北师版九上数学知识点总结

1、一、平行四边形 1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是

2、平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah二、矩形 1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）矩形的对边平行且相等（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等且互相平分（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行

3、四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab三、菱形 1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行（2）菱形的相邻的角互补，对角相等（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半四、正

4、方形 （310分） 1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）正方形四条边都相等，对边平行（2）正方形的四个角都是直角 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=一元二次方程一、一元二次方程 （一）、一元二次方程

5、定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。当时，；当b<0时，方程没有实数根。2、配方法一般步骤：（1） 方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4） 配方，化成（5）开方。当时，；当b<0时，方程没有实数

6、根。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、因式分解法一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。补充：一元二次方程根的判别式 根的判别式1、定义：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式。2、性质：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根。补充：一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。反比例函数1、反比例函数的概念一般地如果两个变量x，y之间的关系可以表示为（k是常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式

7、也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。）2、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k>0k<0图象 yO x yOx性质x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值范围是x0， y的取值范围

8、是y0；当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。频率与概率概率的求法：（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A

9、）=（2）、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）树状图法 通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）二次函数二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 是二次函数的特例，此时常数b=c=0.在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。二次函数yax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。描述抛物线常从

10、开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。函数的增减性：A、 当a0时 B、当a0时当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）|a|的越

11、大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。二次函数的图象与yax2的图象的关系：的图象可以由yax2的图象平移得到，其步骤如下： 将配方成的形式；（其中h=，k=）；把抛物线向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；再把抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到的图象。二次函数的

12、性质：二次函数配方成则抛物线的对称轴：x=顶点坐标：（，）增减性： 若a>0，则当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，画二次函数的图象： 我们可以利用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法-五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：先找出顶点（，），画出对称轴x=；找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；把上述五点连成光滑的曲线。¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。¤解决最大（小）值问题的基本思路是：理解问题；分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；用数学的方式表示它们之间的关系；做数学求解；检验结果的合理性、拓展性等。二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二