优选优选考研数二真题及解析

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 y =1 n(1 +3),则 dy =.2(2) 曲线y的上凸区间是.3)X质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻t1 -秒到t2 = #7秒内质点所经过的路程等于(5)1 r 1 -ex hm01 x一0xex二、选择题(每小题3分，满分15分.每小题给岀的四个选项中 字母填在题后的括号内.),只有一项符合题目要求，把所选项前的(1)若曲线23y =x ax b和2-1 xy在点(1,1)处相切，其中a, b是常数，则()(A) a= 0,b = -2 (B)

2、a =1,b = -3(C) a-3,b = 1(D) a - -1,b - -1设函数x2 0兰x兰1f(x) =,记 F(x)2x,1 ex W2,x=j0 f(t)dt,0 兰 x 兰 2,则()0辽 x1(B)(A) F (x)T21 x22x ,1x233£F(x)二£,(C) F(x) =232xx2x ,1 ：x2 32设函数f (x)在内有定义，沧=0是函数f(x)的极大点，则()(A) x0必是f (x)的驻点(B) -x0必是- f (-X)的极小点27x22x ,1：x2623x亍2(D) F(x)=r1*2(C) _Xo必是-f (x)的极小点(D)

3、对一切x都有f(X)空f(Xo)曲线y =()(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5)如图，X轴上有一线密度为常数,长度为I的细杆，有一质量为 m的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为()(A):誥严(B)04dx0 (a -X)、? kmA2 ；(a x)2dx(D)22*dx0 (a +x)2三、(每小题5分，满分25分.)x =tcostd2y(1)设心曲求卅dx4计算 J x(1 x)求limX )0x - sin xx2(eX -1)(4)求 xsin2xdx.(5)求微分方程xy y = x

4、eX满足y(1) = 1的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当x 1时，有不等式ln(1 x) 匚 成立.ln x 1 + x五、(本题满分9分)求微分方程 严 严二x cosx的通解.六、(本题满分9分)曲线y = (x -1)(x -2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)x2x如图，A和D分别是曲线y = e和y = e 上的点，AB和DC均垂直x轴，且AB : DC =2:1 , AB cl,求点B和C的横坐标，使梯形ABCD的面积最大.1991年全国硕、填空题(i)【答案】八、(本题满分9分)设函数f(X)在(-3T.)3兀

5、计算 f (x)dx .)sin x ,且 f (x) = x, x 二0,二),壬一考试数学二试题解析(每小题3分，满分15 分In3-x dx3x 1【解析】由复合函数求导法则，即y = (f (x)的微分为dy二(f (x) f (x)dx ,有n3 (-1)dxln 3 ,【答案】('I【解析】求函数 y = f (x)的凹凸区间,只需求岀y”，若y：0,则函数图形为上凹，若丄2y “ : 0,则函数图形为上凸，由题可知xx dx. 1 1因为4e»0 ,所以当x20时y*0,函数图像上凸，即x2像上凸.故曲线上凸区间为 (- I, I).【答案】1【解析】用极限法求

6、广义积分x2x2 22 :：: x ：丄2时，函数图2 2y = -2e(-2x)e(_2x)=4e (x-lim (皿丄)1=1.b二 b bim如也b心b11【答案】-2【解析】这是定积分的应用设在t ' dt时刻的速度为t sin(t2),则在dt时间内的路程为ds =tsin(t2)dt,所以从时刻1 航 =_-cos(t2)2 苗（5）【答案】-1【解析】这是一个 1-型未定式，分子分母同乘以e 2 ,得Q01 11-e'e -1lim - = lim1x ）0x -0 'x exxe x 11 1为简化计算，令t,则x,原式可化为xt1 -te x 1e 1

7、01lim y lim t1.x0-t_. e 0 1xe x 11t二、选择题（每小题3分,满分15分.）（1）【答案】（D）【解析】两函数在某点处相切，则在该点处的切线的斜率相等，即在该点处的导数相等对两函数分别对 x求导,得y=2x，a,则该曲线在点（1,-1）处的导数为y心=2，a.2y 二y3 3xy2y ,即 y 二3y2 -3xy2,则曲线在点（1,-1）处的导数为两导数相等，有2 a =1,即a = -1.(-1)322 -3 1 (-1)又因为曲线 y =x2 ax b 过点（1,T）,所以有 一1 =1 a b =1 -1 b 二b,b 二-1. 所以选项（D）正确.【答案

8、】（B）【解析】这是分段函数求定积分.f (x) = x2,所以 F (x)=1x3当 1 ： x 空 2时，f （x） = 2 -x,所以1二11(cos二-cos)(-1-0)2 222 2x -1x2上1 +ex +1lim y = lim - = lim -71,所以y=1为水平渐近线.x讥：x亦：1 _eX讥：ex _1所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y = f (x)在其间断点x = x0处有lim f (x)=,则x = x0是函 -M。数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim_ f (x) = a,(a为常数)，则y = a为函数的水平渐近线 (5)【答案】(A

9、)【解析】如图建立坐标系，则X x dx中，dx长度的细杆的质量为 丄dx,与质点的距离为 a-x,0兰x兰13所以F(x)=彳32,应选(B).7x 2 ._2x ,1 ： x _ 2 62【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值，如f(x) = -X-1,在x0=1处取极大值，但是x0=1不是f ( X)- - x -1的驻点，所以(A)不正确；注意到极值的局部性，即极值不是最值，所以(D)也不正确；对于f(X)=-|X-1|,在X。=1处取极大值，但- X。- -1并非是-f(X)=|X-1|的极小值点，所 以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的，

10、因为X。= 0 ,不妨设Xo 0,则f(X。)为极大值，则在X。的某个领域内有f(Xo)f(X。_ ：X)；函数y二-f(-x)与函数y = f(x)关于原点对称，所以必有f (X。)： - f (-X。二' x),即在-x0的某个领域内- f ( -X。)为极小值，故(B)是正确的【答案】(D)【解析】函数的定义域为X =。，所以函数的间断点为 X =0,2 21+eex +1lim y = limr = lim 2,所以x =。为铅直渐近线x。'xt 1 _e xp ex _10 kmLdx'故选(A)-故两点间的引力为 dF二如2,积分得F(a x)同理应用微元法

11、可知，若以I的中点为原点,则质点的坐标为(a 丄,0),故212丄 l2 (a x)2-dx ；2若以I的左端点为原点，则质点的坐标为(a I,0),故Fl kmJ ,2 dx .(a l - x)故(B)、(C)、(D)均不正确，应选(A). 三、(每小题5分,满分25分.)(1)dydx【解析】这是个函数的参数方程_ dy / dt _ sin t tcost dx / dt cost -tsin t2 t2(cost -tsint)3【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:如果x(t),则屯= ly=d(t)dx収(t)【解析】用换元法求定积分令 t = x ,则 x 二 t2, dx

12、 二 2tdt ,则-ln1) =2ln 4 2【解析】利用等价无穷小和洛必达法则当Xr 0时，有sin xx,exL 1 x ,所以limH比才向于酸洛lim1x 0 x2(ex -1) x 0x3x 幻于=lim3x2x a2 x2sin 23x2=limx )0 3x【解析】用分部积分法求不定积分121小1x xsin 2x cos2x C .(5)【解析】所给方程是一阶线性方程ex.通解为1x1xx1xx(xde - C) (xe - e dx C) (xe -e C).X 'XLX1x _ 1代入初始条件y(1)=1得C=：1,所以特解为yex.x x【相关知识点】一阶线性非

13、齐次微分方程申 p(x)y =q(x)的通解为< P(x)dx( q(x)eP(x)dxdx C),其中 C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式，从中发现规律.当 x 1 时,原不等式即(1 x)ln(1 x) . xln x,即(1 x)ln(1 x) xln x . 0.证法一：令f (x) =(1 x)ln(1 x) - xln x ,则只需证明在 x 1时f (x) 0即可，可利用函数的单调性证明，对于f(x)有x +1 f (x)=ln(1 x) 1lnx1=ln( ).xX +1 因x 1,故1,即f (x) O所以在(1,七)上f(x)是严格递增函数，所以

14、xf (x) f (1)=2ln 20,故(1 x)ln(1x)-xlnx 0,所以当x 1时，有不等式ln(1 x) L 成立.ln x 1 + x证法二：当x 1时,原不等式即(1 x)l n(1 x) xl nx,不等式左右两端形式一致，故令f (x) = xln x ,则 f (x) = ln x 10(x1),所以 f ( x) = x ln x在 x 1 时严格单调递增，故f (x 1) f (x)，即(1 x)l n(1x) xl nx.所以当x 1时,有不等式ln(1 x) 二成立.ln x 1 +x五、(本题满分9分)【解析】微分方程 y ' y = x cosx对应

15、的齐次方程 y ： y = 0的特征方程为r 2 1 = 0 ,特征根为1,2 = ±i,故对应齐次通解为 G cosx +C2sin x .方程y y = x必有特解为Y1二ax，b ,代入方程可得a = 1,b = 0 .方程y ' y =cosx的右端 ex cos ： x二cosx，二 -1 = i为特征根，必有特解1 Y2 = x Acosx x Bsin x ,代入方程可得 A = 0, B2Y 由叠加原理，原方程必有特解 丫 =丫 +丫2 =x + _sin x.2、 1所以原方程的通解为y = G cosx C2sin x xxsin x.2【相关知识点】关于

16、微分方程特解的求法如果f(x)二Pm(x)ex,则二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)yq(x)y二f(x)具有形如y* =xkQm(x)eX的特解，其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式，而k按九不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、 1或2.如果f (x) =eXp(x)cosBx + Pn(x)sin bx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)y q(x)y = f (x)的特解可设为y* =xkeKRm)(x)coscox +瓷)(x)sin cox,其中Rm)(x)与R常(x)是m次多项式，m = max J, n?,而k按 r (或-i

17、)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法，曲线为一抛物线，与x轴的交点是 捲=1,一 31x2 = 2,顶点坐标为(一，).2 4方法一：考虑对x积分，如图中阴影部分绕 y轴旋转一周，环柱体的体积为2其中dx为dx； 0的高阶无穷小，故可省略，且y为负的，故 y = y,即 dV = 2兀xydx = -2兀x(x 1)(x 2)dx .把x从1-； 2积分得-_2=2-(0 丄)=42方法二：考虑对y的积分，如图中阴影部分绕 y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y轴旋转一周后的体积差，即其中，捲，x2为Y二y与抛

18、物线的交点，且x2x!,把丫 = y代入抛物线方程 y = (x - 1)(x - 2),解得3 - ；1 4y 3；1 4y人，X2022故旋转体体积为 V(x2 -x-i )dy.把x-i ,x2的值代入化简，得'4i 4 324V = ；3二.1 4ydy 斗 |(1 4y)2七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解C的横坐标分别为xi,x,因为I AB卜：1,所以Xi :： 0, x 0.依题设AB : DC= 2:1,所以有e51 =2e'x,两边同时取自然对数，得xln2-2x,而 BC=x-(ln2-2x)=3x-ln2,(x0),所以梯形ABCD的面积为S(ex e°x)(3x -In 2)=丄(2尹 e)(3x_l n2)(3x-l n2)e'x.2 2 23求函数S (3x - In 2)e'x,( x 0