不等式推理与证明知识点

1、课题名称不等式教学目标同步教学知识内容1、 不等式的性质2、 一元二次不等式及其解法3、 二元一次不等式与平面区域4、 线性规划问题5、 基本不等式定理及重要的不等式6、 各类型不等式的解法个性化学习问题解决重视对基本定义、概念的理解，掌握基本的运算公式，掌握中等难度的常规题目的解题思路与方法并进行归纳总结。教学重点1、 线性规划问题的求解2、 基本不等式的灵活用3、 掌握各类型不等式的解法4、 不等式的证明教学难点线性规划问题的求解；灵活运用不等式的性质、基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一、基本知识点讲解1、实数、大小的比较：；比较两个数的大小可以用相减法、相除法、平方法、开

2、方法、倒数法等。2、不等式的性质：对称性传递性加法单调性乘法单调性；同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关系平方法则开方法则3、一元二次不等式及其解法：（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式。（2）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集4、线性规划问题：（1）二元一次不等式1定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式2二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组3二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和

3、的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合（2）在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点1若，则点在直线的上方2若，则点在直线的下方（3）在平面直角坐标系中，已知直线1若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域2若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域（4）线性规划相关概念线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或

4、最小值的可行解（5）解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。5、基本不等式（1）设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数（2）均值不等式： 若，则：（当且仅当a=b时取等号）注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针（3）基本不等式定理的形式1整式形式：；2根式形式：（，）a+b3分式形式：+2（a、b同号）4倒数形式：a>0a+2 ；a<0a+-2 （4）极值定理：设、都为正数，则有1若（和为定值），则当时，积取得最大

5、值2若（积为定值），则当时，和取得最小值（5）均值不等式的推广： 1若则（当仅当时等号成立）2公式：（仅当时取等号）平方平均算术平均几何平均调和平均（为正数）特别地，（当a = b时，） 36、不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：1正化：分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2标轴：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3穿线：根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。注：用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始特例一元一次不等式ax>b解的讨论；一元二次不等式ax2+bx

6、+c>0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则：；（3）无理不等式：转化为有理不等式求解或（4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；应用化归思想等价转化（7）含参不等式解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注:1,解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。2,按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集二、基础训练A1若b<0，ab>0，则ab的值()A大于0B小于0C等于0 D不能确定2已知Mx2y24x

7、2y，N5，若x2或y1，则()AM>NBM<NCMND不能确定3不等式(x2)(x3)>0的解集是()A(3,2)B(2，)C(，3)(2，)D(，2)(3，)4函数y的定义域为()Ax|x0Bx|x1Cx|x10Dx|0x15不论x为何值，二次三项式ax2bxc恒为正值的条件是()Aa>0，b24ac>0Ba>0，b24ac0Ca>0，b24ac<0 Da<0，b24ac<06下列命题中正确的是()A不等式x2>1的解集是x|x>±1B不等式44xx20的解集是RC不等式44xx20的解集是空集D不等式x22

8、axa>0的解集是R7若关于x的不等式2x1>a(x2)的解集是R，则实数a的取值范围是()Aa>2 Ba2Ca<2 Da不存在8已知点M(x0，y0)与点A(1,2)在直线l：3x2y80的两侧，则()A3x02y0>10B3x02y0<0C3x02y0>8D3x02y0<89不等式组，表示的平面区域的面积是()A2 B4C6 D810在直角坐标系内，满足不等式x2y20的点(x，y)的集合(用阴影表示)是()11一个两位数个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为_12已知x<1，则x22与3x的大小关系为_1

9、3设集合Ax|(x1)2<3x7，xR，则集合AZ中有_个元素14不等式>0的解集是_15原点O(0,0)与点集A(x，y)|x2y10，yx2,2xy50所表示的平面区域的位置关系是_，点M(1,1)与集合A的位置关系是_三、基础训练B1若，则等于（）A B C D2下列各对不等式中同解的是（）A与   B与C与          D与3若，则函数的值域是（） AB CD4设,则下列不等式中恒成立的是 ( )ABCD5如果实数满足,则有 ( )A最小值和最大值1 B最大值

10、1和最小值C最小值而无最大值D最大值1而无最小值6二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是 ( )ABCD7若方程有实根，则实数_；且实数_。8一个两位数的个位数字比十位数字大，若这个两位数小于，则这个两位数为_。9设函数，则的单调递减区间是。10当_时，函数有最_值，且最值是_。11若,用不等号从小到大连结起来为_。12解不等式（1）（2）13不等式的解集为,求实数的取值范围。14（1）求的最大值，使式中的、满足约束条件（2）求的最大值，使式中的、满足约束条件15已知，求证：四、综合训练1一元二次不等式的解集是，则的值是（）。A. B. C. D. 2设集合（）A BC D3关于的不等式的解集是 ( )ABCD4下列各函数中，最小值为的是 ( )AB，CD5如果,则的最大值是 ( )ABCD6已知函数的图象经过点和两点,若,