异面直线所成角的几种求法

1、PiSGH=,6a4（作直线 GQ/BC交BBi于点Q,HS=a （连AiS，可知 HAiS为直角三角形）GS=（作直线 GP交BC于点P,连PD，可知四边形 GPDS为直角梯形）4i Cos/ GHS=。6所以直线AiE与直线BiF所成的角的余弦值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点,BC为x轴，BA为y轴,BBi为z轴，设BC长度为2。异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小， 是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定

2、义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后 在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。、向量法求异面直线所成的角例1 :如图，在正方体 ABCD-A iBiCiDi中，E、F分别是相邻两侧面 BCCiBi及CDDQi 的中心。求 AiE和BiF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线 到某个点上。作法：连结BiE，取BiE中点G及AiBi中点H， 连结GH，有GH/A iE。过F作CD的平行线RS, 分另

3、U交CCi、DDi于点R、S,连结SH，连结GS。 由 BiH/CiDi/FS, BiH=FS，可得 BiF/SH。在厶GHS中，设正方体边长为 a。连QH，可知 GQH为直角三角形）第i页共4页则点Ai的坐标为（0, 2, 2）,点E的坐标为（1 , 0, 1）, 点Bi的坐标为（0, 0, 2），点F的坐标为（2, 1 , 1）;所以向量EA的坐标为（-1 , 2, 1）,向量B1F的坐标为（2, 1, -1）,所以这两个向量的夹角0满足EA1 B1F(1)x2+2x1+1x(1)1cos 0 =-I EA1 | | B1F |(-1)2(2)22(2)2 (1)2(-1)261所以直线A

4、1E与直线B1F所成的角的余弦值为 一6小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当 然,如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体， 或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系， 从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质， 我们也可以利用空间向量基本

5、定理，寻找空间的一组基底 （即三个不共面的向量， 且这三个向量两两之间的 夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也 可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例2 :已知空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M、N分别为BC和 AD的中点，设 AM和CN所成的角为a，求cos a的值。.A解：由已知得，空间向量 AB , AC , AD不共面，且两两之间的夹角均为 60°。由向量的加法可以得到1 一 一 一 1 一 一AM = （ AB +AC ）, NC = AD + AC2 2的补角）所以向量AM与向量

6、NC的夹角0 （即角a或者aAM NC满足cos 0 =，其中|AM I I NCI11 -AM NC=( AB+ AC ) (- AD + AC )22AC +AC AC )11 一 一 一 1 -=( AB AD +AB AC+ ( AD ) 22 212/11112= a+1) =_a ;24242第2页共4页2 11 一 12 32| AM | =( AB + AC ) ( AB + AC ) = (1+1+1) a = a ;2244211112 32| NC | = ( AD + AC ) ( AD + AC ) =+1 a = a °224242 所以 COS a =|

7、 COS 0 |=。3FGFGDC内的一条直线b与2P久所以AO所以BMCDOB/b过点 可知设向量BA和CD的夹角为02, EF=且 BE: EC=AF : FD=10 1叫做第3页共4页0 2BE解：取AC上点G 可知 EG/AB , FG/CD求AB和CD所成的角的大小。线线角是这三个角中最大的一个角。b所成的角，即引理中的角0。从引理中可 b以及b在a内的射影。且 MA=AB=a，试求异面使 AG : GC=1 : 2。连结 EG3EG=2AB , 3FG=CD。这一问题中，直线 a和b可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把 线面角，0叫做线线角，0 2叫做线影角。很明显 我们可

8、以利用这个模型来求两条异面直线a和以看出，我们需要过 a的一个平面a，以及该平面的一条斜线例4:如图，MA丄平面ABCD，四边形 ABCD是正方形， 直线MB与AC所成的角2 1 -由向量的知识可知 EF = EG+GF =-BA+CD 33证明：设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影，如图所示。则/ PAO= 0 i,/ PAB= 0，/ OAB= O在平面a内作OB丄AB，垂足为B,连结PB。PB 丄 AB。A OA A AB A ABCOS0 1=, COS0 =, cos 0 2=PAPAOA /COS0 = COS 0 1 COS0 2。".2 * 1 -2 1 -则由

9、| EF |2= ( BA+ CD ) ( BA+ CD ) =4+1+4cos 0 =7,33331 得COS0 =，所以AB和CD所成的角为60 °。2二、利用模型求异面直线所成的角引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为0 1,平面a斜线a所成的角为0，与它的射影a'所成的角为0 2。求证：cos0 = cos0 1 cos0例3 :已知空间四边形 ABCD中，AB=CD=3 , E、F分别是BC、AD上的点,解：由图可知，直线 MB在平面ABCD内的射影为 AB ,直线MB与平面ABCD所成的角为45 °,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°,所以直线AC与直MB所成的角为0，满足1cos 0 =cos45 cos45 =,2所以直线AC与MB所成的角为60 °。例5:如图，在立体图形 P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，/ BAD=90AD/BC , AB=BC=a , AD=2a , 且 PA丄底求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作的平行线EF交AD于F, 由PA丄底面 ABCD可知，直线 AE在平面 ABCD内的射影为AD ,cos 0 =cos60°cos45°所以其大小为arC直线AE与平面ABCD所成