信息计算科学实验报告13p

1、实验报告专业：信息与计算科学、实验目的1、了解lagrange插值法的基本原理和方法;2、了解多项式拟合的基本原理和方法；3、了解数值积分的基本原理和方法；1、实验题目：实验三插值法与拟合实验年级：大三班级：ap08102 学号：ap0810227姓名：庞锦芬1插值效果比较:将区间【-5,5】10等分，对下列函数分别计算插值节点xk的值，进行不同类型的插值,作岀插值函数的图形并与y = f (x)的图形进行比较:f (x) = a r c t axnf(x)2x4 .1 x(1)做拉格朗日插值；2、拟合多项实验：给定数据如下表所示:实验四数值微积分实验复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要

2、求绝对误差为1、复化求积公式计算定积分：用复化梯形公式、；=0.5 10"，并将计算结果与精确解进行比较:/八 4(.23 x2 .(1) e x e dx，13(2)In6dx2 x _ 3三、实验原理(将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出。nPn(x)yklk(x)k=0拉个朗日插值原理：经过n 1个点(X0, y°),(X1,如)，(Xn,y，构造一个n次多项式，形 使得 Pn(xQ 二 yk (k= 0,1,2 ,n成立。为插值基其中函数。拟合多项式原理：假设给定数据点(xi,yi)(i=O,l,m),nPn(x)=无 akXk E 现求一k，使得mI 八Png

3、) - Yi 2i卫G为所有次数不超过n(n空m)的多项式构成的函数类,丁 丁k=Z Z akXi - Yi i：=0=0丿二 min(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式(1)的Pn(X)称为最小二乘拟合多项式特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然为a°,ai,缶的多元函数，因此上述问题即为求 极值的必要条件，得m n=2、(' akXk -Yi)Xij=O, a ji -o k o即n mmS (迟 XiHk)aZ XijYi,k =0 i =0i =01 = l(ao，ai,an)的极值 问题。由多元函数求j = 0,1, ,nj =0,1, ,

4、n(3)是关于a0,a1an的线性方程组，用矩阵表示为1mmm +1W XiznXii=0i=0mmmn*XiZ XiZ Xi2zi =0i-i =0ai=0ammm丁nZ Xi专1n.，.迟Xiz2nXii =0i =0i=0a1迟Yii=0m迟 XiYii=0mp n为 Xi Yii=0式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式(4)中解出ak(k=0,1,n)，从而可得多项式nPn(X)akXk心(5)可以证明，式(5)中的Pn(X)满足式(1)，即Pn(X)为所求的拟合多项式m迟【Png - Yi I'我们

5、把i凶称为最小二乘拟合多项式Pn(X)的平方误差，记作 由式可得2 mnm订 八 Yi2 八 akC XikYi)i =0k =0i =0(6)四、实验内容(列岀实验的实施方案、步骤、数据准备、算法流程图以及可能用到的实验设备(硬件和软件)。)实验步骤1、先编写好 matlabM文件，然后在命令窗口编辑程序并运行;2、运行，观察结果；3、根据运行结果进行结果分析。实验三各个实验在 matlab窗口输进的主要程序如下：拉格朗日插值：x=-5:1:5;y1=1./(1+x.A2);y2=ata n( x);y3=x.A2./(1+x.A4);L1=malagr(x,y1,x);L2=malagr(

6、x,y2,x);L3=malagr(x,y3,x);plot(x,y1,'r',x,y2,'g',x,y3,'b',x 丄 1,'rp',x, L2,'gd',x, L3,'b*');xlabel('x');ylabel('y');lege nd('y1','y2','y3','L1','L2','L3')拟合多项式：作三次多项式拟合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5

7、 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y1=mafit(x,y,3)作五次次多项式拟合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y2=mafit(x,y,5)求平方误差，作岀离散函数(xi，yj和拟合函数的图形，程序为：% san ci ni he duo xia ng shi de xi shux=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y2=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44

8、 0.54 4.55;y=mafit(x,y,3);p1=2.0000.*x.A3-0.0014.*x.A2-1.5007.*x+0.0514% san ci ni he duo xia ng shi de xi shux=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y2=mafit(x,y,5);p2=0.0120.*x.A5+0.0048.*x.A4+1.9650.*x.A3-0.0130.*x.A2-1.4820.*x+0.0545norm(p1-y)n orm(p2-y)plot(x,y, &

9、#39;s',x,p1,'d',x,p2,'p')xlabel('x');ylabel('y');legend('y' , 'p1', 'p2')% s fangxing; d lingxing; p wujiaox ing实验四复化求积公式计算定积分用复化梯形公式相关的程序和相关的注释如下：(1)% numericalintegrateformulation 1(1) f2=diff('2/3*xA3*exp(xA2)', 'x' ,2)对变

10、量x的二阶偏导数%f2=4*x*exp(xA2)+28/3*xA3*exp(xA2)+8/3*xA5*exp(xA2)=exp(xA2)*8/3*x(2*x+1)(x+3)x=2;a=4*x*exp(xA2)+28/3*xA3*exp(xA2)+8/3*xA5*exp(xA2)%求2 的函数值f=inline('1/12*hA2*(9.1725e+003)-0.5e-008', 'h' ); %复化梯形余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值fun=i nline('2/3.*x.A3*exp(x.A

11、2)')T=matrap(fu n,1,2 ,n)% T= 54.5979b=exp (4)% exp(4)= 54.5982(2)f2=diff( '2*x/(xA2-3)', 'x',2)% 求对变量 x 的二阶偏导数% f2 =-12/(xA2-3)A2*x+16*xA3/(xA2-3)A3x=2;a=-12/(xA2-3)A2*x+16*xA3/(xA2-3)A3%求f2 的函数值f=inline('1/12*hA2*104-0.5e-008', 'h' ); % 复化梯形余项减去误差h=fzero(f,0)%求满

12、足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值fun=i nline('2*x/(xA2-3)')T=matrap(fu n,2,3, n)% T= 1.7918b=log(6)% log(6)= 1.7918用复化辛普公式相关的程序和相关的注释如下：(1)%用复化辛普公式f2=diff( '2/3*xA3*exp(xA2)', 'x' ,4)%求对变量 x 的 4 阶偏导数%求%f2=80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp(xA2) x=4;a=80*x*ex

13、p(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp(xA2)f2的函数值f=inline('1/2880*hA4*(2.5431e+012)-0.5e-008', 'h' ); % 复化辛普余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值fun=i nline('2/3.*x.A3*exp(x.A2)')T=masimp(fu n,1,2, n)% T= 54.5864b=exp (4)% exp(4)= 54.5982%用复化辛普公式(2)f2=

14、diff( '2*x/(xA2-3)', 'x' ,4)%求对变量 x 的 4 阶偏导数% f2 =-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-3)A3*x+768*xA5/(xA2-3)A5x=4;a=-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-3)A3*x+768*xA5/(xA2-3)A5%求f2 的函数值f=i nline('1/12*hA2* 0.4039-0.5e-008','h');%复化辛普余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值fun=

15、in li ne('2*x/(xA2-3)')T=matrap(fu n,2,3, n)% T= 1.7915b=log (6)% log(6)= 1.7918用龙贝格公式相关的程序和相关的注释如下：(1) T仁maromb(inline('2./3*x.A3.*exp(x.A2)'),1,2,0.5e-008) b=exp(4)(2)T1=maromb(i nli ne('2*x./(x.A2-3)'),2,3,0.5e-008) b=log (6)五、实验结果(实验结果应包括试验的原始数据、 较为简单的结果可以与实验结果分析合并岀现。 实验三

16、中间结果及最终结果,)复杂的结果可以用表格或图形形式实现,拉格朗日插值：作三次多项式拟合结果为:y1 =2.0000-0.0014-1.50070.0514因此三次拟合函数为：p1=2.0000.*x.A3-0.0014.*x.A2-1.5007.*x+0.0514作五次多项式拟合结果为：y2 =0.01200.00481.9650-0.0130因此五次次拟合函数为：-1.48200.0545p2=0.0120.*x.A5+0.0048.*x.A4+1.9650.*x.A3-0.0130.*x.A2-1.4820.*x+0.0545求平方误差，作岀离散函数(xi, %)和拟合函数的图形，结果如

17、下:p1 =-4.4507-0.44930.55140.0514-0.44930.54934.5472p2 =-4.4505-0.44870.54650.0545-0.44350.54134.5496拟合函数图形：相关数据输出：ans =0.0136ans =0.0069由此可知道：三次拟合离散函数为：(-1.5 , -4.4507 ),( -1.0 , -0.4493 ),( -0.5 , 0.5514),( 0.0 , 0.0514 ),( 0.5 , -0.4493 ),(1.0 , 0.5493 ),( 1.5 , 4.5472 )三次拟合离散函数为：(-1.5 , -4.4505 )

18、,( -1.0 , -0.4487 ),( -0.5 , 0.5465),( 0.0 , 0.0545 ),( 0.5 , -0.4435 ),(1.0 , 0.5413 ),( 1.5 , 4.5496 )实验四求积公式计算定积分相关的结果：利用复化梯形公式：(1)f2=4*x*exp(xA2)+28/3*xA3*exp(xA2)+8/3*xA5*exp(xA2)a =9.1725e+003h =-2.5576e-006fun =In li ne fun cti on:fun(x) = 2/3.*x.A3*exp(x.A2)T =54.5979b =54.5982f2 =-12/(xA2-3

19、)A2*x+16*xA3/(xA2-3)A3a =104h =-2.4019e-005fun =In li ne fun cti on:fun(x) = 2*x/(xA2-3)T =1.6736b =1.7918用复化辛普公式相关的结果如下：(1)f2 =80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp(xA2)a =2.5431e+012h =-4.8781e-005fun =In li ne fun cti on:fun(x) = 2/3.*x.A3*exp(x.A2)T =54.5864b =54.5982(2)f2

20、=-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-3)A3*x+768*xA5/(xA2-3)A5a =0.4039h =-3.8542e-004fun =In li ne fun cti on:fun(x) = 2*x/(xA2-3)T =1.7915b =1.7918用龙贝格公式相关的结果如下(1)T =146.5012000000083.924363.065300000062.613255.509555.00580000056.653554.666954.610854.6045000055.115454.602754.598454.598254.598200054.727754.598454.5982