2019-2020学年必修二圆的一般方程学案

1、学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、一般式求圆心和半径.（重点）数学运算的数学素养.2.会在不冋条件下求圆的一般式方程.（重2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学点）运算的数学素养自主预习 q 探新Ml_匸新知初探匸圆的一般方程（1）圆的一般方程的概念：当 八E2 4F0 时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 叫做圆的一般方程.（2）圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 （D2+E 4F 0）表示的圆的圆心为二D岂，半 径长为D2+E2 4F.思考：所有形如x2+y2+Dx+Ey+F

2、= 0 的二元二次方程都表示圆吗？提示 不是，只有当D2+E2 4F0 时才表示圆.匸初试身手匸1 .圆x2+y2 4x+ 6y= 0 的圆心坐标是（)A. (2 , 3)B. (2,3)C. (2, 3)D. (2 ,-3)DD一=2,12 2= 3,圆心坐标是（2 ,3.2. 方程x2+y2-x+y+k= 0 表示 个圆， 则:实数k的取值范围为（)11A. g 2B.k= 211C.k2D.D 方程表示圆1? 1 + 1 4k0? 夕D 由题意知圆心坐标是（1, 0），故所求直线方程为y=x+ 1，即xy+ 1 = 0.3 .经过圆x2+ 2x+y2= 0 的圆心，且与直线x+y= 0

3、垂直的直线方程是()A.x+y+ 1 = 0B.x+y 1 = 0C.xy 1 = 0 D .xy+ 1= 04 .圆x4+y2+ 2x 4y+ m= 0 的直径为 3，贝 Um的值为_ .11 厂22311 因（x+ 1） + （y 2） = 5m r=p5 rn= -,-0=-.合作探究。提素春卜类因1圆的一般方程的概念【例 1】(1)若x+y 4x+ 2y+ 5k= 0 表示圆，则实数k的取值范围是()A.RB.(31)C. (,1D. 1,+8)(2)_ 已知a R,方程ax+ (a+ 2)y+ 4x+ 8y+ 5a= 0 表示圆，则圆心坐标是 _ ,半径是_ .(1) B (2) (

4、 2, 4)5(1)由方程x2+y2 4x+ 2y+ 5k= 0 可得(x 2)2+ (y+ 1)2= 55k，此方程表示圆，则 55k0，解得k0,成立则表示圆，否则不表示圆.(2) 将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程 是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训痣1.下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.2 2(1) 2x+y 7y+ 5= 0;4 2(4)2x+ 2y 5x= 0.解(1)T方程 2x2+y2 7y+ 5= 0 中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆.(2)T方程x2xy+y2

5、+ 6x+ 7y= 0 中含有xy这样的项.它不能表示圆.(3) 方程x2+y2 2x 4y+ 10= 0 化为(x 1)2+ (y 2)2= 5,2 2(2)xxy+y+ 6x+ 7y= 0;2 2(3)x+y 2x 4y+ 10 = 0;它不能表示圆.(4)方程 2x2+ 2y2- 5x= 0 化为 jx-4+y2=4,它表示以 4,0 为圆心，5 为半径长的圆.求圆的一般方程【例 2】 已知ABC勺三个顶点为A(1 , 4),B( 2, 3) ,C(4 , - 5)，求ABC勺外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.解法一：设厶ABC勺外接圆方程为2 2x+y+Dx+Ey+F= 0, A, B

6、, C 在圆上，卩 + 16+ D+ 4E+F= 0,4+ 9 2D+ 3E+F= 0, 16+ 25 + 4D- 5E+F= 0,D=- 2, E= 2,.F=- 23,. .22 ABC的外接圆方程为x+y-2x+ 2y-23= 0,即 (x- 1) + (y+ 1) = 25.外心坐标为(1 , - 1)，外接圆半径为 5.、丄一4-314 + 5法一：kAB= 1+2 = 3,kAC=百=-3,kABkAc=- 1, ABL AC ABC是以角A为直角的直角三角形，外心是线段BC的中点，丄 1坐标为(1 , - 1) ,r=刁BQ= 5.外接圆方程为(x 1)2+ (y+ 1)2= 2

7、5.待定系数法求圆的方程的解题策略：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法类型2求出常数 D E、F.它跟踪训练2 .求经过点A 2, - 4)且与直线x+ 3y 26= 0 相切于点B(8 , 6)的圆的方程. 2 2解 设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F= 0,即E 3D- 36= 0.- ( 2, 4) , (8 , 6)在圆上， 2D+ 4EF 20= 0,8D+ 6E+F+ 100 = 0.联立，解得D= 11

8、 ,E= 3,F= 30,故所求圆的方程为x2+y2 11x+ 3y 30= 0.卜类战3与圆有关的轨迹方程问题探究问题1已知点A 1, 0),B(1 , 0)，则线段AB的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？提示线段AB的中点轨迹即为线段AB的垂直平分线，其方程为x= 0.2 .已知动点M到点(8 , 0)的距离等于点M到点(2 , 0)的距离的 2 倍，你能求出点M的轨 迹方程吗？提示 设Mx,y),由题意有寸(X 8)2+y2=2yj(x 2)2+y2,整理得点M的轨迹方 程为x2+y2= 16.【例 3】 点A(2 , 0)是圆x2+y2= 4 上的定点，点B(1 , 1)是圆内一点，P

9、, Q为圆上的动点.(1) 求线段AP的中点M的轨迹方程；(2) 若/PBQ=90，求线段PQ的中点N的轨迹方程.思路探究：(1) |设点P坐标 11 用P, A坐标表示点M坐示T求轨迹方程设点N坐标T探求点N的几何条件T建方程则圆心坐标为-D，E.E6+圆与x+ 3y 26= 0 相切于点D8+2化简得轨迹方程解设线段AP的中点为Mx,y),由中点公式得点P坐标为P(2x- 2, 2y).点P在圆x2+y2= 4 上，(2x 2)2+ (2y)2= 4, 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x 1)2+y2= 1.设线段PQ的中点为Nx,y),在 Rt PBQ中, |PN= IBN|.设O为坐标

10、原点，连接ON图略)，贝 yONL PQ IOP2= |ON2+1PN2T ON2+ IBN2,x2+y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4,22故线段PQ的中点N的轨迹方程为x+yxy 1 = 0.规律方廉求轨迹方程的一般步骤:(1) 建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x,y);(2) 列出点M满足条件的集合；(3) 用坐标表示上述条件，列出方程；(4) 将上述方程化简；证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.働跟踪训练3 .已知ABC的边AB长为解以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A( 2, 0) ,B(2 ,0)，设C(x,y) ,BC中点Qxo,y。

11、).，求顶点C的轨迹方程.4,=yo.2 2|AD= 3,.(Xo+ 2) +yo= 9.将代入，整理得(x+ 6)2+y2= 36.点C不能在x轴上，沪0.综上，点C的轨迹是以(一 6, 0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(一 12, 0)和(0 , 0)两点.2 2轨迹方程为(x+ 6) +y= 36(y丰0).f2+x厂=x,0 +y2匸课堂小结二1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0,来源于圆的标准方程（xa）2+ （yb）2=r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2 圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简 化解题过程，体现数

12、学运算的核心素养.3 涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并 掌握求轨迹方程的一般步骤.22. _ .1.方程 2x+ 2y 4x+ 8y+ 10= 0 表示的图形是（）A. 个点B. 个圆C. 一条直线D.不存在2 2 2 2 2A 方程 2x+ 2y 4x+ 8y+ 10= 0，可化为x+y 2x+ 4y+ 5 = 0,即（x 1） + （y+ 2）2 2=0,.方程 2x+ 2y 4x+ 8y+ 10= 0 表示点（1 , 2）. 2 2 2 22 .点P（1 , 2）和圆C：x+y+mix+y+mi= 0 的位置关系是 _.点P在圆C外部 将点R1, 2）代入圆的方程，得 1 + 4 +m 2+m= 2m+ 30,二点P在圆C外部.3 .圆心是（一 3, 4），经过点M5 , 1）的圆的一般方程为 _ .x2+y2+ 6x 8y 48= 0 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可.4 .若方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 表示以(2 , 4)为圆心，4 为半径的圆，则F=_(4)2+ 824F4由题意，知D=