初中数学人教版九年级下册余弦和正切3

1、三角函数的起源· 所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特徵，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，尤拉发表著名的无穷小分析引论一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比值(如图八)，sinMP/OP

2、，cosOM/OP，tan MP/OM等。若令半径为单位长，那麼所有的六个三角函数又可大为简化。三角学问题的提出三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来

3、反映的(如图一)；角度(ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎麼样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题制造弦表。所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表 (如图二)，AC的长度与ABC的大小之间的对应关系。独立三角学的产生虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。雷基奥蒙坦纳斯是十

4、五世纪最有声望的德国数学家约翰�谬勒的笔名。他生於哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了论各种三角形。在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支。现代三角学的确认直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特徵，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与

5、角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，尤拉发表著名的无穷小分析引论一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比值(如图八)，sinMP/OP，cosOM/OP，tan MP/OM等。若令半径为单位长，那麼所有的六个三角函数又可大为简化。尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代

6、特徵的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。“正弦”的由来公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由於印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密

7、和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与AOC对应(如图五 )，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。三角学输入我国，开始於明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编大测，作为历书的一部份呈献给朝廷

8、，这是我国第一部编译的三角学。在大测中，首先将sinus译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了正弦一词的由来。“弦表”问世根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，AC，AC之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus，约前180前125)不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长(如图三)。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，现在我们所知关於希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著

9、天文集中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为现在角和时间的度 量上”分”和”秒”这两个单位得起源。建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先著手计算一

10、些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60o弧(1/6圆周长)所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60o弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的1/60为一个单位)；用同样的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接著就利用现在所称的”拖勒密定理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基於这样一种几何上的推算。他们终於造出了世界上第一张弦表。希伯诸斯据说曾编著了三角学起源于古希腊。为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角

11、关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上应用的目的。16世纪法国数学家韦达系统地研究了平面三角。他出版了应用于三角形的数学定律的书。此后，平面三角从天文学中分离出来，成了一个独立的分支。平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程。三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的周髀算经就有较详细的说明，例如它的首章记录“周公曰，大哉言数，请问用矩之道。商高曰，平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远。”（商高说的矩就是

12、今天工人用的两边互相垂直的曲尺，商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度）1世纪时的九章算术中有专门研究测量问题的篇章第一个三角函数表， 编辑本段三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品例如，古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著球面学，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著天文学大成，初步发展了三

13、角学而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505587年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分直到纳西尔丁（Nasir edDin al Tusi，12011274年）的横截线原理书才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J Regiomontanus，14361476年）。?雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的论各种三角形

14、。这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。?雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对 16 世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响?三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（BPitiscus，15611613年），他在1595年出版的三角学：解三角形的简明处理中创造这个词其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的?16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（GJRhetucu s，1514