2019-2020学年福建省宁化一中高一下学期第一次阶段考数学试题(解析版)

1、故选: :A A第 1 1 页共 1818 页2019-2020 学年福建省宁化一中高一下学期第一次阶段考数学试题一、单选题1 1 已知数列an满足：ai0，3ania.0，则数列a.是（ ）A A .递增数列B B.递减数列C C .摆动数列D D .不确定【答案】B B【解析】根据3an 1an0，得到数列an是等比数列，求出其通项公式，再利用指数型函数的单调性判断【详解】因为3an 1an0,所以数列an是等比数列1n 1所以ana113又因为a10所以数列an是递减数列 故选: :B B【点睛】本题主要考查等比数列的定义，数列的增减性，还有指数型函数的单调性， 属于基础题. .2 2.

2、已知等差数列a an中，a a7+ a a9= 1616, a a4= 1 1,贝 y y a a12的值是（）A A . 1515B B. 3030C C . 3131D D. 6464【答案】A A【解析】根据等差数列性质解得 OsOs，再根据等差数列性质得结果 【详解】因为a7a916 2a816 a88 a122比a416 115所以an 1an第2 2页共 1818 页【点睛】 本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题3 3.若正实数a,b满足a b 1，则（）A A .ab有最大值-42【解析】A.A.根据正实数a,b满足a b 1，由ab丄判断B.由241111aba

3、ba b2判断.C.C 由2.aa話2.a b2 aba b a b，判断 Q.Q.由a2b21a b22判断【详解】因为正实数a,b满足a b 1所以aba b21,当且仅当4a b 1,ab，即ab1-取等号，2故 A A 正确211114abab2a b，当且仅当ab 1,ab, 即a b1取等号,2故 B B 错误. .、a、ba比2 a b2、ab.ab a b、2，当且仅当a b 1,a b,即a1b取等号，故 C C 错误22 21211取等号，故 D D 错a ba b当且仅当a b1,ab，即ab222误 故选: :A A【点睛】C C ., ,a a .b.b 有最大值D

4、D.a2b2有最小值22第3 3页共 1818 页本题主要考查基本不等式的变形以及应用,变形灵活，特别注意使用条件，属于中档题. .第4 4页共 1818 页将z x y变形为y x z，平移直线y x,所以直线在 y y 轴上的截距最小点A(1,0),所以目标函数z x y在此取得最大值，最大值为1 1故选：C C【点睛】本题主要考查线性规划求最值这是截距类型，平移目标函数所在直线找到最优点是关 键，还考查了数形结合的思想，属于基础题. .u5 5.VABC的三内角 代B,C，设向量p (sin A sinC,sin B)向量rir rq (sin B sin A, sinC sin A)，

5、若p Pq，则角C的大小为( )4 4 .已知实数x、y满足约束条件A A.3B B.2【答案】C C【解析】根据实数x、y满足约束条件2x 3y 8 04x y 4x y 10则z x y的最大值为（）0C C. 1 1D D . 2 22x 3y 8 04x y 4 0，画出可行域，将z x y变x y 10形为y x z，平移直线y x，找到直线在 y y 轴上的截距最小点即可【详2x 3y 8 0因为实数x、y满足约束条件4x y 40，画出可行域,x y 10如图所示阴影部分:2第5 5页共 1818 页【答案】B B【解析】 根据p/q，由共线向量定理得到【详解】(si nA si

6、n C,si n B)向量q (s in B si nA, si nC si nA)，u r因为p / /q由正弦定理得因为C 0,所以 C C - -3故选：B B【点睛】 本题主要考查共线向量定理，正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力,所以sin B sin Bsin Asin AsinC sinC si nA由余弦定理得cosCb2c22ab6 6 设0m1若2 m2mk 0恒成立，则k的最小值为（)2111A A 1 1B B.C.D D248【答案】D D【解析】将0m1卄,右2m2m k 0恒成立，转化为0 m1,k22恒成立，令g(m)2m2m，求其最大值即可 【详解

7、】因为0m1若2m2mk 0恒成立，2所以0mk 2 m2m恒成立，属于中档题 2m2sin B sin Bsin Asin A sinC sinCsin A，再由正弦定理，把角转化为边,a2b2ab然后利用余弦定理求解 已知向量ab第6 6页共 1818 页令g(m) 2m2m1所以k -,81所以k的最小值丄. .8故选：D D【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题7 7 .已知函数f ( ) 4(sin2cos2 )2，在锐角三角形ABC中，f (A)6，且cos2Bcos2C，则tan B的值为()A A . 1 1B B.2 1C C.、2

8、1D D .2【答案】 C C【解析】 因为函数f( ) 4(sin2 cos2 )24 ., 2 sin 2 42，根据f (A)6,有sin 2A -43cos2B cos2C，求得B C，再利用半角公式求解8【详解】cos 2 )24：2 sin 22，4又因为在锐角三角形ABC中，f (A)6，所以f (A)4、2sin2A即sin 2辽，42解得A4或A(舍去)，又因为cos2B cos2C，2(舍去)，再根据因为函数f ( ) 4(sin 2所以2A-4或2A3_匚，第7 7页共 1818 页38所以tanB哑2sinBf0SB亠亠2 1. .cosB 2cos B 1 cos2B

9、 “421 2故选；C C【点睛】本题主要考查三角函数求角以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. .8 8 已知a,b为正实常数，实数x, y且满足x2y22 2a yb2x20,则x2y2的最小值是（)Aa bB B.a2b2C C.、 .2(ab)D D.(a b)2【答案】D D【解析】根据a,b为正实常数，实数x, y且满足2 2x y2 2a yb2x20,转化为【详解】所以2B 2C2ab*22221，再由x yxyb2x22a2xb2展开，利用基本不等式求解y因为a,b为正实常数, 实数x,y且满足b2x20，所以2a2xb22y所以a2x2b2当且仅当所以x2x

10、2y2a2x2b22，即y2y的最小值是（aa2b22.a2b2ay2bx2，取等号b)2. .第8 8页共 1818 页b22，y故选：D D【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题、多选题9 9 在VABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）A A .VABC,c3,CB B.b 5,c 6,C= =64C C.a 6,b3-3,BD D.a 20,b 15,B36 6【答案】BCBC【解析】根据正弦定理求解 【详解】A.A.由正弦定理得csinC2R6，任何三角形都有外接圆，所以有无数解，故A A错误 B.B.由正弦定理得bc所以sin B工2

11、，因为bc，所以B是锐角， 所sin Bsin C12以只有一解，故B B 正确. .C.C.由正弦定理得ba所以si nA1，所以A ，所以只有一解，故C Csin Bsin A2正确. .D.D.由正弦定理得ba所以si nA-，因为 a a b b 所以A有两解,故 D D 错误sin Bsin A3故选：BCBC【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题1010 .设等差数列an的前n项和是Sn，已知20,30，正确的选项有（ ）A A.ai0，d 0B B.Ss与S6均为Sn的最大值C C.a6a70D D.a70【答案】 ACDACD【解析】利用等差数

12、列的性质，12 aa212 a6a7Si2=，可得a6a70，2 2第9 9页共 1818 页Sn13-a1乩132a7I3a7可得a70,a60,再根据等差数列的单调性判2 2断。【详解】第1010页共 1818 页又因为si313印 132勺13a70所以a70,a60,2 2所以等差数列前 6 6 项为正数，从第 7 7 项开始为负数，则ai0,d 0,S6为Sn的最大值故 ACDACD 正确. .故选：ACDACD【点睛】本题主要考查等差数列的性质和单调性，还考查了转化求解的能力，属于中档题1111 已知数列an是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A A . 丄anB B.l

13、og2（an）2C. anan 1D D.anan 1an 2【答案】ADAD【解析】主要分析数列中的项是否可能为0 0,如果可能为 0 0,则不能是等比数列，在不为0时， 根据等比数列的疋义确疋.【详解】2 2an1时，log2（an）0，数列log2（an） 不一定是等比数列，q 1时，anan 10,数列a.an 1不一定是等比数列，由等比数列的定义知和anan 1an 2都是等比数列an故选 ADAD 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础.特别注意只要数列中有一项为 0 0，则数列不可能是等比数列.1212 .以下关于正弦定理或其变形正确的有（）因为S12=楚空

14、2 20所以a6a70故 C C 正确. .第1111页共 1818 页A A .在VABC中，若sin 2 A sin2B,贝U a bB B .在VABC中，absin AC C .在VABC中，若SinA SinB，贝UA B，若A B，贝U sin A sin B都成立即关于x的不等式x2mx10的解集只有一个元素，第 9 9 页共 1818 页sin A sin B sin C【答案】BCDBCD【解析】A.A.根据内角的范围，由sin2A sin2B，得2A 2B或A B，再边角2b sin A转化判断.B.B.在VABC中，根据正弦定理得：a，再结合正弦函数的值域判sin Ba

15、b断.C.C.根据Si nA Si nB 判断.D.D.根据正弦定理，由2R 2Rb c 2RsinB 2RsinC判断. .sin B sin C sin B sin C【详解】故 A A 错误. .absin A，故 B B 正确. .B，是si nA si nB充要条件，故【点睛】 本题主要考查正弦定理及其变形，还考查了理解辨析的能力，属于中档题三、填空题1313 关于x的不等式x2mx 54的解集只有一个元素，则实数m的值是_【答案】2【解析】将关于x的不等式x2mx 5 4的解集只有一个元素，转化为关于x的不等 式x2mx 10的解集只有一个元素，再用判别式法求解. .【详解】关于x

16、的不等式x2mx 54的解集只有一个元素，D D 在VABCA.A.在VABC中，若sin2A sin2B,贝U 2A2B或A B-，所以a b或B.B.在VABC中，由正弦定理得:bsin Aasin B，因为sinB(0,1 ，所以C.C.在VABC中，由正弦定理得Si nASi nBa2Rb2RA B，所以D.D. 在VABC中，由正弦定理得sin A2Rsin B 2RsinC “ 2R sin Bsin Cbsin Bacsi nC2R, 所以sin B sin C故选：BCDBCD，故 D D 正确. .sin A2第1313页共 1818 页所以m240解得m 2故答案为：2【点

17、睛】 本题主要考查一元二次不等式有解问题，还考查了转化求解的能力，属于中档题1414 .设ABC的内角A, B,C所对的边分别为a,b,c，若b c 2a,3sin A 5sin B, 则角C= =【答案】2故答案为：-3【点睛】1515 .数列an满足a11,anan 1n(n 2)，则an【答案】2n n2【解析】根据anan1n(n2），利用累加法求数列的通项公式【详解】因为anan 1n(n2),所以anan 1n所以ana1a?aasa2a4.anan 1n n11 23 4.n【解根据正弦定理到3a 5b,c a，再利用余弦定理得到cosC5答案 【详3sin A5sin B，则3

18、a 5b,b c2a，故c根据余弦定理：cosC2 2 2a b c2ab292a a252a3a57a. .5492a25-，故C22第1414页共 1818 页本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形, 意在考查学生的计算能力第1515页共 1818 页故答案为:【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，属于中档题 1616已知VABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,VABC的外接圆的面积为3，且cos2A cos2B cos2C 1 si n As in C，则VABC的最大边长为 _【答案】3 3【解析】 先根据VABC的外接圆的面积为3，求得外接圆的半径，再根据cos2A

19、 cos2B cos2C 1 sin AsinC，利用正弦定理转化为边2a2b2c2ac，再用余弦定理求得B，得到VABC为钝角三角形，且 B B3最大，再用正弦定理求解 【详解】因为VABC的外接圆的面积为3,所以外接圆的半径为.3,由正弦定理得a2b2c2ac2,224由余弦定理得 -cos B2ac2所以B所以VABC为钝角三角形，且 B B 最大,所以b 2RsinB 2.3-3. .2故答案为：3 3【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 四、解答题因为cos2A cos2B cos2C1 sin A sin C,所以1 si n2A 1si

20、n2B 1 sin2C1 sin Asin C,即sin2A sin2B sin2Csin Asin C,第1616页共 1818 页1717 .已知等差数列a an中，a ai=1=1, a a3= =- 3 3.(I)求数列a an的通项公式；(H)若数列a an的前 k k 项和 S Sk= = - 3535，求 k k 的值.【答案】(I) a an=1=1+ + ( n n- 1 1) X (- 2 2) =3=3 - 2n2n ( n) k=7k=7【解析】试题分析：(I I)设出等差数列的公差为 d d,然后根据首项为 1 1 和第 3 3 项等于-3 3, 利用等差数列的通项公

21、式即可得到关于 d d 的方程，求出方程的解即可得到公差 d d 的值， 根据首项和公差写出数列的通项公式即可；(II(II)根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k k 项和的公式，当其等于-3535 得到关于 k k 的方程，求出方程的解即可得到k k 的值，根据 k k 为正整数得到满足题意的 k k 的值.解：(I I)设等差数列a an的公差为 d d，贝 y y a an=a=a1+ + (n n-1 1) d d由 a a1=1=1, a a3= = - 3 3,可得 1+2d=1+2d= - 3 3，解得 d=d= - 2 2, 从而，a an=1=1+ + (

22、n n- 1 1) X (- 2 2) =3=3- 2n2n；(II(II)由(I I)可知 a an=3=3- 2n2n,2进而由 S Sk= =- 3535,可得 2k2k - k k2= = - 3535, 即 k k2- 2k2k - 35=035=0，解得 k=7k=7 或 k=k= - 5 5,又 k k N N+，故 k=7k=7 为所求.基础题.1818 求下列不等式的解集(1)x 3x 20(2)(x a)(ax 1) 0, (a R)【答案】(1 1) 1,21,2 ； (2 2)答案不唯一，见解析【解析】(1 1)直接解不等式得到答案 (2(2)讨论 a a0,a 0,

23、a a0 0 三种情况，分别计算得到答案 【详解】x23x20，即x1 x 20，故1 x 2，即x 1,2所以 Sn=Sn= 1 11 1=2n=2n n n2,点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n n 项和的公式化简求值， 是一道第1717页共 1818 页(2)(x a)(ax 1) 0第1818页共 1818 页当a 0时，x 0，即x 0；【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握(1(1)求角 A A 的大小;(2)若a 4，求、3b c的取值范围【答案】(1)6 6；(2)4,43. .【解析】(1 1)利用正弦定理化简已知条件，求得tan

24、A的值，进而求得角A的大小. .(2 2)利用正弦定理求出b,c的表达式，利用辅助角公式进行化简，然后根据三角函数值域的求法，求得,3b c的取值范围 【详解】(1(1)由殂及正弦定理得： 泄 旦吐sin Bcos Asin Bcos A、.3tan A3又A 0,-, 二A26(2 2)2R=a=8si nA 3b c 2Rsin Bsin C8 x3sin Bsin5B318sin BcosB62 211当a 0时,(x a)(x)0,故x或 x x a a ；aa11当 a a 0 0 时，(x a)(x-)0,故一x a；aa综上所述：a 0时，x,0;a0时，xa a 0 0 时,1

25、919 已知在锐角VABC中，角A,B, C C 所对边的长分别为a a, b b, c c,bsin B,3acos A125第1919页共 1818 页8sin B又:VABC为锐角三角形,B i,2，即B6 i,3、,3b c 4,4、3. .【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查辅助角公式以及三角函数值域的求法，属于中档题 2020 .一个生产公司投资 A A 生产线 500500 万元，每万元可创造利润1.5万元，该公司通过引进先进技术，在生产线 A A 投资减少了 x x 万元，且每万元的利润提高了0.5x%；若将少13用的 x x 万元全部投入 B B 生产线，每万元创

26、造的利润为1.5 ax万元，其中a 0.10001若技术改进后 A A 生产线的利润不低于原来 A A 生产线的利润，求 x x 的取值范围；2若生产线 B B 的利润始终不高于技术改进后生产线A A 的利润，求 a a 的最大值.【答案】(1 1)0 x 300(2 2) 5.55.5【解析】(1 1)分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可 ( 2 2)中不高于可转化为式子之间的恒成立问题，通过参变分离求最值从而得参数范围【详解】(1 1)由题意得：1.5 500 x 1 0.5x%1.5 500, ,整理得：x2300 x0故0 x 300. .(2)由题意知，生产线B的利润

27、为1.5 ax万元,1000技术改进后，生产生A的利润为1.5 5001 0.5x%万元，1.5 a13x10001.5 5000.5x%恒成立,2x ax 125500 x,且2xa50035.5,ax 2的最大值为x又 -1255.55.55004，当且仅当x 250时等号成立,x125第2020页共 1818 页【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，第二问实际问题中的不高于转化为恒成立问题是第2121页共 1818 页本题解题的关键步骤，利用基本不等式求最值要注意变量的取值范围 2121.在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b c,且b（b点D在BC上,AD BC,BD:A

28、D:DC 2:1: m（1 1）求 BACBAC 和m的值;【详解】【解析】 （1 1） 根据b(b . 2c) a2c2,由余弦定理得cos Ab22ca22bc2得到BAC3-,再根据BD : AD : DC2:1:m,设ADx :,BD2x,4-BC1ABDCmx,(x0,m0)，利用SAABCADACsinBAC, 求解22(2 2) 由（1 1）m3，贝U BD:AD:DC2:1:3设ADx,BD2x,DC3x,【答案】 （1 1）0），根据E为BC的中点得到DE利用勾-x，在 RtVADERtVADE 中,22，BAC3r,（2 2）若E为BC的中点,AE求三角形ABC的面积. .(x由AE股定理x221x2再利用三角形面积公式求解(1)b(b.2 2 2b c a、2bc2 2b c cosAa2bc2BAC (0,)BACBD : AD : DC2:1:m,可设ADx,BD2x,mx,(x 0, m 0),二AB BD2AD25x，AC -DC AD $，m?1x，.2 c)2a2c,第2222页共 1818 页1又 TSABCBC AD2丄AB AC sin