2020届广西梧州市贺州市高三毕业班摸底调研考试数学(文)试题(解析版)

1、故可得a 2b 3, 4,第 1 页共 18 页2020 届广西梧州市贺州市高三毕业班摸底调研考试数学试题、单选题1设集合 A = - 1,0,1, B = - 1,1,3,贝 U【答案】B【解析】根据集合的交运算，即可求得结果【详解】由集合的交运算，容易得AB 1,1故选：B.【点睛】 本题考查集合的交运算，属基础题2.2i 1 i()【答案】【详解】故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题【答案】【详解】因为a1, 2 ,b 1,1,(文)A AB=()A -1,0B. - 1,10,11,3A.2 2iB.2 2i2 2i2 2i【解直接按照复数的乘法法则运算即可2i 1 i2 2

2、i.3.已知向量a1, 2 ,b1,1,则2b=( )【解先计算2b的坐标，再根据坐标求解模长即可第2页共 18 页故a 2bJ3425.故选：D.【点睛】本题考查向量模长的坐标求解，属基础题4 .在等差数列an中，a2+a3 1+a4, a5 9,贝Ua8()A . 14B. 15C. 16D . 17【答案】B【解析】根据题意，应用基本量列出方程，即可求解.【详解】设数列an的公差为d,则可得a1d 1 d, a14d9,解得 41,d2，故a8a17d15.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属基础题.2 25若双曲线 笃 占 1 (a0, b0)的右焦点为 F，过点 F 的

3、直线 y ,3 (x-2)a b与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为()A 1B.3C 2D 2、.3【答案】C【解析】容易求得点F的坐标，以及渐近线的斜率，据此列方程求解即可【详解】令y 0，则由 y.3(x- 2)可解的F 2,0，故可得c 2;又因为直线 y(x- 2)与渐近线平行，故 - 3,a结合a2b2c2，解得a 1,故2a 2.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程中a,b,c的求解，属基础题.第3页共 18 页x y 26 若 x, y 满足约束条件x 2 3y，则 z= 2x - 3y 的最小值为()x 3A - 2B- 1C 1D 2【答案】B【解析】 画出不等式

4、组表示的平面区域，数形结合，求得目标函数的最小值即可【详解】根据题意，画出不等式组表示的平面区域如下图所示:第4页共 18 页将目标函数 z= 2x- 3y 整理化简为y数形结合可知，当且仅当目标函数过点i，其与直线yA 1,1时取得最小值,故Zmin2 13 11.故选：B.【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，属基础题7 将函数 y= cos (2x )的图象向左平移个单位长度后,64则 f (x )=()A sin2xB. sin2x得到函数 f (x)的图象,C sin (2x )D . sin (2x6 6【答案】D将函数 y= cos (2x)的图象向左平移个单位长度后,64第5

5、页共 18 页可得函数解析式为cos 2 x cos 2x 一sin 2x 46626故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象的变换，属基础题8 我国古代数学名著数学九章中有云：今有木长二丈四尺，围之五尺 葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？ ”其意思为 圆木长 2 丈 4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从 圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注: 1 丈等于 10 尺）（）【答案】C故选：C【答案】D【解析】 模拟执行程序框图中的程序，即可求得输出结果【详解】模拟执行程序如下:a2,T0,i1，满足i5，继续执行;T4,a1,i2满足i5, 继续执行;B

6、. 24 尺C. 26 尺D . 30 尺【解析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形, 一条直角边（即木棍的高）24 尺，另一条直角边长 5X2=10 （尺），因此葛藤长.24210226（尺）9 执行如图所示的程序框图，如果输入的a = 2,则输出的 T =（B. 8D . - 72第6页共 18 页T8,a0,i3,满足i5, 继续执行;3第7页共 18 页T 8,a1,i4，满足i 5，继续执行；T 8,a2,i5,满足i 5，继续执行；T 72, a 3,i6,不满足i 5，输出T 72.故选：D.【点睛】本题考查循环结构的程序执行，属基础题【答案】D的部分图象大致为【解析】根据函数的奇偶

7、性，以及特殊值即可判断令f X3/ xXx 2，故可得fx4x1x x324x1因为f xx 0，故函数为奇函数，排除C, D；又因为f 10,f120故选：A.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及指数运算，属基础题11.已知a(0, ) ,cos2a=1-3sin2a,则 COSa=()210103【详第8页共 18 页【解析】利用倍角公式进行整理化简，即可求得结果【详解】因为 cos2 a= 1 - 3sin2 a由倍角公式可得cos2sin2sin2cos26sin cos即sin23sin cos又因为a (0, ),sin20,故sin3cos，即tan3.由同角三角函数关系，容易得

8、cos.10故选：D.【点睛】本题考查正余弦的倍角公式，以及同角三角函数关系，属综合基础题12 .直三棱柱 ABC - AiBiCi的侧棱长为 3,AB 丄 BC,AB + BC = 4,若三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球为球 O,则球 0 表面积的最小值为（）A.17nB.18nC.19nD.20n【答案】A【解析】根据三棱柱的几何特点， 找出球心，构造直角三角形，求解半径的最小值即可.【详解】根据题意，取AC中点为H，过H作CC1的平行线HH1,交AG于H1，取HH1中点为O,作图如下：第9页共 18 页因为三棱柱是直三棱柱，且底面为直角三角形, 故外接球的球心即为HH1的中点O.

9、则设外接球的半径为R，则OB R,OH1AA1-.2 2BH为底面三角形ABC的外接圆半径，第10页共 18 页由勾股定理可得AB2BC2AC2，以及AB BC 4,容易得BH1AC1、ABBC1AB BC22AB BC2 2 2v由均值不等式可得BH16 2 - AB BC2,24当且仅当AB BC 2时取得最小值即BH的最小值为.2.在直角三角形OBH中,由上述推导可知，Rmin2故Smin4 R 17.故选：A.【点睛】 本题考查三棱柱外球球半径的求解，涉及用均值不等式求解最值，属综合中档题二、填空题13 有 3 名男同学和 1 名女同学共 4 位同学参加志愿者服务，从中选出 2 人，则

10、选到女生的概率为_ 1【答案】丄2【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求得结果【详解】设三位男生为A, A2, A3，女生为B,则从 4 名同学中选出 2 人，共有如下情况：A,A2, A1A3, AB, A2A3, A2B, A3B合计 6 种情况；其中满足题意的有A1B, A2B, A3B合计 3 种情况；故满足题意的概率P彳1.R OH2BH2，第11页共 18 页6 21故答案为：丄.2【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题14.在等比数列an中，a4= 4 （a3- a2）, a5=- 16,则 ai=_.【答案】-1【解析】由等比数列的基本量，列出方程，求解即可得到结果【详

11、解】设等比数列an的公比为q，3,24贝 Ua-iq 4 a-iq，aiq16，故可得解得q 2,印1.故答案为：1.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属基础题15 .曲线 y= ex-1+xlnx 在点（1,1 ）处的切线方程为 _.【答案】2x- y- 1= 0【解析】 求导，得到函数在（1,1）处的导数，即为切线斜率，再用点斜式即可求得【详解】因为 y= ex 1+xlnx，故y ex 1Inx 1故当x 1时y 2，即过点1,1的切线的斜率为2；故可得切线方程为y 12 x 1，整理得2x y 10.故答案为：2x y 10.【点睛】本题考查利用导数的几何意义，求解过曲线上一点的切

12、线方程，属基础题2 216 .已知椭圆葺1 ab0的右顶点为 A，左，右焦点为 F1, F2,过点 F2与a b第12页共 18 页3x 轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B .若|F1F2| = 2, |F2B| -,贝惊 F1到直线 AB 的距离为_ .【答案】匹卫13【解析】 根据已知信息，即可求得椭圆方程，再用点到直线的距离公式即可求得【详解】根据题意，作图如下:第13页共 18 页故答案为：Ld3.13【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，涉及点到直线的距离公式的应用，属基础题 三、解答题17 .某校为了了解高一新生是否愿意参加军训，随机调查了80 名新生，得到如下 2 疋列联表愿意不愿意合

13、计男x5M女yz40合计N2580|FIF2=2, IF2BI-,22c 2b23a 2 a2b2不妨设 B 在第一象限，则直线 AB 的方程为 yA (2 2,0),B B(1,1, ) ,F F1(- 1,0).23x+3,即卩 3x+2y- 6= 0.点F F1到直线ABAB的距离为d d爲9 1313把 x= c 代入椭圆方程可得 y= b第14页共 18 页(1)写出表中 x, y, z, M , N 的值，并判断是否有 99.9%的把握认为愿意参加军训与第15页共 18 页性别有关；(2)在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3 人，记这 3 人中男生的人数为E,求E的分布列和

14、数学期望.参考公式：K22n ad beabedaebdP ( K2冰0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附:【答案】(1)M = 40, x= 35, z= 20, y= 20, N= 55,有 99.9%的把握认为愿意参加志愿69者填报培训与性别有关.(2)分布列见详解，E(3一 .115【解析】(1)根据表格中数据，即可求得x, y, z, M , N 的值，再计算K2，结合参考表格即可作出判断；(2)列出3的取值，根据古典概型概

15、率计算公式求得分布列，再根据分布列计算数学期望即可【详解】(1)由表格数据可知：M = 80 40= 40,x= 40 - 5 = 35, z=25 - 5 = 20, y =40 20= 20,N = 80- 25= 55,K280(20 35 5 10)240 40 25 5513.09 10.828,有 99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关.(2)在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3 人,记这 3 人中男生的人数为E,则3的可能取值为 0,123 ,P(3=0)C；。57C；5115第16页共 18 页第17页共 18 页c；c2019c2546也2c2523c；

16、1c25230，E的分布列为:E0123P57192111546232300竺1 19 2 ? 31154623230【点睛】本题考查独立性检验中K2的计算，以及古典概型的概率计算，涉及离散型随机变量的 分布列和数学期望的求解，属综合中档题18. ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, 5 且(a+b-c) (sinA+sin B+sinC) =bsinA.(1) 求 C;(2) 若 a= 2, c= 5,求厶 ABC 的面积.【答案】(1) C J . (2)湮3.32【解析】(1)利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理即可求得角C;(2)利用正弦定理，结合(1)中所求，求得s

17、inB，再利用面积公式即可求得 【详解】(1) a b c si nA sinB sinC bsinA由正弦定理可得a b c a b c ab,整理可得 a2+ b2- c2=- ab, C (o, n,69115-由余弦定理a2b2c22abab2abE( E)225ac二由正弦定理，可得sinA 3，sinA sinC2可得 sinA ,5， avc, A 为锐角, sinB = sin (A+C)= sinAcosC+cosAsinC5 5i)22.3.66. 35252i0 SAABCiacsinB丄2 5.66.3.66.322i02【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基

18、础题19 .在长方体 ABCD - AiBiCiDi中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点(1)求证：EF /平面 AiDCi;(2)若长方体 ABCD - AiBiCiDi中，夹在平面 AiDCi与平面 BiEF 之间的几何体的体积为i9 2，求点 D 到平面 BiEF 的距离.3【解析】(i)因为EF/AG，由线线平行，即可推证线面平行;第 i2 页共 i8 页C(2) Ta=2,c=5,C23可得 cosA1 si n2A第19页共 18 页(2)先根据几何体的体积求解出长方体的高，再用等体积法求得点到面的距离即可【详解】(1)证明：由题意

19、，连接 AC,如下图所示: E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点, EF / AC,四边形 ACCA 是平行四边形,-AC / A1C1, - EF / AiCi,TA1C1?平面 A1DC1, EF /平面 AiDCi，即证.(2)由题意，设长方体的高为SVAiC1D1VB1BEFSA BEFh _hh.3326TVABCDA1B1C1D12 2h = 4h, 4h-1 h 19hh19 23663/解得 h =2&又TEF2，DE = D F、5,容易知SDEF142 1 21 -131 -2221111VDAC1D1SVA1C1D12h.第20页共 18 页EF2，B1E=

20、BIF.5 ,SVB EFSADEF3.2设点 D 到平面 B-EF 的距离为 d.VD B1EFVB1DEF,解得 d = 2.,2.点 D 到平面 B-EF 的距离为 2.2 .【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用等体积法求点到平面的距离,20 .已知函数 f( x)= aex 2x+1.(1) 当 a= 1 时，求函数 f (x)的极值；(2) 若 f (x) 0 对 x R 成立，求实数 a 的取值范围3【答案】(1)极小值为 3 - 2ln2,无极大值；(2)2e2,.属综合中档题【解析】(1)求导，判断函数单调性，根据单调性求得极值；(2)分离参数，构造函数，求解函数的最

21、值，即可求得参数的范围【详解】(1)当 a= 1 时，f (x)= ex- 2x+1，贝 f (x)= ex- 2,令 f (x)v0，解得 xvIn2；令 f(x) 0,解得 x ln2；故函数 f ( x)在(-s| n2)上递减，在(In 2,+号 上递增,故函数 f (x)的极小值为 f (In2)= 2 - 2ln2+1= 3-2In2,无极大值;(2)2x 1f (x) 0 对 x R 成立，即为a对任意 x R 都成立,2x 1x，贝 U age(X)maxg x2ex2x 1 ex(ex)23 2xx，e令 g (x) 0,解得3xv 2解得x3；故函数 g(x)在递减,VB1

22、DEF-SA DEFBIB-33|2,2 .2-第21页共 18 页第22页共 18 页e23故实数 a 的取值范围为2e?【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及根据恒成立问题求解参数的范围，本题采用了分离参数的方法21.已知抛物线 C： x2= 2py ( p 0)的焦点为(0,1)(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 设直线 12： y= kx+m 与抛物线 C 有唯一公共点 P,且与直线 li： y =- 1 相交于点 Q,试问，在坐标平面内是否存在点 N，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N?若存在，求 出点 N 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1) x2= 4y; (2)存在

23、 N (0,1)【解析】(1)根据抛物线的交点坐标，即可得到P，从而求得抛物线方程；(2)根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及k, m之间的等量关系，再求出点Q的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可【详解】(1) 由题意，1,2所以 P = 2,抛物线 C 的方程为：x2= 4y；,x24y，口o(2) 由得 x2- 4kx- 4m= 0 (),y kx m由直线 y= kx+m 与抛物线 C 只有一个公共点，可得n 0,解得 m=- k2,代入到()式得 x= 2k,- P (2k,k2),当 y=- 1 时，代入到 y= kx- k2得 Q (k丄，1),k以 PQ 为直径的

24、圆的方程为：12x 2k x k - y k2y 10,kg(X)maxg3232e第23页共 18 页整理得：1 yk23x k x13x 0 x 0 x2y2y 20解得存在点 N ( 0,1),使得以 PQ 为直径的圆恒过点N .【点睛】(1)直线 I 与曲线 C 是否有公共点？并说明理由;(2)若直线 I 与两坐标轴的交点为 A, B，点 P 是曲线 C 上的一点，求 PAB 的面积的最大值.【答案】(1)没有交点，理由见详解；(2) 3.10 18.【解析】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程， 将直线l的极坐标方程化为直角方程, 联立方程组，根据n的情况，求得两曲线的相交情况；(2

25、)由(1)中所求，容易得点A, B的坐标，设点P坐标为(3cos0,sin)0再将问题转化为三角函数值域的问题即可求得【详解】2转换为直角坐标方程为y21.9直线l l的极坐标方程为cos-3迈，2sin2转换为直角坐标方程为x- y- 6 = 0,若圆恒过定点，则本题考查由焦点坐标求抛物线的方程,以及抛物线中圆恒过定点的问题，属综合中档题22 已知曲线 C 的参数方程为x 3cos(0为参数)，以坐标原点 o 为极点，x 轴的y sin正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为cos 432.(1)曲线 C 的参数方程为x 3cos（0为参数），y sin整理得cos第24页共 18 页22乞i联立方程组y9x y 60消去x，可得 10y2+l2y+27 = 0,由于 = 122- 4X10X27V0，所以直线与椭圆没有交点.