合肥工业大学计算方法复化梯形公式实验

1、计算方法实验报告学号姓名班级实验项目名称实验二数值积分一、实验名称实验二数值积分二、实验目的：(1) 熟悉复化梯形方法、复化Simps on方法、梯形递推算法、龙贝格算法；(2) 能编程实现复化梯形方法、复化Simps on方法、梯形递推算法、龙贝格算法；(3) 理解并掌握自适应算法和收敛加速算法的基本思想；(4) 分析实验结果体会各种方法的精确度，建立计算机求解定积分问题的感性认识二、实验内容及要求(1) 设计复化梯形公式求积算法，编制并调试相应的函数子程序(2) 设计复化辛浦生求积算法，编制并调试相应的函数子程序(3) 用龙贝格算法计算sindx0 x输入：积分区间，误差限输出：序列Tn,

2、 Sn, Cn,Rn及积分结果(参考书本P81的表2-5)取 n=2，4，8，16,精确解为 0.9460831四、实验原理及算法描述b在许多实际问题中，常常需要计算定积分f f (x)dx的值。根据微积分学基本定理，若被积函a数f(x)在区间a,b上连续，只要能找到f(x)的一个原函数 F(x)，便可利用牛顿-莱布尼兹公式bJ f (x) = F(b) F(a)求得积分值。a但是在实际使用中，往往遇到如下困难，而不能使用牛顿-莱布尼兹公式。(1) 找不到用初等函数表示的原函数(2) 虽然找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便计算(3) f(x)是由测量或计算得到的表格函数由于以上种种困难，有

3、必要研究积分的数值计算问题。bbb利用插值多项式Pn(x)務f(x)则积分J f(x)dx转化为J Pn(x)dx，显然易算。f Pn(x)dx称为Laa插值型求积公式。最简单的插值型求积公式是梯形公式和Simps on公式，。当求积结点提供较多，可以分段使用少结点的梯形公式和Simpson公式，并称为复化梯形公式、复化Simpson公式。如步长未知，可以通过误差限的控制用区间逐次分半的策略自动选取步长的方法称自适应算法。梯形递推公式给出了区间分半前后的递推关系。由梯形递推公式求得梯形序列，相邻序列值作线性组合得Simpson序列,Simpson序列作线性组合得柯特斯序列,柯特斯序列作线性组合

4、的龙贝格序列。若|R2-Ri| ,则输出R2;否则依此类推。如此加工数据的过程叫龙贝格算法，如下图所示：1 心复化梯形公式 Tn 二 hf(x0) 2、f(xk) f(xn)2 k -1n n j复化 Simpson 公式Sn二f(Xo)2、f(Xk)f(Xn)4、f(xJ6T h n -1Xk J2梯形递推公式T2n =nf(加权平均公式：4T2n_Tn = Sn414予7心40 G43 -1二 Rn龙贝格算法大大加快了误差收敛的速度，由梯形序列O(h2)提高到龙贝格序列的O(h8)22心五、程序代码及实验结果1. 主程序int mai n()/cout lo ngbeige(0, 1,0.

5、0000001);cout 请输入 你的区间 和 误差限度：” x y z;cout 根据龙贝格算法 求岀的精确值为：” Iongbeige(x, y, z) endl;cout K T S C R endl;cout 0 tix in g(0, 1, 1) endl;cout 1 tixing(0, 1,2) xingbusheng(0, 1, 1) endl;cout 2 tixing(0,1, 4) xingbusheng(0, 1, 2) (double (16/15)*xingbusheng(0, 1, 2) -(double (1/15)*xingbusheng(0, 1, 1)

6、endl;cout 3 tixing(0,1,8) xingbusheng(0,1,4) (double(16 / 15)*xingbusheng(0, 1,4) - (double(1 / 15)*xingbusheng(0, 1,2) longbeige(0, 1, 0.000000001)e ndl;cout 4 tixing(0, 1, 16) xingbusheng(0, 1,8) (double(16/ 15)* xingbusheng(0, 1,4) - (double(1 / 15)*xingbusheng(0, 1,2) longbeige(0, 1, 0.00000001)

7、 en dl;cout the result 4 is longbeige(0, 1, 0.00000001);return 0;2. 复化梯形公式子程序：double tix in g(double a, double b, int n) double fa = f(a);double fb = f(b);double h = (b-a) / n;double fxk = 0.0;for (i nt k = 1; k = n - 1; k+)double xk = a + k*h;fxk = f(xk) + fxk;double res = (h / 2.0)*(fa + 2.0*fxk +

8、 fb); return res;3. 复化辛浦生公式子程序：double xin gbushe ng(double a, double b, int n) double h = (b - a) / n;double fa = f(a);double fb = f(b);/double s = fb - fa;double x = a;double fxk12 = 0.0;double fxk = 0.0;/*for (int k = 1; k =n; k+) x = x + h / (2.0); double fx = f(x);s = s + 4.0*f(x);x = x + h / (2

9、.0);s = s + 2.0*f(x);s = (h / 6.0)*s;return s;*/for (int k = 0; k = n - 1; k+) double xk1 = a + k*h;x = xk1 + h / 2.0;fxk12 = fxk12 + f(x);for (i nt k = 1; k = n - 1; k+)double xk = a + k*h; fxk = fxk + f(xk);double s = (h / 6)*(fa + 4 * fxk12 + 2 * fxk + fb); return s;4. 龙贝格公式子程序：double Ion gbeige(

10、double a, double b, double wuchaxia n) double h = b - a;double T1 = (h / 2.0)*(f(a) + f(b);int k = 1;double S,x,T2,S2,S1=0,C1=0,C2,R1=0,R2;double Tck100,Sck100,Cck100,Rck100;Ioop1:S = 0;x = a + h / 2.0;while (x= wuchaxian) R1 = R2;C1 = C2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2; goto loop1;elsereturn R2;实验结果：C

11、:WifidowssysLtnB2crT d.exe劳请输入你的区问和误差限度：r 0 1 0.0000000000001卜根協龙贝格算法求出的精确直为：0. 946083 L-KTSCRTSCR00. 920735匚10. 9397930. 945146“ 120. 9445140. 9460870. 94608730.9456910. 9460830. 9460830.94608340. 9459850. 9460830. 9460830. 946083theresuIt 4is 0. 946083请按任意键继续.六、实验总结1. 梯形公式的收敛速度太慢，所以我们才会选择之后的几种公式加快收敛速度。2. 通过实