2020届陕西省宝鸡市高考模拟检测(二)数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 22 页2020届陕西省宝鸡市高考模拟检测(二)数学(理)试题、单选题1 .复数Z1在复平面内对应的点为2,3 , Z22 i,则Z1(Z2)1818.88A .-iB.-iC.1 -iD .1 -555555【答案】Bz【解析】求得复数Zi，结合复数除法运算，求得-的值.Z2【详解】易知Zi2 3i，贝 y互(2 3i)( 2 i) (2 3i)( 2 i) 1 8i 18.-iZ22 i 2 i 2 i555 5 故选：B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题22设全集 U=R,集合A x|x 3x 4 0，则euA()A . x|-1 x4B.

2、 x|-4x1C . x|-1 纟 4D . x|-4 纟o)与抛物线 C: y 4x相交于 A, B 两点，F 为 C 的焦点，若 |FA|=2|FB|,则 |FA| =()A . 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】方法一：设P( 1,0)，利用抛物线的定义判断出B是AP的中点，结合等腰三角形的性质求得B点的横坐标，根据抛物线的定义求得| FB|，进而求得FA.方法二：设出A,B两点的横坐标XA，XB，由抛物线的定义，结合| FA | 2 | FB |求得XA,XB的关系式，联立直线yk x 1的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得XA,进而求得FA【详解】方法一：由题意得抛物

3、线y24x的准线方程为l : x1，直线y k(x 1)恒过定点P(1,0),过代B分别作AMl于M,BNl于N，连接OB，由丨FA丨2| FB |,则|AM | 2| BN |，所以点B为AP的中点，又点O是PF的中点,1则|OB| AF |，所以|OB| |BF |，又|OF | 1一1所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为 ，213所以| FB | 113，所以|FA | 2|FB | 3.22第10页共 22 页由题意设A, B两点横坐标分别为xA, xB(xA, xB0),则由抛物线定义得|FA| XA1,|FB| XB1又|FA| 2|FB|,XA1 2魄1) XA2XB1由得x

4、AxA2 0,xA2,| FA | xA1 3.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题xa12 已知函数f (x) (x a 1)e,若2 log2b c,则( )B f(b) f(c) f(a)D f(c) f(b) f(a)x在a,上递增，结合y c与y 2x, y log2x, y x图象，判断出a,b, c的大小关系，由此比较出f a ,f b ,f c的大小关系k(x 1)y24x y k(x1)k2x2(2k24)x k20A f(a)f(b) f(c)C f(a) f(c) f(b)方法二：抛物线y 4x的准线方程为i: x 1，直线y

5、第11页共 22 页【详解】因为f Cx)二(x- a)ex，所以 f(x)在(a,)上单调递增；第12页共 22 页.x在同一坐标系中作y C与y 2 , y log2x,y x图象，Q 2alog2b c,可得 a c b，故f (a) f(c) f(b).故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题 二、填空题13 若(53jX)n的展开式中各项系数之和为32,则展开式中 x 的系数为 _x【答案】2025【解析】 利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得n的值再利用二项式展开式的通项公式，求得展

6、开式中x的系数.【详解】依题意，令x 1,解得2n32，所以n5,则二项式 -53. x的展开式的通项x为：5 r1r3r .Tr 1C5r53x255 r( 3)rC55x2x令3r51,得r 4,所以x的系数为55444(3)C52025.第13页共 22 页2故答案为：2025第14页共 22 页【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题2 _14 .函数y logo.5(x ax 5)在区间(-m,i)上递增，则实数 a 的取值范围是 _【答案】a 2,6【解析】根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式

7、组，解不等式求得a的取值范围【详解】a-1由二次函数的性质和复合函数的单调性可得221 a 1 50解得a 2,6故答案为：a 2,6【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题uur uuu uuu15 点 P 是厶 ABC 所在平面内一点且PB PC AP,在厶 ABC 内任取一点，则此点取自 PBC 内的概率是_1【答案】丄3【解析】设D是BC中点，根据已知条件判断出A,P,D三点共线且P是线段AD靠近SVPBC1，结合几何概型求得点取自三角形SVABC3【详解】且点P是线段AD靠近D的三等分点,SVPBC故SSVABC11；，所以此点取自VPBC内的概率

8、是-.33故答案为：13D的三等分点，由此求得PBC的概率.设D是BC中点，因为umPBiuuPCAP，所以2PDuiurAP，所以A P、D三点共线第15页共 22 页【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题2n 1所以an-nn16.数列an满足ai2 a23a3Lnan21(nN)，则,.若存在n N 使得an成立，则实数入的最小值【答an【解利用退一作差法”求得数列an的通项公式，将不等式an分离常数n最小值.【详1-，利用商比较法求得2n1-的最小值，ai2a23a3(n1)annan2n1ai2a23a3(n1)an2n两式相减得nan2n2n1当

9、n 1时,a11满足上式综上所述2nan存在nN使得an*2n 1成立的充要条件为存在n N使得n 1第16页共 22 页【点睛】不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题 三、解答题17.已知函数f(x) 2sin2x 2 3sinxcosx 1,x R.(1)求 f(x)的单调递增区间；sinC=2sinB，求 ABC 的面积.求法，求得f x的单调递增区间A1求得A，利用正弦定理得到c 2b，结合余弦定理列方程，求得2 b,c，由此求得三角形ABC的面积.【详解】(1)函数f (x) 2sin2x 2、3 sin xcosx 1,x R,f (x) 13sin2x cos2x 2sin

10、(2 x),6由-2k2x2k ,k Z ,26 2得kx k ,kZ .63所以f (x)的单调递增区间为k , k (k Z)63设bnn2一，所以1bn 1bn2n22* in 12(n 11，即bn 1bn，所以bn单调递增,bn的最小项bi-，即有2bi-,的最小值为丄.2 2故答案为:(1).2* ian.本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式,考查数列单调性的判断方法，考查(2) ABC 内角 A、B、C 的对边分别为Aa、b、c,若f ()21且 A为锐【答案】(1)-6k，亍Z)(【解析】(1)利用降次公式、辅助角公式化简f x解析式，根据三角函数单调区间的(2)先由第

11、17页共 22 页(2)因为f (A) 2sin(A -)2 61且A为锐角，所以A3 .由sinC2sin B及正弦定理可得c 2b，又a3, A3，由余弦定理可得a2b2c22bccosA b2c2bc3b2，解得b、3,c23，SvABC1bcsin A1.32.3_-33 32222【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题18 .某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格 y(千克/吨)和利润 z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:x12345y17.016.515.513.812.

12、2(1) 求 y 关于 x 的线性回归方程y bX ?(2) 若每吨该产品的成本为 12 千元，假设该产品可全部卖出， 预测当年产量为多少时, 年利润 w 取到最大值？于x的回归直线方程方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程方法一的好处在计算的数值较小 (2)求得 w 的表达式，根据二次函数的性质作出预测【详解】(1)方法一：取z y 10，则得x与 z 的数据关系如下x12345参考公式:xwi 1yin2 2x nx,a?【答案】(1)? 18.691.23x(2)当x 2.72时，年利润 z 最大.【解析】(1)方法一：令zy 10，先求得 z 关于x的回归直线方程，由此求

13、得第18页共 22 页z7.06.55.53.82.21(1 2 5丄(7.056.5XiZi7.02Xi1222t?4 5)3,5.5 3.82.2)5,325XjZj5xyi 15x25x2i 16.5 3 5.5 42 24555.62.7 5 3 5555 323.8 5 2.21.23,62.7,? z b?5 ( 1.23) 38.69,z关于x的线性回归方程是z 8.691.23x即？10 z 8.69 1.23x,故y关于x的线性回归方程是18.691.23x.方法二：因为x丄(1 2 3 455)3丄(17.0516.5 15.5 13.812.2)15,XiYi117.0

14、216.5 3 15.5 413.8 512.2212.7,2Xi122232425255，5Xiyi5xyi 1 52 2xi5xi 1212.7 5 3 15255 5 31.23,所以(1.23) 3 18.69故y关于x的线性回归方程是？18.69 1.23x,(2)年利润w x(18.69 1.23x) 12x1.23x26.69x,根据二次函数的性质可知第19页共 22 页第20页共 22 页当x 2.72时，年利润 Z 最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题19 .在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面

15、 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB =2BC，点 Q 为 AE 的中点(1)求证：AC/平面 DQF ;(2)若/ ABC=60 AC 丄 FB，求 BC 与平面 DQF 所成角的正弦值【答案】(1)见解析(2)L15【解析】(1)连接CE交DF于点M，连接 QM，通过证明QM / /AC，证得AC/平面PQF(2)建立空间直角坐标系，利用直线BC的方向向量和平面DQF的法向量，计算出线面角的正弦值【详解】(1)证明：连接CE交DF于点M，连接 QM，因为四边形CDEF为正方形，所以 点M为CE的中点，又因为Q为AE的中点，所以QM /AC；Q QM平面DQF , AC平面DQF,AC/

16、平面DQF第21页共 22 页弦定理得:2 2AC 2122 2 1 cos603,AC2BC2AB2AC BC又Q ACFB,CBBFB,AC平面FBCAC FCQ CDFC, FC平面ABCD如图建立的空间直角坐标系D xyz在等腰梯形ABCD中，可得CD CB 1.第22页共 22 页2，在VABC中，ABC 60，由余AG10),C(0, hW)则叮1 14,2uuu那么BC(J,2,0),DQ &扛),DU2244 2(0,1,1)设平面DQF的法向量为 n (x,y,z)则有囂0，即Tx 1yy z 01Z 0，1，得n(3,1,| cosuuu rCB,nuur r|CB

17、 n|2.5-UUu r |CB|n|51， 贝y AB,0), E(0,0,1),2设BC与平面DQF所成的角为，则|sin2 55【点1,1,1,44 4第23页共 22 页本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法， 考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题20 已知椭圆 C：冷占1(0 b a)的离心率为 .且经过点(1,3)a b22(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点(0, 2)的直线 I 与椭圆 C 交于不同两点 A、B，以OA、OB 为邻边的平行四边 形 OAMB的顶点 M 在椭圆 C 上，求直线 I 的方程.2【答案】(1) y21(2)y4【解析】(1)根据椭圆的

18、离心率、椭圆上点的坐标以及a2,b2，进而求得椭圆的方程(2)设出直线|的方程，联立直线|的方程和椭圆的方程,代B,M的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线I的斜率，由此求得直线I的方程.【详解】(1)由椭圆的离心率为也，点(13)在椭圆上，所以c丄21，且2 2a 2 a24b2a2b2c2x22解得a24,b21，所以椭圆C的方程为y 14(2)显然直线|的斜率存在，设直线I的斜率为k，则直线I的方程为y kx 2，设A X1,y1,B X2,y2,M X0,y，由y 1消去y得kx 2 15x22 2 2a b c列方程，由此求得写出韦达定理.根据平行四边形的性UUJUOMUUUUUUOA

19、由此求得M点的坐标，将1,1,1,44 4第24页共 22 页2 2(1 4k )x16kx 12所以x1X216k2,1 4kx)x2122，1 4k由已知得uuuuOMUJU UJUOA OB，所以x0X1X2，由于点A、B、M都在椭圆上,y。y1y22y22y0(2(y1y2)21,X第25页共 22 页2展开有(生y2)(二442X2必X1X22y21,2X1X24%y2又y2(kx12)( kx22) k2X-|X22k (x-ix2)4 4k21 4k2所以2-112, 44k214k24k2215 4k ,152经检验满足2(16k)4(14k2)21264k48故直线I的方程为

20、y15X22.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题1221 .已知函数f(x) In ax X(a 0).X(1)讨论函数 f(X)的极值点的个数；(2)若 f(x)有两个极值点Xi, X2,证明f(Xj f(X2)X1x2【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1 )求得函数f X的定义域和导函数f X，对a分成a0,a80三种情况进行分类讨论，判断出f X的极值点个数1由(1)知a (0，8)，结合韦达定理求得X1，X2的关系式，由此化简f(X1)f(X2)X1X22a In-2aIn2，由此证得224

21、x1:【详解】(1)函数f (x)In丄ax2xIn 2x ax2x12ax2x 1得f (x)2ax 1,x (0,XX(i)当a0时;f (x)X 1X22)，a 1的表达式为纣巧12a，通过构造函数法，结合导数证得f(X2)3In 2成立.4X的定义域为X (0,X第26页共 22 页第27页共 22 页因为X (0,1)时，f(X)0, x (1,)时，f (x)0,所以X 1是函数 f (x)的一个极小值点；(ii )若a 0时，若1 8a0，即a1时8时，f (X)0,f(x)在(0,)是减函数，f (x)无极值点若1 8a0，即01a -8时，1c1cx-ix20, x1x20,

22、2a2af (X)2ax2x 10有两根X1, X2,X10,X20不妨设0X1X2当X(0,xj和x (X2,)时,f (X)0当X(X1,X2)时，f (X)0Xi, X2是函数 f (x)的两个极值点,综上所述a 0时，f(x)仅有一个极值点;1ia时，f (x)无极值点；0 a时，f (x)有两个极值点.881(2)由(1)知，当且仅当a (0,)时，f(x)有极小值点X1和极大值点X2,8是方程2 ax2x 10的两根，1 1X1X22?住区，则22In(4 x-|X2) a(x.|x2)(为x2) 2a2111In a(2) 2aa4aa2aa11a 1(In1) 2a 2aIn2

23、a2 4a2a2 2a 1a1a设g(a) 2a In2a，则g (a) 2In 4，又a (0,)，即02 2282a1所以g (a) 2In 4 2In 4 4In 4 40216113所以g(a)是(0,-)上的单调减函数，g(a) g(-) - In 2884所以f(xj f(X2)X1X2(In12x-|ax；X1In12x2ax；X2) (2a)(In 2x1In 2x2)a(x12x|) (X!X2) 2a且X1, X2第28页共 22 页f(xj f (x2)3f(x)有两个极值点Xi, X2，则-In 2x-ix24【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数

24、证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题x 2cos22 .在直角坐标系 xOy 中，把曲线G：(a为参数)上每个点的横坐标变为y 2si n原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2.以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 Cs的极坐标方程sin( -) 4.2.(1)写出C2的普通方程和 Cs的直角坐标方程；(2)设点 M 在C2上，点 N 在 Cs上，求|MN |的最小值以及此时 M 的直角坐标X2【答案】(1)C2的普通方程为-12最小值为2 2，此时M ( 3,1)公式，求得 Cs的直角坐标方程(2)设出M点的坐标，利用点到直线的距离公式求得MN最小值的表达式，结合三角函数的指数求得MN的最小值以及此时M点的坐标【详解】x 2 Vs cos为参数)(1)由题意知C2的参数方程为y 2si n2所以C2的普通方程为122y_41.由sin(-)42.得cossin80所以 Cs的直角坐标方程为x y 8 0(2)由题意，可设点M的直角坐标为(2、3 cos ,2sin )