利用导数证明不等式的两种通法

1、无利用导数证明不等式的两种通法利用导数证明不等式的两种通法吉林省长春市东北师范大学附属实验学校金钟植岳海学利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。一、函数类不等式证明一、函数类不等式证明函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式( )( )f xg x（( )( )f xg x）的问题转化为证明( )( )0f xg x（( )( )0f xg x） ，进而构造辅助函数( )( )( )h xf xg x，然后利用导数证明函数( )h x的单调性或证明函数( )h x的最小值

2、（最大值） 大于或等于零 （小于或等于零） 。例 1 已知(0,)2x，求证：sintanxxx分析：欲证sintanxxx，只需证函数( )sinf xxx和( )tang xxx在(0,)2上单调递减即可。证明：令( )sinf xxx，其中(0,)2x则/( )cos1fxx，而(0,)cos1cos102xxx 所以( )sinf xxx在(0,)2上单调递减，即( )sin(0)0f xxxf所以sin xx；令( )tang xxx，其中(0,)2x则/221( )1tan0cosgxxx ，所以( )tang xxx在(0,)2上单调递减，即( )tan(0)0g xxxg所以t

3、anxx。综上所述，sintanxxx评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为 0，然后另一边的函数作为辅助函数， 并利用导数证明其单调性或其最值， 进而构造我们所需的不等式的结构即可。 根据不等式的对称性， 本例也可以构造辅助函数为在(0,)2上是单调递增的函数（如：利用( )sinh xxx在(0,)2上是单调递增来证明不等式sin xx） ，另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的(0)f也可以无不是 0，而是便于放大的正数也可以） 。因此例可变式为证明如下不等式问题：已知(0,)2x，求证：sin1tan1xxx 证明

4、这个变式题可采用两种方法：第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式sin xx以后，根据sin1sinxxx 来证明不等式sin1xx ；第二种证法： 直接构造辅助函数( )sin1f xxx 和( )tan1g xxx， 其中(0,)2x然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：( )sin1(0)10f xxxf ）例 2 求证：ln(1)xx分析：令( )ln(1)f xxx，经过求导易知，( )f x在其定义域( 1,) 上不单调，但可以利用最值证明不等式。证明：令( )ln(1)f xxx函数 f(x)的定义域是( 1,) , f(x)=111 x

5、.令 f(x)=0，解得 x=0，当-1x0,当 x0 时, f(x)n0证明：令ln()( )(0)xxabf xxx则/22lnlnln()(lnln )()ln()( )()xxxxxxxxxxxxxxaabbxabx aabbabababfxxxab22lnlnlnln0()()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxabababababababababxabxab所以，ln()( )0 xxabf xx在（ ，）上是减函数又因为0mn，所以( )( )f nf m即ln()ln()nnmmababnmln()ln()ln()ln()nnmmnnmmmnmabnababab即()(

6、)nnmmmnabab评注： 利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形， 将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题， 其中关键是构造辅助函数， 如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子（本例经过转化后的不等式ln()ln()nnmmababnm的两边都是相同式子ln()xxabx的结构，所以可以构造辅助函数ln()( )xxabf xx） ，这样根据“相同结构”可以构造辅助函数。例 4 已知02，求证：tantan11tantan 分析：欲证tantan11tantan ，只需证tantantanta

7、n（不然没法构造辅助函无数） ，即tantan,tantan，则需证函数tan( ), ( )tanxf xg xxxx都在函数区间(0,)2上单调递增即可。证明：设tan( )xf xx，(0,)2x则2/222sectansin cos( )cosxxxxxxfxxxx由例 1 知，(0,)sinsin cossin cos02xxxxxxxx即/( )0fx ，所以tan( )xf xx在(0,)2上单调递增，而02所以tantan，即tantan，进而得到tan1tan 设( )tang xxx，(0,)2x则/2( )tansecgxxxx，又因为(0,)2x，所以/( )0gx ，

8、进而( )tang xxx在(0,)2上单调递增，而02所以tantan，即tantan，进而得到tan1tan综上所述tantan11tantan 三、同步练习题三、同步练习题1当1x时,求证:xx1322已知 a,b 为实数，并且 eab，其中 e 是自然对数的底，证明：baab3已知函数( )ln(1) 10 xf xexx（1）求函数( )f x的最小值；（2）若0yx，求证：1ln(1)ln(1)x yexy 4求证：()()eeeee参考答案：参考答案：1证明：无要证xx132，只要证) 1() 13(423xxx,即证23) 13(4xx, 0)(169423xfxxx则当1x时

9、，0) 1)(12(6) 132(6)( 3xxxxxf,), 1 ()(在xf上递增，0) 1 ()(fxf即0)(xf成立，原不等式得证2证明：当 eab 时， 要证baab， 只要证lnlnbaab,即只要证bbaalnln考虑函数)0(lnxxxy。因为当ex 时，, 0ln12xxy所以函数),(lnexxy在内是减函数因为 eab，所以bbaalnln，即得baab3 （1）最小值为 0（2）因为00yxxy，而由（1）知，对0 x ，恒有( )0f x ，所以不等式()0f xy恒成立即ln(1) 10 x yexy 所以1ln(1)x yexy 又因为ln(1)ln(1)(1)ln(1)ln(1)()ln(1)ln(1)ln(1)()0)xyyxyyxy xyyxyy xy所以1ln(1)ln(1)x yexy 证明：设ln()( )(0)xxef xxx，则2lnln()( )xxxxxxexeefxx2(ln)()l