0B(0, 2 2),点 P(a,b )在线段 ABAB 上，则直线 ABAB 的斜率为 _a b 的最大值为_ 【答案】_2b奇叫拘肌)122a131+竺+哲4+卩b a(a b丿当且仅当2a 2b时， 即a = ba12232或-时，等号成立,2 -即才9 + (1.13 L la b丿1二b解得所以最大值和最小值之和为131,la b八13最小值为第10页共 21 页yi y2【解析】 由直线上两点求斜率公式：k-，可求斜率，再用二次函数配方求最捲_x2值即可求解.【详解】2

9、0由 A（ 1，0），B（ 0，2），可得kAB=-= -2，所以直线 AB 的斜率为-2，0-1直线AB:y -2x 2由点P a,b在线段AB上，所以b=2a 2 0乞1,171丫111所以a b =a（2a+2）=2 a 丨-L所以a b的最大值为 丄.卜2丿421故答案为：-2；丄2【点睛】本题主要考查直线的斜率以及直线方程，需熟记斜率公式以及点斜式方程，属于基础题x - y - 2乞01313 .若实数x, y满足约束条件x，y-2 0,则2x-y的最小值为 _ ;y兰1寸x2+（y+1：的最小值为 _ .【答案】1 -I2【解析】作出约束条件满足的可行域，然后利用目标函数表示的几何

10、意义即可求解【详解】1 x - y - 2 - 0I作出约束条件x y - 2一0满足的可行域，心边”即可求解.第 9 页共 21 页设z=2x-y，贝U y = 2x-z，由图可知在C处取得最小值,x y-2=0 x=1由解得，所以C 1,1,y=iy，所以Zmin=21-1，即2x-y的最小值为1；Jx2+(y +12表示的几何意义为(X,y),(0,-1)两点间的距离，设0,-1到直线x y-2 =0的距离为d，则d = -_=，所以Jx2+ (y +1 )2的最小值为V2VTM 2*2故答案为：1；上22【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，理解目标函数表示的

11、几何意义，属于基础题.1414 .已知长方体ABCD - A1B1C1D1中，AA| ，AB二1，AD = 3，则直线AA1与2平面A,BD所成的角为_. .【答案】60：【解析】 根据等体积法求出点A到平面ABD的距离h，在直角三角中利用 対边比斜第12页共 21 页【详解】设A到平面ABD的距离为h,设直线AA1与平面ABD所成的角为则si士寻所以r - 60；.故答案为：60：【点睛】本题主要考查立体几何中的线面角，解题的关键是找到线面所成角，放在三角形中求解,此题也可以建立空间直角坐标系，采用向量法1515.已知an是等比数列，且an0,a?a42aga5a4a 25，贝V在长方体AB

12、CD - AiB1C1Di中,AA1=，AB = 1，AD = . 3，213-2，BD厂=2，AB = .：1在AiBD中，由余弦定理5+13_4cos BAD =44oV5 V132 - -2 2亠，所以sinNBAiD =65865所以sjasin / BAD =12 2因为VA1丄BD- VAA1BD，即3%SABDh，解得第13页共 21 页a3十氏=_,a4的最大值为_第14页共 21 页【答案】52【解析】二af2玄3玄5a；=25二心3a5)2二25,：a“- O a3a 52a3a5 22555a4=a3a5_( -)a4，即a4的最大值为 一24221616 .已知圆0:x

13、2 y2=1，设点 P P 是恒过点(0 0, 4 4)的直线 l l 上任意一点，若在该圆 上任意点 A A满足.OPA，则直线 I I 的斜率 k k 的取值范围为3JT【解析】由题意在该圆上任意点 A 满足/OPA，则当直线I与圆相切时,3JT OPA，从而结合图像可知直线的倾斜角的取值范围为3即可求解.【详解】 由题意在该圆上任意点 A 满足.OPA，则当直线I与圆相切时， OPA二一，33兀5兀设直线的倾斜角为 ，由图可知 一66a?a42玄3玄5玄4玄625n5兀，由k二n66第15页共 21 页因为k=ta，所以k丄3或k“：_上333本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线斜率与

14、直线倾斜角的关系，属于基础题1717 .已知单位圆上两点A,B满足乙AOB =120，点C是单位圆上的动点，且【答案】-2,21出x -2y的取值范围【详解】T单位圆上两点 代B满足/AOB =120，点C是单位圆上的动点,OC二xOA yOB,OA,OB,OC均为单位向量，即OAsOBJ，OAOB v点C是单位圆上的动点，OB的取值范围是H,11,11| =xOA OB yOB OB x y (x2y)1-1,1122x-2y的取值范围为1-2,21.故答案为：1-2,2 1【点睛】本题主要考查向量的坐标运算以及向量的数量积,故答案为:【点睛】OC=xOA - yOB，贝U x-2y的取值范

15、围为【解析】由点C是单位圆上的动点，求得1OC OB(X_2y)：二L 1,1,由此能求OC又又:OC OB.(xOA yOB)OB考查学生分析问题的能力,属于向量即斜率 k 的取值范围为第16页共 21 页的综合题，第17页共 21 页三、解答题x x . x1818 .已知f x =sin cos sin2(2 2丿(1(1)求实数 a a 的值;.x)1.172 .(cos sin asinx-cosx a sin x -2 2 2 2 2 2由于函数的最大值为-1,2a的最大值为2.2in 2蔦1的值.1 tan:【答案】(1)【解析】(1)15;(2) .216由二倍角的正、余弦公式

16、以及辅助角公式化简即可求解(2)由(1)中 f (x)in x-2443代入化简可得sin iI 4丿3，再根据两角和与差的公式求出sin，cos：的值，代入即可求解【详(1)f x二sinX(2)由于f (x)2sin x 2 I 4丿3JT第18页共 21 页(JI)(ji )f 1+f 1-1I4丿I4 n )所以cos I 4所以3131cos：二cos :I 44丿所以二手，整理得sin7143第19页共 21 页【点睛】佃.在锐角ABC中，角 A,B,CA,B,C 所对边分别为 a,a, b,b, C,C,已知b = 3, a2二c2-3c，9.(1(1)求 A A ；（2）求si

17、n2B sin2C的取值范围.【解析】（1）利用余弦定理即可求解2兀（2）由B C，以及两角和与差的公式，则所以2+714sin _：i642cos：sin_二COS_：i614 2- 2 - 2sin 2：-玄1 2sin2：三 一. 2cos2：22sin: cos工2sin :1 tan:1竺cos：sin.工cos：二2sin：cos：sin:-所以当cos：6.142时.2sin：cos：14一3616sin_ 14 _45时，2sin：COSJ3616，COS-： ：所以原式16本题主两角和与差的公式,需熟记公式，属于基础题.【答(1)JI3 ；（2）2 2sin B+sin C=

18、 1-2 sin (2B-：),2 6第20页共 21 页3(1)在锐角 ABC 中，Tb= 3, a2= c2- 3c+9,可得 c2+b2- a2= bc,兀讦0VBV再由C22兀JI0V- BVI32JITt求出一V B V即可求解.62【详解】第21页共 21 页由余弦定理可得：,2 2 2 ,丿人b +c -abc1COSA =由 A 为锐角，可得A =.3(1) 求二面角 P P - ABAB - C C 的大小；(2) 求直线 PMPM 与平面 PBCPBC 所成角的正弦值.【答案】(1)120：； (2)上5.10【解析】(1)取线段 AB, BC 的中点 O, N，连接 PO, ON, MN, PN，证出PON为P - AB - C 二面角，在PON中利用余弦定理即可求解.(2).2 2 2 2 sinB+Sin C = sin B+sinB)3=sin2B+1cosB sinB)23sin2B -cos2B)2 21=1 sin2JI(2B),6又/Ji0VBV2ji-BV 22兀0V可得JI0),(-2丄+里E +F =0422即有尘+比E+F = 04222(m2)+16m + D (m-2 )+4mE+F = 0结合 yi+y2= 8m, yiy2= 8m 16,可得 D = m