概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布

1、精选优质文档-倾情为你奉上6.1 随机样本一、总体与样本1.总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。2.样本：来自总体的部分个体X1， ，Xn，如果满足：（1）同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：X1，Xn相互独立； 则称为容量为n的简单随机样本，简称样本。而称X1，Xn的一次实现为样本观察值，记为x1，xn来自总体X的随机样本X1， ，Xn可记为显然，样本联合分布函数或密度函数为或3.总体、样本、样本观察值的关系统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者

2、的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。二、统计量定义：称样本X1，Xn的函数g(X1，Xn)是总体X的一个统计量,如果g(X1，Xn )不含未知参数。几个常用的统计量 ： 3.样本k阶矩6.2 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：c2分布、 t 分布和F分布。 一、c2分布2.c2分布的密度函数f(y)曲线3.分位点 设X c2(n)，若对于a：0a1， 存在 满足则称为分布的上a分位点。4.性质：a.分布可加性:若Xc2(n1)，Yc2(n2)，X，Y独立，则X+Yc2(n1+n2 )b.期望与方

3、差:若Xc2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n二、t分布1.构造 若XN(0, 1), Yc2(n), X与Y独立，则t(n)称为自由度为n的t分布。t(n) 的概率密度为2.基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即 3.分位点设Tt(n)，若对a:0a0， 满足PTta(n)=a，则称ta(n)为t(n)的上侧分位点注: 三、F分布1.构造 若h1 c2(n1)， h2c2(n2)，h1， h2独立，则称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为2. F分布的分位点对于a：0a0，满足PFFa(n1, n2

4、)=a， 则称Fa(n1, n2)为F(n1, n2)的上侧a分位点；注：6.3 正态总体的抽样分布定理证明: ,n 个独立的正态随机变量的线性组合,服从正态分布(3)证明:, 且U与V独立,根据t分布的构造,得证!第六章练习题一、选择题1.设总体XN(, 2),x1, x2, , xn是总体X的样本，下列结论不正确的是（ ）（A）x-/nN(0,1)；（B）12i=1n(xi-)2x2(n-1)；（C）x-s/nt(n-1)；（D）12i=1n(xi-x)2x2(n-1)2.设x是来自总体N(1,12)的容量为m的样本的样本均值，Y是来自总体N(2,22)的容量为n的样本的样本均值，两个总体

5、相互独立，则下列结论正确的是（ ）（A）X-YN(1-2, 12m-22n)；（B）X+YN(1-2, 12m-22n)；（C）X+YN(1-2, 12m+22n)；（D）X-YN(1-2, 12m+22n)3.设总体XN(, 2),x1, x2, , xn是来自总体X的样本，则Px-/nu0.025= （ ）（A）0.975； （B）0.025；（C）0.95； （D）0.054.设x1, x2, , xn是来自总体XN(0,1)的样本, X,S为均值和标准差,则（ ）(A) XN(0,1) (B)n XN(0,1)(C) i=1nxi2x2(n) (D) xst(n-1) 5.设样本x1,

6、 x2, , x9来自总体XN(1,9),则（ ）(A) x-13N(0,1) (B) X-1N(0,1).(C) x-19N(0,1). (D) x-13 N(0,1) 6.设x1, x2, , xn是来自总体XN(0,1)的样本，则服从x2(n-1)的是（ ）(A) i=1nxi2. (B) s2.(C)(n-1) X2. (D)(n-1) s2.8.设x1, x2, , xn为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为2的泊松分布，则当n充分大时，随机变量X的概率分布近似服从（ ）(A)N(2, 2n). (B)N(2, 4n).(C)N(2,4). (D)N(2n,2).9.设总体XB(

7、1,p), x1, x2, , xn是来自总体X的样本，X为样本均值，则P X = kn =（ ）(A)P. (B) pk(1-p)n-k.(C) Cnkpk(1-p)n-k. (D)Cnk(1-p)kpn-k. 10.设Xt(n)(n1),Y=1x2，则（ ）(A)Yx2(n) (B)Yx2(n-1)(C)YF(n,1) (D)YF(1,n)11.设总体XN(, 2), x1, x2, , xn是来自总体X的样本，X,S为样本均值和标准差，则（ ）(A)E(X2- s2)= 2-2 (B)E(X2+ s2)= 2+2 (C)E(X2- s2)= - 2 (D)E(X2- s2)= +2 12

8、.设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（ ）成立。(A)X+Y服从正态分布(B)X+Y服从c2分布(C)X和Y都服从c2分布(D)X/Y服从F分布二、填空题1设总体XN(, 2), x1, x2, , xn是来自总体X的样本，E(X)则X ，E(X)= ，D(X)= 2设总体Xx2(n), x1, x2, , xn是来自总体X的样本，则E(X)= ，D(X)= ，E(X)= ，D(X)= 3.设x1, x2, , xn为来自总体X的样本,E(X)=,D(X)=9, X为样本均值, 试用切比雪夫不等式估计Px-2 , Px-3 .4.设x1, x2, , x5是总体XN(0,1)的样本，则当K

9、= 时，Y=k(x1+x2)x32+x42+x52t(3) 5若总体XN(0,1)，x1, x2, , x6是来自X的样本，统计量Y=(x1+x2+x3)2+(x4+x5+x6)2，则当C= 时，CY服从x2分布，自由度为 .三、计算题1.某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取出16只，设它们的寿命相互独立，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率2.求总体N(20,3)的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率3.设总体X的数学期望E(X)=，方差D(X)= 2 ,x1, x2, , xn是来自总体X的样本，记Y=1ni=1n(xi-)2，求E(Y)4.设x1, x2, , x10是来自总体XN(0, 0.32)的样本,求。四、证明题1设XN(, 2),Yx2(1)，且X与Y相互独立，X是来自总体X的容量为n的样本均值，Y是来自总体Y的容量为n的样本均值，证明