2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测数学(文)试题(解析版)

1、2020 届福建省三明市高三上学期期末质量检测数学（文）试一、单选题1.己知i为虚数单位，则复数1 i（: )A.iB B.1 iC C.iD D . 1 1【答案】B B【解析】根据复数除法运算法则直接求解可得结果 【详解】2i 2i 1 i1i1i 1 i 1 i故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题 22 2.已知集合A xx 2x 30,B x 2 x 2，则AI B等于（）A A.2, 1B B.1,1C C.1,2D D.1,2【答案】A A【解析】先化简集合A x x1或x 3，再根据集合交集定义运算即可 【详解】因为A x x 1或x 3，故A B 2, 1，故选

2、A.A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题 3 3.已知函数f2x,x 0f/x，则f 4(log2x , x 0)A A.31B B .C C .816D D .2【答案】D D【解析】将x4代入对应解析式中即可求得结果 【详解】Q 4 0f 4 log24 2第 1 1 页共 1717 页第3 3页共 1717 页故选：D【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题4 4 .直线x2被圆2 2x ay 4所截弦长等于2.3，则实数a的值为（）A A .1或3B B.2.2C C.3D D . 1 1 或 3 3【答案】D D【解析】由圆的方程确定圆心和半径，由此确定

3、圆心到直线距离；由垂径定理可构造方程求得结果 【详解】由圆的方程知：圆心a,0，半径r= 2圆心到直线x 2的距离d |a 22 .3 2；r2d22 ,;4 a 22，解得：a a 1 1 或3故选：D【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求参数值的问题；关键是能够利用垂径定理构造方程, 即直线被圆截得的弦长为2 . r2d2. .xy 0,5 5. 设x,y满足约束条件xy 20,则 z z x x2y2y 的最大值为（）2x y 40,A A . 2 2B B. 3 3C C. 1212D D . 1313【答案】C C11【解析】由约束条件可得可行域，将问题变成y丄x丄z在y轴截距最大

4、问题的求22解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：第4 4页共 1717 页2* 4-/2cos45o18 102a b yflQ故选：A【点睛】本题考查平面向量模长的求解问题，关键是能够根据数量积的运算律首先求得模长的平方，进而得到结果 8 8 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344344 年商鞅监制的一种标准量器 一- 商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示（单位：寸），若 取 3 3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（）A A 11.911.9B B. 12.612.6C C 13.813.8D D 16.216.2【答

5、案】B B【解析】根据三视图可知该模型为一个直四棱柱与一个圆柱构成的组合体，根据柱体体积公式分别求得两个部分的体积，加和得到结果【详解】由三视图可知，商鞅铜方升模型为一个直四棱柱与一个圆柱构成的组合体直四棱柱的体积V 1 35.4 1.611.4；圆柱的体积1V21.641-4.8 1.24该模型的体积VV211.4 1.2 12.6故选：B【点睛】 本题考查组合体体积的求解问题，关键是能够通过三视图确定组合体的各个构成部分，进而求得各部分体积. .9 9 .若函数f x. 3sin x cosx m在0,上的最小值是1，则实数m的值为（ ）第7 7页共 1717 页A A . 1 1B B.

6、1C C. 0 0D D.、3第8 8页共 1717 页【详解】f x 2sin x m67.1Q x 0,x,sin x,16 6 66 2f xmin1 m1，解得：m 0故选：C【点睛】本题考查根据正弦型函数最值求解参数值的问题，关键是能够利用辅助角公式将函数化为正弦型函数的形式，进而采用整体对应的方式得到正弦型函数的值域1010 已知四边形ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,AB 1,BC 2,PA 2,E为BC的中点，则异面直线AE与PD所成的角为（）A A - -B B. C C. D D 6 643【答案】C C【解析】取AD,PA中点F,G，通过平行四边形和三角形中位线性质平移

7、两条异面直线到相交状态，结合余弦定理可求得CF与FG所成角，进而得到异面直线所成角 【详解】【答案】C C【解析】利用辅助角公式将函数化为f x2sin x m，根据正弦型函数值域6可确定最小值为1 m，由此构造方程求得结果第9 9页共 1717 页取AD,PA中点F,G，连接CF,AC,FG,CGQ四边形ABCD为矩形，E, F分别为BC, AD中点AF/EC四边形AFCE为平行四边形CF/AE第1010页共 1717 页故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过直线的平行关系将异面直线所成角问题转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略两条直线所成角的范围，造成求解

8、错误 21111 函数f x Inx x的图象大致为（）【答案】B B【解析】利用导数求得函数的单调性，进而排除A,D；根据0,上的最大值f 20可排除C,从而得到结果. .【详解】由x20得：x 0，即f x定义域为，00,nt12 x则f x右2x 1x 0 xxQ F,G分别为AD,PA中点FG/PDQ PA平面ABCD,AC平面ABCDPAACCG.AG2AC211 4,6，又CF.11cosCFGCF2GF22GC2 2 612CF GF2 222，FG2丁 -，即异面直线PD与AE所成角为-异面直线PD与AE所成角即为CF与FG所成角CF与FG所成角为2第1111页共 1717 页

9、当x 0,2时，f x 0；当x ,0和2,时，f x 0即f x在0,2上单调递增，在,0和2,上单调递减，可排除A,D第1212页共 1717 页故选：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，处理此类问题通常采用排除法的方式来进行求解;够利用导数确定函数的单调性，同时确定区间内最值点则C的渐近线方程为(5.2x12【答案】斜率，进而得到渐近线方程【详解】设PF3m m 0，由双曲线定义知:PFPF 2a3m 2aQOAQOAOBOB. MA MB且OMABOM .a22m又f 2 In 4 2 0f x在0,上的最大值小于零，可排除C关键是能1212 .已知点F是双曲线C:；ya的左焦点，P为C

10、右支上一点. .以C的实轴为直径的圆与线段PF交于A，B两点，且A，B是线段PF的三等分点,B B.6.2x5【解设双曲线右焦点为PF 3mm 0，取AB中点M，根据双曲线定义可表示出PF;在圆中利OM，根据 代B为PF三等分点可确定M为PF中点，由中位线性质可表示出PF并得到PF PF,由此构造方程求得m；利用双曲线焦点三角形面积构造等量关系,得到关于a, b的齐次方程，由此求得渐近线设双曲线右焦点为F，取AB中点M，连接PF ,OM第1313页共 1717 页4又AFBPM为PF中点，又O为FF中占1八、OM/-PF且PF PF2第1414页共 1717 页角形面积，进而构造出关于a,b的

11、齐次方程. .二、填空题1313 曲线y Inx在点(1,0)处的切线方程为 _【答案】y x 11【解析】y,则切线斜率k f (1) 1，切线方程为y x 1. .x【详解】Q0,-sin0,cos02tan由sin小2cos得:sin2、5cos 2cos155sinsin sin cos cossin 2/553 10444525210故答案为：1010【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求解三角函数值的问题，关键是能够利用同角三角函数的商数和平方关系求得所需角的正余弦值 SPF1 3m 2a2，解得:PF18a，PF518a5722a25又双曲SF,PFb2tanRPF2b2tan4

12、b2b2722a25双曲线渐近线方程为y故选:【点本题考查双曲涉及到双曲线定义、焦点三角形面积的应用、垂径定理求解圆的弦长的应用等知识;关键是能够通过两种不同的方式表示出双曲线焦点三1414 .已知0,tan 2，则sin -24【答3 3 10101010【解析】由同角三角函数关系可求得sin ,cos；由第1515页共 1717 页X2y21515 .设椭圆C :牙1 a b 0的左、右焦点分别为Fi,F2，上顶点为A 在xa bumr ujuruuu uiuu轴负半轴上有一点B, ,满足BF1F2，且AB AF2，则椭圆的离心率为 _ . .1【答案】丄2【解析】根据直角三角形斜边中线等

13、于斜边一半可构造出关于a,c的齐次方程，由此可求得离心率 【详解】luir umururn ujurQ BF1F1F2F1为 BFBF2中点，又AB AF2AR F1F2_c 1即 一b2c2a 2ce_3a 21故答案为：丄2【点睛】本题考查离心率的求解问题，关键是能够根据直角三角形斜边中线等于斜边一半构造出关于a,c的齐次方程. .1616 三棱柱ABC A1B1C1中，AB BC AC，侧棱AA1丄底面ABC，且三棱柱的侧面积为6 J3 若该三棱柱的顶点都在球0的球面上，则球0体积的最小值为 _. .【答案】空23【解析】根据三棱柱侧面积可得到三棱柱底面三角形边长和三棱柱高的关系，根据外

14、接球的性质和勾股定理可表示出球的半径， 利用基本不等式求得半径的最小值， 根据球的 体积公式求得结果 【详解】设AB BC AC 2a，三棱柱高为h第1616页共 1717 页仅当4a32，即a3时取等号)34a22球o体积的最小值Vmin-423庄233故答案为：8il3【点睛】本题考查棱柱外接球体积最值的求解问题，的最小值，进而代入球的体积公式求得结果 三、解答题1717 在各项均为正数的等比数列an中，已知 印2,8a22a4a6. .(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bnan2n，求数列bn的前n项和Tn. .【答案】(1 1)an2n,n N ( 2 2)Tn2n1n2n 2,

15、nN【解析】(1 1)利用等比数列通项公式表示出已知等式，可得关于公比q的方程，解方程求得q，根据等比数列通项公式求得结果；(2)由(。可得bn通项公式，利用分组求和的方式，对两部分分别采用等比数列求 和和等差数列求和的方法求得结果Q AA|底面ABC三棱柱侧面积S 6ah 6、3取BC中点D，作OG平面ABC-AD32a，又OG3h 32 2a球0的半径R 0A后 F护洛关键是能够利用基本不等式求得外接球半径K、。(当且2第1717页共 1717 页【详解】差数列和等比数列求和公式的应用，属于常考题型 1818 .已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a si nB-、3bc

16、osA. .(1)求A;(2)若a .13,VABC的面积为3、.3，求VABC的周长. .【答案】(1 1)A一 (2 2)7. 133【解析】(1 1)利用正弦定理边化角化简已知等式可求得tan A，根据A的范围可得结果;(2(2)利用三角形面积公式构造方程求得be,根据余弦定理化简可求得b c，进而求得结果. .【详解】Q 8a22a4a68a1q1 2ag3解得：(2q4q 2an(2 2) 由 (1 1)知:bn2n2nTn2122242362122232n2 4 62n12nn2. .数列bn的前n项和为Tn2n 1+n2【点睛】524aiq，又ai28 2q q2n2n2n2 2

17、n1n 2n 22n 2,nN分组求和法求解数列的前n项和的问题；涉及到等(1(1) Q Qasinasin B B(1(1)设等比数列an的公比为q q 0本题考第1818页共 1717 页由正弦定理得：si nAsi nB、.3si nBcosAQ B0,sin B 0sin A3 cos A, 即tan A又A0,A -3(2 2)QSABC1bcsin A213bcs in234bc 3 3bc12由余弦定理得:2 2 2 2a b c 2bccosA b c 3bc第1919页共 1717 页 ABC的周长L a b c 7、T3【点睛】本题考查解三角形的相关知识， 涉及到正弦定理边

18、化角、余弦定理和三角形面积公式的 应用，属于常考题型 11919如图（1 1），在等腰梯形ABCD中，AB/ CD,AB BC AD CD 2,P2为CD中点 以AP为折痕将ADP折起，使点D到达点S的位置，如图（2 2）. .（1）求证：SB AP;（2） 若SB 6, 求点C到平面【答案】（1 1）见解析（2 2）生!55【解析】（1 1）根据已知的长度和平行关系可证得SAP, BAP均为等边三角形，取AP中点E，根据等腰三角形三线合一性质可证得SE AP,BE AP,则根据线面垂直判定定理证得AP平面SBE，由线面垂直性质定理可得结论；（2）利用体积桥的方式VC SPBVS PBC可构造

19、出关于所求距离的方程，解方程求得结果 【详解】1（1 1）在图1中，Q AB/CD,AB BC AD -CD 2, P P 为CD中点2四边形ABCP是菱形，且ADP是等边三角形，即图2中SAP是等边三角形Qa .1313 36 49，即b c 7SPB的距离. .第2020页共 1717 页连结BP,Q AB/DP四边形ABPD为平行四边形第2121页共 1717 页则BP AB AP，即BAP是等边三角形Q SB平面SEBSBAP(2 2) 由 (1 1)知：SEBE.3又SB.6SE2BE2SB2SB BE又SEAP,API BEE,AP, BE平面ABCP设点C到平面SPB的距离为d系

20、时，通常需要采用先证线面垂直的方式，再利用线面垂直性质证得结论；求解点到平 面距离时，常采用体积桥的方式，构造出关于所求距离的方程来求得结果2 22020.已知动圆C与圆G：x 2 y 1外切，又与直线l : x 1相切. .设动圆C的圆心的轨迹为曲线E. .（1 1）求曲线 E E 的方程;1（2）在x轴上求一点P（不与原点重合），使得点P关于直线y-x的对称点在曲线E上. .【答案】(1 1)y28x(2 2)15,02【解析】（1 1）根据两圆外切、直线与圆相切可知点C轨迹满足抛物线定义， 由此可得抛设AP中点为E,连结EB,ES,贝U APES，AP EBQ ESIEBE,ES,EB平

21、面SEBAP平面SEBSE平面ABCP，即SE为三棱锥SPBC的高在SPB中，SP PB 2，SB .6SASPB-152由VCSPBVS PBC得：115 d32応4，解得:4点C到平面SPB的距离为召丄55【点本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、点到平面距离的求解问题；证明线线垂直关第2222页共 1717 页物线轨迹方程;（2 2）设P t,0，利用点关于直线对称点的求法求得对称点34P t, t，代入抛物线55第2323页共 1717 页方程可求得t,进而得到P点坐标. .【详解】n22m n2t&口mtm t5则， 即，解得：n 1 m t2n m t4一 一 -nt2 2

22、 25将P代入曲线E得:16以t24丄t，解得：t0（舍）或25515点P的坐标为 -,02【点睛】程的关键是能够通过圆与圆、直线与圆的位置关系找到动点轨迹满足抛物线的定义, 而利用定义直接得到抛物线方程12121 .已知函数f x 2lnx ax2（1）讨论f x的单调性;【答案】（1 1）见解析（2 2）见解析由此得到原函数的单调性;（1 1）由题意得：圆心C到直线x2的距离等于到圆C1圆心的距离C的轨迹是2,0为焦点，以直线x2为准线的抛物线设其方程y22pxp 0，则-22，解得：p 4曲线E的方程为y28x(2(2)设 P Pt,0，P关于直线-x的对称点为P m,n2本题考查抛物线

23、轨迹方程的求解、点关于直线对称点的求解等知识;本题中求解轨迹方2a 1x，a（2 2）当 a a 0 0 时，证明:52a4. .【解析】 （1 1） 求导得到导函数后,分别在0 0 两种情况下，讨论导函数的正负,（2 2）根据（1 1）中结论，可知fXmax由此可将不等式转化为第2424页共 1717 页xmax4，即证In2a1，构造函数ag t Intt 1，利用导数可求得单调得到tmax0， 进而证得结第2525页共 1717 页【详解】(1)由题意得：f x定义域为0,1当 a a 0 0 时，若x 0,，f x 0,则f x单调递增;a1若x,，f x 0，则fx单调递减a2ax2

24、a 12ax 2a1 x 2xx 2 ax 1xx当a 0时，f x 0在0,上恒成立f x在0,上单调递增综上所述：当a 0时,x在0,上单调1当 a a 0 0 时，f x在0,上单调递增，在a上单调递减上单调递减111f xf2ln2maxaa2a要证fx542a只要证2ln11254 ,，1 1即证：In10a2a2aa a令t1，即证：Intt 10在t 0上成立a令g tIn tt1，即证：g t0Q g t11t1 -tt当t0,1时，g tC)；当t1,时，g t 0g t在0,1上单调递增，在 1,1,上单调递减g tmaxg 1In1 11 0g t 0即当 a a0 0 时,fx54本题考查导数涉及到讨论含参数函数的单调性、利用导数证明不第2626页共 1717 页由2cos3得：2 x2y2x 3化简得C的直角坐标方程为：3x24y26x 9