传热学第四章

1、第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法24-0 引言引言1 求解导热问题的三种基本方法求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；理论分析法；(2) 数数值计算值计算 法；法；(3) 实验法实验法 2 三种方法的基本求解过程三种方法的基本求解过程(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；论解；(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个

2、离数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；值解；第四章导热问题的数值解法33 三种方法的特点三种方法的特点(1) 分析法分析法 优点：优点：能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。较依据；分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。

3、 缺点：缺点： 局限性很大，对复杂的问题无法求解。局限性很大，对复杂的问题无法求解。(2) 数值法数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低验法相比成本低(3) 实验法实验法: 是传热学的基本研究方法，是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；适应性不好； b 费用昂贵费用昂贵2三种方法的基本求解过程三种方法的基本求解过程 (3) 实验法实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的实

4、验方法热过程所求量的实验方法第四章导热问题的数值解法4数值解法：数值解法：有限差分法（有限差分法（finite-difference）、）、 有限元法（有限元法（finite-element） 、 边界元法（边界元法（boundary- element）、）、 分子动力学模拟（分子动力学模拟（MD） 有限差分：有限差分：边界元法：边界元法：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解解 有限元法：有限元法：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用

5、在每个单将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。由度问题变成离散的有限自由度问题。是在微分方程中用是在微分方程中用差商代替偏导数差商代替偏导数，得到相应的，得到相应的差分方差分方程程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值，通过解差分方程得到微分方程解的近似值第四章导热问

6、题的数值解法54-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立1 物物理理问问题题的的数数值值求求解解过过程程建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否第四章导热问题的数值解法60tyf3thf2thf1thx二维矩形域内二维矩形域内稳态、无内热稳态、无内热源、常物性源、常物性的导热问题，可的导热问题，可以看做是温度沿以看

7、做是温度沿z轴方向不轴方向不发生变化。发生变化。(1) 控制方程及定解条件控制方程及定解条件0y2222txtLH边界条件：左侧 x=0, t=t0其它三边：第三类边界条件。7实现过程：实现过程：将研究区域分解成有限数量的小区域（单元），单元的顶点（或中心点）称作节点（结点），节点（结点），每个节点都有自己的控制区域，(2) 区域离散化区域离散化xynNM称作元体（控制容元体（控制容积）积），元体内所有特性都是均匀的，节点的温度代表每个控制容积的温度。第四章导热问题的数值解法8(m,n)xyxynNmM(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)节点：（节点：（m,n）空间步长：空

8、间步长： x，y当当 x=y均匀网格均匀网格单元，控制容积单元，控制容积（m，n）网格线：网格线： x，y任意任意节点之间的距离称为节点之间的连线称为控制容积的分界面称为第四章导热问题的数值解法9(3) 建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程-离散方程离散方程 当x= y时，(4) 设立迭代初场设立迭代初场代数方程的求解方法有直接解法和迭代法两大类。采用迭代法时要对被求解温度场预先假定个解，称为初场。(5) 求解代数方程组求解代数方程组方程个数: (M-1)N线性问题非线性问题第四章导热问题的数值解法10(6) 解的分析解的分析获得温度分布，进一步计算热流量，或根据温度计算热应力及热

9、变形等。本章重点讨论如何建立离散方程组，以及如何解离散方程组。第四章导热问题的数值解法11建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）级数展开法；（泰勒）级数展开法；(2) 多项式拟合法；多项式拟合法；(3) 控制容积积分法；控制容积积分法；(4) 热平衡法热平衡法如果f(x)在点x=x0具有任意阶导数，则第四章导热问题的数值解法12(1) 泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点( (m,nm,n) )的温度的温度t tm,nm,n来表示节点来表示节点( (m+1,nm+1,n) )的温度的温度t tm+1,nm+1,n

10、用节点用节点(m,n)(m,n)的温度的温度t tm,n m,n 来表示节点来表示节点(m-1,n)(m-1,n)的的温度温度t tm-1,nm-1,n! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm4-2 内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的建立方法(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)第四章导热问题的数值解法13将二式相加，整理即得二阶导数的中心差分：将二式相加，整理即得二阶导数的中心差分：同样可得：同样可得：)(222, 1, 1,22xoxtttxtn

11、mnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截断误差截断误差未明确写出的级数余项未明确写出的级数余项中的中的x x的最低阶数为的最低阶数为2 2(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)第四章导热问题的数值解法14 对于二维稳态、没有内热源导热问题，在直角坐标中，对于二维稳态、没有内热源导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：其导热微分方程为：其节点方程为：其节点方程为：(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)02221,1,2, 1, 1mytttxttmtnmnmnmnmnmn02222ytxt当当x = y，得得

12、 ,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt第四章导热问题的数值解法15(2) 热平衡法热平衡法基本思想：基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，依据能量守恒和而获得温度场的代数方程组，依据能量守恒和Fourier导热导热定律即可。定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的总热流量控制体内能的增量即：即： ovivoi)(稳态、无内热源时：稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热量从所有方

13、向流入控制体的总热量016内部节点：内部节点：0右左下上xyxynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)xttynmnm, 1左xttynmnm, 1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下0,1,1, 1, 1yttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnm第四章导热问题的数值解法17(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)yx04,1,1, 1, 1nmnmnmnmnmttttt1,1, 1, 1,4nmnmnmnmnmttttt可见，物体内每一个节点温度都等于相可见，物体内每一个节点温度都等于相邻邻4 4个

14、节点温度的算术平均值。个节点温度的算术平均值。 02221,1,2, 1, 1mytttxttmtnmnmnmnmnmn第四章导热问题的数值解法18xtttttnmnmnmnmnm21,1,1,1,4重要说明：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度或热流密度)前的前的系数。系数。0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnm有内热源时：有内热源时：yx第四章

15、导热问题的数值解法194-3 4-3 边界节点离散方程的建立及代数边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解方程的求解对于对于第一类边界条件第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于而对于第二类边界条件第二类边界条件或或第三类边界条件第三类边界条件的热传导问题，的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界

16、节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。能求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用密度表达式。用 表示内热源强度。表示内热源强度。第四章导热问题的数值解法201.1.边界节点离散方程的建立：边界节点离散方程的建立：(1) 平直边界上的节点平直边界上的节点qwxyxynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)h,tf由能量守恒：由能量守恒：净

17、导入（净导入（m,n）单元体热量）单元体热量对流流入（对流流入（m,n）单元热量）单元热量+ =00222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm第四章导热问题的数值解法21(2) 外部角点外部角点2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxxyxynm(m,n)(m,n-1)(m-1,n)h,tf第四章导热问题的数值解法22(3) 内部角点内部角点)22322(6122, 11,1, 1,wnmnmnmnmn

18、mqxxttttt0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxxyxynm(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)(m,n+1)(m,n)h,tf第四章导热问题的数值解法23讨论讨论 qw的情况：的情况：(1) 第二类边界条件：将第二类边界条件：将 ，带入上面各式即可，带入上面各式即可 绝热或对称边界条件？绝热或对称边界条件？(2)第三类边界条件：将第三类边界条件：将 ，带入上面各式，带入上面各式，即可分别得到平直边界、外部角点和内部角点第三类边界即可分别得到平直边界、外部角点和内部角点第三类边界条件下的离散方程条

19、件下的离散方程4-7、4-8和和4-9。constqw)(,nmfwtthq(3) qw)(4,4nmfwTTq为其他边界条件为其他边界条件引入以网格步长为特征长度的网格引入以网格步长为特征长度的网格Bi数：数：xhBi第四章导热问题的数值解法241、导热数值解法的重要意义2、导热数值解法的基本思想3、网格划分（区域离散）的过程及涉及的基本概念4、代数方程（离散方程）的建立方法和过程第四章导热问题的数值解法254-3-3 一维无限大平板、稳态、常物性、无内热源、左侧第一类边条，右侧第三类，如右图所示，将其均匀分成三个控制体，试建立离散方程1321223433441:2:03:04:()0wtt

20、ttttxxttttxxtth ttx边界节点1234twth内部节点内部节点边界节点第四章导热问题的数值解法26形成如下代数方程组：11 112 21121 122 2221 12 2.n nn nnnnn nna ta ta tba ta ta tba ta ta tb代数方程组的通用形式为：ATb23234342:23:204:()wttttttth thtxx23421012100wtttxxhhtt 第四章导热问题的数值解法272.2.节点方程组的求解节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，个未知节点温度，n个代数

21、方程式：个代数方程式：代数方程组的求解方法：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法1112 211111j jn ntba ta ta ta2221 122221j jn ntba ta ta ta1 1(1)11nnnnj jn nnnntba ta tata第四章导热问题的数值解法28直接解法：直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。断予

22、以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。称迭代计算已经收敛。缺点：缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）地不断更新）迭代解法有多种：迭代解法有多种：简单迭代（简单迭代（Jacobi迭代）、高斯迭代）、高斯-赛德尔赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯高斯-赛德尔

23、迭代的特点：赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最每次迭代时总是使用节点温度的最新值新值第四章导热问题的数值解法2911000112 211111jnjntba ta ta ta21110022122221jnjntba ta ta ta1111111(1)1njnnnnjn nnntba ta tata 第四章导热问题的数值解法30判断迭代是否收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：)(max)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk及及k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)ma

24、xt当有接近于零的当有接近于零的t 时，第三个较好时，第三个较好36 1010 允许的偏差；相对偏差 值一般取31判断迭代能否收敛的判据：判断迭代能否收敛的判据：对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛对角占优。11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb1112 213 3112221 123 3223331 132 2331()1()1()tba ta tatba ta tatba ta

25、 ta1213111aaa2123221aaa3132331aaa第四章导热问题的数值解法32图中给出了二维、稳态、常物性条件下导热问题的部分图中给出了二维、稳态、常物性条件下导热问题的部分离散网格，离散网格， x = y，环境温度环境温度tf ，对流换热系数，对流换热系数h，导，导热系数热系数，均匀分布的内热源为，均匀分布的内热源为 。参考图中给定符号，。参考图中给定符号，推导节点（推导节点（m，n）的离散方程。）的离散方程。In-Class Problems(m,n)(m+1,n)tf hxy(m,n+1)(m,n-1)334-3 4-3 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法非

26、稳态导热与稳态导热的主要区别：温度不仅随非稳态导热与稳态导热的主要区别：温度不仅随空间变化，还随时间变化，控制方程中多一个非空间变化，还随时间变化，控制方程中多一个非稳态项稳态项zg右左下上z非稳态项非稳态项热源项热源项能量平衡特点：能量平衡特点：网格单元不仅与相邻的网格单网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的导入或导出，元之间有热量的导入或导出，单元本身的热力单元本身的热力学能也随时间发生变化学能也随时间发生变化扩散项扩散项第四章导热问题的数值解法34一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题1.离散方程的建立过程离散方程的建立过程空间和时间的离散化空间和

27、时间的离散化时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔 称为时间称为时间步长步长xm-1, m, m+1 M0n+1nn-1xxxiInN(n,i )(n,i+1)(n,i-1)(n+1,i )(n-1,i )第四章导热问题的数值解法352. 建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程将温度t在节点(n,i+1)对(n,i)作泰勒展开 22(1)( )2,2!nniin in itttt )(in1ini ,nottt）（）（,n it( )(1),nniin ittt类似地类似地,叫做叫做 的向后差分的向后差分.(1)(1),2nniin ittt叫做

28、叫做 的中心差分的中心差分.,n it叫做叫做 的向前差分的向前差分.,n it)(in1ini ,nottt）（）（第四章导热问题的数值解法36一维平板非稳态导热的数学描写：一维平板非稳态导热的数学描写：导热微分方程：导热微分方程：初始条件初始条件:边界条件：边界条件：xtat22)0,x0(0tt04.4.2 一维平板非稳态导热的显式格式一维平板非稳态导热的显式格式0 x0 xt()fth ttxx温度关于空间坐标的偏导数的差分格式)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm37扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分： 21112xtttattininininin为为“显式差

29、分格式显式差分格式”一旦一旦i时层上个节点的温度已知，时层上个节点的温度已知，可立即算出（可立即算出（i+1）时层上个内点温度，不必求解联立方程）时层上个内点温度，不必求解联立方程式。式。其优点是计算工作量小其优点是计算工作量小缺点是对时间步长及空间步长有一点限制缺点是对时间步长及空间步长有一点限制xi+1inn+1n-1第四章导热问题的数值解法38若非稳态项选前差格式，扩散项选（若非稳态项选前差格式，扩散项选（i+1）层中心差分）层中心差分 21111112xtttattininininin隐式格式的缺点是计算工作量大隐式格式的缺点是计算工作量大优点是对步长没限制，优点是对步长没限制，不会出

30、现解的震荡现象不会出现解的震荡现象上式中，已知的是上式中，已知的是i时层的值时层的值 ，未知量有，未知量有3个：个：)(int)1(1)1(1)1(,inininttt因此，不能直接由上式立即算出因此，不能直接由上式立即算出 之值，而必须求解（之值，而必须求解（i+1）时层的）时层的一个联立方程才能得出（一个联立方程才能得出（i+1）时层个点温度；）时层个点温度；称为隐式差分称为隐式差分)1( intxi+1inn+1n-1第四章导热问题的数值解法39热平衡法热平衡法1 假设温度分布线型 温度的阶梯型分布如右图所示，即温度的分布是跳跃的，并不是连续的。t 1ii)(it) 1( it阶梯分布(

31、1)( )1iiinnttc xt 1ii)(it) 1( it阶梯分布显示格式zg能量守恒：非稳态项：( )( )( )( )111iiiiinnnnzttttxx扩散项：如果温度按左图的方式阶跃第四章导热问题的数值解法40 xi+1inn+1n-1源项：11 1iiivnnxx 守恒方程：(1)( )( )( )( )( )11iiiiiiinnnnnnnttttttc xxxx 离散方程：111ivizi 11122+iiiiiinnnnnntttttaxc第四章导热问题的数值解法41(1)( )( )( )111 2iiiiinnnnntFottFotcFoxaxc22以网格尺寸 为特征尺度的Fo 数x显式格式1(1)(1)1 1iiivnnxx 扩散项：(1)(1)(1)(1)111iiiiinnnnzttttxx源项：t1ii)(it) 1( it阶梯分布隐式格式如果温度按右图的方式阶跃第四章导热问题的数值解法(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)11iiiiiiinnnnnnnttttttxc