位值原理与数的进制

1、目刚匸知识点拨一、位值原理本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。位值原理的定义： 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“ 2”，写在个位上，就表示 2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位值原理的表达形式：以六位数为例：abc

2、def axiOOOOO+b 10000+c 1000+d 1)0O+e W+f。、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：（100110）2=1 X25+0 X24+0 X23+1 X22+1 X21+0 X2°。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。n进制：n进制的运

3、算法则是“逢 n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。5-7位置原理与数的进制二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。教学目标进制间的转换：如右图所示。目|诫匸例题精讲模块一、位置原理【例1】 某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于 与的差;【巩固】ab与ba的差被9除，商等于 与的差;【巩固】ab与ba的和被11除，商等于 与的和。【例2】（美国小学数学奥林匹克）把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的

4、两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少?（这个数也叫原数的反序数 ），新数比原【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数 数大8802 .求原来的四位数.【巩固】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数， 我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为 9X9 + （9 + 9）= 99。可以证明，所有的巧数都是两位 数。请你写出所有的巧数。【例3】（第五届希望杯培训试题）有3个不同的数字，用它们组成 6个不同的三位数，如果这 6个三位 数的和是1554,那么这3个数字分别是多少？【巩固】（迎春杯决赛）有三个数字能组成 6个不同的三

5、位数，这 6个三位数的和是 2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数.【巩固】用1, 9, 7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少?【巩固】从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330,则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【巩固】a, b, c分别是0： 9中不同的数码，用 之和是2234,那么另一个三位数是几？a, b, c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数这个两位数就变成了三位数，有些两9倍。求出所有这样的三位数。【例4】 在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码,位数中间插入某个

6、数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑 上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换 所得的三位数。【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没 有0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大 4338 .求这个四位数.【例 5 】 已知 abed abc ab a 1370,求abed .【巩固】（2008年清华附中考题

7、）已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008,则所有这样的四位数之和为多少.【例6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3,则可得到一个四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于3600 .求原来的两位数.【巩固】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加A1111，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。【巩固】某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如abcdefg4，则七位数abedefg应是多少?【例7】 一个六位数abcdef ,如 果满足4 abcdef fabcde

8、 ,则 称abcdef为"迎春数”（例如4 102564 410256，贝U 102564就是“迎春数”）.请你求出所有“迎春数”的总和.【巩固】（2008年“华杯赛”决赛）设六位数abcdef满足fabcde f abcdef，请写出这样的六位数.【例8】记四位数abcd为X ,由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为X ,如果X X*999 ,那么这样的四位数 X共有个.【例9】将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数（4 3 2 124）.将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大

9、排列的第五个与第二十个的差在30004000之间.求这24个四位数中最大的那个.模块二、数的进制【例 10 】(101)2 (1011)2 (11011)2 ；(11000111)2 (10101)2 (112 ( ) 2 ；(3021)4(605) 7()10 ；(63121)8(1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)若(1030)n,140，则 n【巩固】567（)8 ()5()2 ；在八进制中，1234456 322；在九进制中，144383123 7120 11770 5766【例11】在几进制中有4 13100 ?【巩固】在几进制中有125 125 16324

10、?【巩固】算式1534 25 43214是几进制数的乘法?【例12】将二进制数2化为十进制数为多少?【巩固】二进制数01转化为8进制数是多少?【巩固】将二进制数.1011转换为十六进制数。【巩固】某数在三进制中为 0121121,则将其改写为九进制，其从左向右数第I位数字是几？【例13】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体?【例14】在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少【巩固】在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【巩固】一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄.【巩固】N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数 b,使得N是十进制整数的四次方.【例15】试求(2 2006-1)除以992的余数是多少？【巩固】计算(32