2020届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020 届辽宁省辽南协作校高三第一次模拟考试数学（理）试、单选题【详解】，所以M0,2,则M UN= 0,1,2, 故选：C.C.【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基 础题 B B.1【答案】A A【详解】/(1 i)z |2i| 2,2 ,.二z1 i. .1 i故选： A A【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题1 1.已知集合M0,x21,2，若MlN 2，则M U N =( (2A A.2,0,1,2C C.0,1,20,1, -2, 2, 2【答【解可知2M，进而可求集合M0, x

2、2,N1,2,2 2 .已知复数 z z 满足（1i）z|2i I,i为虚数单位，则z z 等于（【解析】根据复数 z z 满足（1i）z |2i|，利用复数的除法求解. .第2 2页共 2020 页rr 1rr3 3.设a,b是向量，则“ab”是“a b a b”的B B .必要而不充分条件D D .既不充分也不必要条件rrr|b|b 无法得到a b a b，充分性不成立；由0，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.D.充要条件，向量运算【名师点睛】r r r rr r由向量数量积的定义a b b cos为a，b的夹角）可知，数量积的值、模的 乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以

3、用坐标表示，因此又可以借助坐标进行 运算 当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查 求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法4 4 .若空间中二条两两不同的直线l1,l2,13，满足l1l2,1213，则下列结论一定正 确的是（）（）A A .liI3B B .li与13既不垂直又不平行C C.I1/I3D D .li与13的位置关系不确定【答案】D D【解析】根据liI2,12I3，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项【详解】空间中三条两两不同的直线li,l2,l3，满足lil2,l2l3,位置关系可如下图所示：A.充分而不必要条件C C .充分必要条件【答

4、案】D D【解析】【详解】试题分析：由ar b ra得rbrarbra占小第3 3页共 2020 页根据图示可知，当li取两个不同位置时，满足liI2,I2I3，可排除 ABCABC 选项,即li与13的位置关系不确定，故选：D.D.【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题5.已知正三棱锥P ABC，点P、A、B、C都在直径为，3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）【答案】A A【解析】将正三棱锥补形成正方体，根据几何体外接球的直径，计算出PA,PB,PC的长，由此求得正三棱锥的体积 【详解】将正三棱锥补形成正方体，如下图所示 设PA PB P

5、C x,由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同，正方体的体对角线即为外接球的直径，即3. 3,x1,111所以正三棱锥的体积为1 1 1 -.3 26故选：A A第4 4页共 2020 页【点睛】 本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题26 6 点M 5,3到抛物线y ax的准线的距离为 6 6，则该抛物线的方程是（）Ay12x2B B.y36x2Cy2 212x或y36xD D y1x2或y12x1236【答案】D D【解析】根据点M到准线的距离为|3|6，分a0和 a a0 0 两种情况分别求得a,4a进而得到抛物线方程.【详解】11当a 0时，开口向上，准线方程为y，则点M到准

6、线的距离为36,4a4a112求得a，抛物线方程为y x2,121211当 a a 0 0 时，开口向下，准线方程为y，点M到准线的距离为|3| 6解得4a4a12x36考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论【答案】C C2【解析】y sin x sinx时，函数取得最大值为1，当sinx1时，函数取得最小值为2，故函数的值域为4【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，考查了二次函数最大值的求解方法，同时考查了化归与转化的数学思想方法 第一步首先用同角三角函数关系将cosx化为sinx，转化为同一个角的式子，为后续配方

7、法做好准备 第第二步配方之后利用三角函第 4 4 页共 2020 页21sin x1,由于sinx11,1,故当sin x -2421a，抛物线方程为y36故选：D D 【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，7 7 .函数ycos2x si nx 1的值域为（1A A ，B B.oD D.3【答案】B B第 5 5 页共 2020 页数的值域，即可求得函数的值域【解析】 研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解.【详解】故选：C.C.【点睛】 本题考查由函数解析式选取函数图象.这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域,研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点）数值的正

8、负，变化趋势等，采取排除法.B B .向右平移一个单位6D D .向左平移一个单位68 8函数f(x)ex1|x|(ex1)的图像大致为（函数f (x)ex1|x|(ex1)的定义域是x|x0，排除 BDBD，又f( X)x(ex1)x(1 ex)f （x），即函数为奇函数排除A A ，函9 9 .函数f x As in x (AO,o,| I 2）的部分图象如图所示，为了得到C C .向左平移一个单位3x的图象第7 7页共 2020 页【解析】试题分析：由图象知A1,T7T224123f(7)127 32k,得，所以1212 223f(x)sin(2x -)，为了得到gxsi n2x的图象，

9、 所以只需将f f (x)(x)的图象向右平3移个长度单位即可，故选 D D.6【考点】三角函数图象 1010 .如图所示，为了测量A,B处岛屿的距离，小明在D处观测，A,B分别在D处 的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶 4040 海里至C处，观测B在C处的【答案】A A【解析】在VACD中，ADC1590105o, ACD 30，所以CAD 45,CD由正弦定理可得：CDsinAD CDSinACD sinCADCAD40122ADsin ACD20一2,在Rt DCB中，BDC 45，所以BD，解得、2CD40 2,在ABD中，由余弦定理可得：AB2AD2BD22AD BD c

10、s ADB 800 3200 2 20、2 40月 -24002，解得AB 20.6. .1111甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1 1 分，否则乙得 1 1 分，先积得 3 3 分者获胜得所有 1212 张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积2 2 分，乙积 1 1 分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这1212 张游戏牌的分配合理的是(A A .20、6海里C C.20 13海里 D D . 4040 海里B B.40.6海里第8 8页共 2020 页A A 甲得 9 9 张，乙得 3 3 张B B 甲得 6

11、 6 张，乙得 6 6 张第9 9页共 2020 页C C 甲得 8 8 张，乙得 4 4 张D D 甲得 1010 张，乙得 2 2 张【答案】A A- - - - - - 1 1 1 1 1 1【解析】【详解】试题分析：由题意可知：乙获得1212 张游戏牌概率为二，所以甲22411应分得12 （1-）9张牌，乙应分得12匚3张牌，故选 A A 44【考点】排列组合问题.2 21212 已知双曲线冷当1 a 0,b 0的两顶点分别为 A|A|, A A2,F为双曲线的一个a bAP A AB A2，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是（）（）2a彳75 1A A 1,2c 彳忑1B1, 2

12、c 逅1C C 0,273 1 3D D ,2 2【答案】A A【解析】根据题意，先求得直线BF的方程，由在线段BF（不含端点）F2，使得ARA2A1P2A2-可得线段BF与以A1A2为直径的圆相交，即可求得b2 2150 一一；再根据a b即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围. .a22【详解】2 2双曲线 务 占1 a 0, b 0,F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，a b不妨设F c,0 , B 0,b,则直线BF的方程为bx cy bc 0,因为在线段BF（不含端点）上存在两点P,P2，使得ARA?A1P2A2 -,|bc|所以线段BF与以A1A2为直径的圆相交，即f22a

13、,Vb2c2焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF（不含端点）上存在两点R,F2，使得上存在两点R,第1010页共 2020 页化简可得b2c2a2b2c2,第1111页共 2020 页双曲线中满足b2c2a2，代入上述不等式可得a4a2b2b40，b2 2则0匕a2故选：A.A.【点睛】系的判断及应用，属于中档题二、填空题【答案】【详解】故答案为：3. .1414 我国古代数学名著数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米15301530 石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得 252252 粒内夹谷 2828 粒 估计这批米内所夹的谷有_石. .【答案】170170【解析】根据等

14、古典概型概率公式求法即可得解 【详解】由等可能事件概率公式可知，这批米内所夹的谷有由在线段BF（不含端点）上存在两点p,P2，使得AR A2AiR2A2可知2b2所以1a21、5，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为21V5 11,2本题考查了双渐近线斜率取值范围的应用,直线与圆位置关1313 .已知函数flOg92x1,x21 ,x,x 0【解利用分段函数解析式，求得所求表达式的值依题意,f 10 f 00 1log910 121 23. .第1212页共 2020 页281530=170石252故答案为：170.170.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题第1313页共 20

15、20 页1515 .考古学家经常利用碳 1414 的含量来推断古生物死亡的大致时间. .当有机体生存时，会持续不断地吸收碳 1414,从而其体内的碳 1414 含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡 后，就会停止吸收碳 1414,其体内的碳 1414 含量就会逐渐减少，而且每经过大约57305730 年后会变为原来的一半. .假设有机体生存时碳 1414 的含量为 1 1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳 1414 的含量，则y与x的关系式可以表示为x【答案】y157302f x g x恒成立，则m的取值范围为 _ . .【答案】m2e,e、e31【解析】构造函数F x g x f x ,

16、x，利用导数研究F x的最小值，由此2列不等式，解不等式求得m的取值范围. .【详解】【解析】 根据题意，建立函数模型,由经过大约57305730 年后会变为原来的一半可求得解析式. .【详axax由题意可设y5730时,15730a5730a解得所以15730，x15730故答案为:x5730【点1616 .已知f x时都有第1414页共 2020 页1331构造函数Fx g x f x xe x xl nxm,x221依题意F x 0在区间，上恒成立. .22 | IF x x In x e,212x21y/2x 1 2x 1F x 2xx xx所以F x在区间上递减，在区间2,上递增,2

17、 2 21、21所以F x在区间,的最小值为F1In2 e0,222L11,113 ,21F -IneIn 2 e0,F eeIn ee 0,242242F .ee In , e丄e 0,2所以在区间F x 0，在区间.e,F x0,2所以当x e时，Fx有最小值F e13e3e一e e In i e m321依题意F x 0在区间，上恒成立,2所以.,e2e em 0,3Q解得m e、_e e. .3故答案为：m - e. e-、e3【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值, 三、解答题311717 .数列an的前n项和Sn,满足Sn一a.81，且玄13. .2 2(1 1)求数列an的

18、通项公式；考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. .第1515页共 2020 页首项与公比求得数列an的通项公式 式，结合错位相减法即可得解【详解】印3,Tn3Tn两式相减得2n 112n 233n n 1 1可得 T Tn1 1n 3 3n【点睛】(2(2)设bn2log3anan1，求数列bn的前n项和Tn. .【答案】(1)(1)an3(2)(2)T Tn【解析】(1)(1) 根据an结合条件式即可判断数列an为等比数列，即可由(2)将数列an的通项公式代入，结合对数式的化简即可知数列bn为等差乘等比形2n当n 2时,Sn1孑，孑，3an21a1. .2anSnSn32an1，anan

19、-3，故1an为等比数列，公比为3 3，首项为 3.3.(2)(2)3 3n 13n. .3,可得bn2n2n2n215第1616页共 2020 页1818 港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥 它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹 截至 20192019 年1010 月 2323 日 8 8 点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过14001400 万人次，日均客流量已经达到 4 4 万人次，验放出入境车辆超过7070 万辆次，20192019 年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达 8 8 万人次，单日客流量更是创下11.311.

20、3 万人次的最高纪录 20192019 年从五月一日开始的连续100100 天客流量频率分布直方图如下(1)同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图 估计客流量的平均数 求客流量的中位数 (2) 设这 100100 天中客流量超过 5 5 万人次的有n天，从这n天中任取两天，设X为这两 天中客流量超过 7 7 万人的天数 求X的分布列和期望.2【答案】(1 1)4.154.15,4.1254.125; (2 2)分布列见解析，E X -3【解析】(1 1)根据频率分布直方图估计平均数的方法，计算出平均数；根据频率分布直方图估计中位数的方法，计算出中位数；(2 2)根据超几何分布的分布

21、列和数学期望的计算方法，计算出X的分布列和期望 【详解】(1 1)平均值为解得中位数为x 4.125本题考查了递推公式证明数列为等比数列的方法,错位相减法的综合应用，属于中档题(2)可知n15其中超过 7 7 万人次的有 5 5 天CwC04531057G255010510212.5 0.2 3.5 0.25 4.5 0.4 5.50.056.54.15设中位数为x，则0.200.25 0.40 x 40.5215第1717页共 2020 页第1818页共 2020 页(1) 证明：B1C1CE；(2) 设点M在线段GE上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2，求6线段AM的长 【答

22、案】(1 1)证明见解析；(2 2)2. .【解析】(1 1)通过勾股定理计算证明证得B1C1EC1，再证得CC1B1C1，由此证得B1C1平面CC1E，从而证得B1C1CE. .uuur uuur(2 2)建立空间直角坐标系，利用EMEG得出M点的坐标，根据直线AM与平面CIOOC5Cl10 2105 21X0 01 12 23102P72121所以E X【点睛】1 102121本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数和中位数,期望的计算，属于基础题 考查超几何分布的分布列和1919 .如图，四棱柱ABCD AB1C1D1中，AA平面ABCD,AB/DC,AB AD,AD CD 1,AA1

23、AB 2,E为棱AA1的中点第1919页共 2020 页ADD1A所成角的正弦值为 列方程，解方程求得的值，进而求得线段AM的长. .6第2020页共 2020 页【详解】（1）在厶BiCiE中EBJEA2ABj V5，EG JDj（竽）2V2,EGED12D1C12, 3,BiCj ECEB,BQ EGAAi平面ABCD，平面ABCD/ 平面AB1GD1,AA1平面ABGD1，又AA/CC1，所以CC1平面AB1GD1,所以CC1B1C1且CC1I EC1C1B1C1平面CC1E,B1C1CE在直线为x轴，y轴，z z 轴建立空间直角坐标系, 则A 0,0,0，B 0,0,2，C 1,0,1

24、，B 0,2,2，C11,2,1，E 0,1,0uuvuuuvuuuriuuur uuuvAE0,1,0，EC11,1,1，设EMEC1，则EM, ,01uuuv uuv uuuv则AMAE EM,1,易知AB 0,0,2为平面ADD1A1的一个法向量设 为直线AM与平面ADD1A1所成角，则11解得1，5(舍去)(2(2)由题可知,DA,AA1,AB两两垂直，以A为原点，分别以AD，AA1，AB所sinumv uuvcosAM , ABuuuvuuvuuuv11uuvAMABuuuv所以AM14 1SEE，uuuvAM-2，故线段AM的长为2. .第2121页共 2020 页【点睛】本小题主

25、要考查线线垂直的证明，考查根据线面角求线段的长，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题 2 22020.已知椭圆C的标准方程是 y1，设F是椭圆C的左焦点，T为直线x 36 2上任意一点，过F做TF的垂线交椭圆C于点P,Q. .(1) 证明：线段 0T0T 平分线段PQ(其中0为坐标原点)；TF|(2) 当一最小时，求点T的坐标 PQ【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)3,1或3, 1 【解析】(1 1)由椭圆的标准方程可得F的坐标，设T点坐标为3,m,可得直线TF的斜率，讨论m 0与m 0两种情况，设直线PQ的方程是x my 2,P x1,y1,Q x2, y2；联立直线与椭圆方程，

26、即可用m表示点M的坐标，即可证明结论得最小值及最小值时m的值，进而得点T的坐标 【详解】2 2(1(1)证明：椭圆C的标准方程是 1 1,6 2则直线TF的斜率kTFm,1当m 0时，直线PQ的斜率kPQm直线PQ的方程是x my 2,当m 0时，直线PQ的方程x 2, 也符合方程x my 2的形式，设P,Q X2,y2,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立得:(2(2)由(1 1)结合弦长公式，表示出TF,PQ， 即可得TFPQ结合基本不等式即可求设F是椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点,所以F得坐标为2,0，设T点坐标为3,m,第2222页共 2020 页x my 2x2y2消去x得m2

27、3 y24my 2 0,16 22 216m8 m 30当且仅当m21即m 1时等号成立，此时 丄旦 取得最小值,PQT点的坐标为3,1或3, 1【点睛】本题考查了椭圆的几何性质的应用，由韦达定理分析弦的中点坐标问题，线段比值最值的求法，基本不等式的应用，属于中档题 X2121 .已知函数f x cosx xsinx e ax0处的切线与x轴平行，求实数a的值及函数f x在区间2,2上的单调区间;(2 2)在(1 1)的条件下，若x,xx2X2,ff X2,求证：f20. .(f x有yiy24mm23y2设PQ的中点M的坐标为(x0, y0), y0% y?2m2 m23xomy26m236

28、 2mm23 m23所以直线OM的斜率kOM，又因为直线 OTOT 的斜率koT-,33所以点M在直线 OTOT 上，因此线段OTOT 平分线段PQ. .(2)由(知24 1 m23 m2所以丄巳PQ24 m21(1)若函数f x在点0, f第2323页共 2020 页为f X的导函数)(1(1) a a 1 1，函数f X的递增区间为0,，递减区间为，0; (2 2)证2 2明见解析(1(1)利用f 00求得 a a 的值 再结合fX求得f x在区间的单调区间 【详解】0e a 0 a a因为f x在,0单调递减,2因为X1, X2【答【解(2(2)将要证明X-IX220转化为证明X1X?，

29、进一步转化为证明0，X( 利用构造函数法，结合导数证得f XX 0在区间(o,上成立，2由此证得不等式XiX220成立 (1)f XXxcosx e a所以fX Xcosx e 1,0时，f X2X递减，当0,时，f X2所以函数f X的递增区间为0,2，递减区间为2,0(2(2)由(1 1)知人与X2异号，不妨设X2X1x224X22，需要证明为X2第2424页共 2020 页二需证f X1fX2第2525页共 2020 页因为f Xif X2即需要证明fX2fx2，即f X2fx20即f Xfx0,x(0,2令h xf xfX,x 0,2h x fxfXxcosxxe1 xcosx eX1ex；x2所以h x在（0,上递增2【点睛】本小题主要考查根据切线的斜率求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题 x 3 tcos2222 .在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为（t为参数，y tsin0）,在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的极坐标方程为2cos 0. .（1）若一可，试判断曲线Ci和C2的位置关系;4（2）若曲线Ci与C2交于点M,N两点，且P 3,0，满足PM PN 5MN. .求sin的值 【答案】（1 1）相离；（2 2）6. .1616【解析】（1 1）