三角恒等变换基础

1、三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】简单的三角恒等变换三角恒等变换两角和与差的三角函数公式倍角公式【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式要点诠释：1公式的适用条件(定义域) ：前两个公式,对任意实数，都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式中2正向用公式,，能把和差角的弦函数表

2、示成单角，的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。考点二、二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：；。要点诠释：1在公式中，角没有限制，但公式中，只有当时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。3. 二倍角公式不仅限于2和的二倍的形式，其它如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幂公式：；.万

3、能公式：；.半角公式：；.其中根号的符号由所在的象限决定.要点诠释：(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定；(2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是3的半角，2可以看作是4的半角等等。(3)正切半角公式成立的条件是2k+(kZ)正切还有另外两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。考点四、三角形内角定理的变形由，知可得出：，.而，有：，.【典型例题】类型一：正用公式例1.已知:，求的值.【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时，.当在第一象限而在第三象限时，.当在第

4、二象限而在第二象限时，.当在第二象限而在第三象限时，.【点评】例1是对公式的正用当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：【变式1】已知，则.【答案】.【变式2】已知，则.【答案】【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.【答案】【解析】由韦达定理，得， ， .【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【解析】.选择(2)式计算如下.证明:例2已知，,，求的值.【思路点拨】注意到，将，看做一个整体来运用公式.【解析

5、】,，【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有, 等.2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【答案】【解析】由且是第二象限角，得， ，.【变式2】函数的最大值为（ ）A B C D【答案】C； 【解析】，.所以其最大值为2，故选C

6、.【变式3】已知【答案】【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系），【变式4】已知，求的值。【答案】【解析】， ， 。类型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）；（3）； （4）.【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式=；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【点评】把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. 举一反三：【变式1】化简.【答案】【变式2】已知，那么的值为（ ）A B C D【答案】A； 【解析】，.例4. 求值：（1）；（2）【思路点拨】要使能

7、利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.【解析】（1）原式=；（2）原式=【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2倍；最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。举一反三：【变式】求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=（2）类型三：变用公式例5求值：（1）；（2）【思路点拨】通过正切公式，注意到与之间的联系.【解析】（1），原式.（2），.【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进

8、行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.举一反三：【变式1】求值：=【答案】1【变式2】在中，,，试判断的形状.【答案】等腰三角形【解析】由已知得,即，又,故,故是顶角为的等腰三角形.类型四：三角函数式的化简与求值例6. 化简：（1）；(2）【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系，所以要用二倍角公式降次.【解析】（1）原式=（2）原式=【点评】三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）；（3）【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.【变式2】若，且，则_.【答案】由，得，.例7已知，且，求的值.【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.【解析】，而，故，又，故，从而，而，而，又，【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后