数学教案－和圆有关的比例线段

1、数学教案和圆有关的比例线段教学建议 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明 难点：正确地写出定理中的等积式因为图形中的线段较多，学生容易混淆 2、教学建议 本节内容需要三个课时第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3 （1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；

2、（2）在教学中，引导学生“观察猜想证明应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动第1课时：相交弦定理 教学目标： 1理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算； 2学会作两条已知线段的比例中项； 3通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神； 4通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法 教学重点： 正确理解相交弦定理及其推论 教学难点： 在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写

3、出定理 教学活动设计 （一）设置学习情境 1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动） 引导学生观察图形，发现规律：AD，CB 进一步得出：APCDPB 如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么? 组织学生观察，并回答 2、证明： 已知：弦AB和CD交于O内一点P 求证：PA·PBPC·PD （A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成） （证明略） （二）定理及推论 1、相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：

4、在O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PBPC·PD 2、从一般到特殊，发现结论 对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且ABCD于P 提问：根据相交弦定理，能得到什么结论? 指出：PC2PA·PB 请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确教师纠正，并板书 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2PA·PB 若

5、再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有： PC2PA·PB ；AC2AP·AB；CB2BP·AB （三）应用、反思 例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长 引导学生根据题意列出方程并求出相应的解 例2 已知：线段a，b 求作：线段c，使c2ab 分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段 作法：口述作法 反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当

6、作基本作图加以应用同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图 练习1 如图，AP2厘米，PB25厘米，CP1厘米，求CD 变式练习：若AP2厘米，PB25厘米，CP，DP的长度皆为整数那么CD的长度是 多少? 将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣 练习2 如图，CD是O的直径，ABCD，垂足为P，AP4厘米，PD2厘米求PO的长 练习3 如图：在O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交O于C 求证：PC2PA·PB 引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交O于D，于是有PC·PDPA·PB又根据条

7、件OPPC易 证得PCPD问题得证 （四）小结 知识：相交弦定理及其推论； 能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力； 思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法 （五）作业 教材P132中 9，10；P134中B组4(1)第2课时 切割线定理 教学目标： 1掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明； 2掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力 3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点 教学重点： 理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理 教学难点： 定理的灵活

8、运用以及定理与推论问的内在联系是难点 教学活动设计 （一）提出问题 1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1) 当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？ 2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB 3、证明： 让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想 分析：要证PT2=PA·PB， 可以证明

9、，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB(图3)容易证明PTA=B又P=P，因此BPTTPA，于是问题可证 4、引导学生用语言表达上述结论 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 （二）切割线定理的推论 1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系? 观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD 2、组织学生用多种方法证明： 方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此

10、可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明PAC=D，P=P，因此PACPDB (如图4) 方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB容易证明B=D，又P=P 因此PADPCB(如图5) 方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PDPA·PB=PC·PD 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每

11、条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（也叫做割线定理） （三）初步应用 例1 已知：如图6，O的割线PAB交O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求O的半径 分析：由于PO既不是O的切线也不是割线，故须将PO延长交O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解 （解略）教师示范解题 例2 已知如图7，线段AB和O交于点C，D，ACBD，AE，BF分别切O于点E，F， 求证：AEBF 分析：要证明的两条线段AE，BF均与O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且ACBD，ADBC 因此它们的积相等，问题得证 学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2AC·CD和BF2BD·DC等 巩固练习：P128练习1、2题 （四）小结 知识：切割线定理及推论； 能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式； 方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握 （五）作业教材P132中，11、12题探究活动最佳射门位置 国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳