圆与方程知识点总结典型例题

1、 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是. 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： a.点在圆 dr； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 dr (2). 给定点与圆.在圆在圆上在圆外（3）涉与最值：1 圆外一点，圆上一动点，讨论的最值2 圆一点，圆上一动点，讨论的最值思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）3. 圆的一般方程： .(1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.(2) 当时，方程表示一个点.(3) 当时，方程不表示任何图形.注：方程表示圆的充要条件是：且且.4. 直线与圆的位置关系

2、： 直线与圆 圆心到直线的距离1）；2）；3）；弦长|AB|=2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆与圆， 圆心距1 ；2 ；3 ；4 ；5 ； 外离 外切 相交 切 （2）两圆公共弦所在直线方程圆：， 圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：1 若与相切，则表示其中一条公切线方程；2 若与相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆：和：交点的圆系方程为（）补充：1 上述圆系不包括；2 2

3、）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）3 过直线与圆交点的圆系方程为6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即求解k，得到切线方程一定两解例1. 经过点P(1，2)点作圆(x+1)2+(y2)2=4的切线，则切线方程为 。(2) 过圆上一点的切线方程：圆(xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2特别地，过圆上一点的切线方程为.例2.经过点P(4，8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。7切点弦(1)过C

4、：外一点作C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：8. 切线长：若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=9. 圆心的三个重要几何性质：1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2 圆心在某一条弦的中垂线上；3 两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长与公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2 +y22x =0和圆C2：x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程与公共弦长。一、求圆的方程例1 (06卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )

5、(A)(B)(C)(D)二、位置关系问题例2 (06卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值围是( )(A)(B)(C)(D)三、切线问题例3 (06卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )(A)或(B)或(C)或(D)或四、弦长问题例4 (06卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则.五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)(B)(C)(D) 0六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率.七、最值问题例7 (06卷文) 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( )(

6、A) 30 (B) 18(C)(D)八、综合问题例8 (06卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率k取值围_圆的方程1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则t的取值围是A.1<t< B.1<t<C.<t<1 D.1<t<22. 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.3.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（ ）A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0D.D+E+F=04.（2

7、004年全国，8）在坐标平面，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条5. （2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kxy+4=0对称，则k=_.6.（2004年全国卷，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的 距离的最小值为_.7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系例1 求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例2 设圆方程为： 其中4 求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程；(1) 经过点，(2)经过点，(3)斜率为直线和圆1 自点（3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程