利用类比法进行教学

1、利用类比法进行教学山西财经大学应用数学系 梁华栋3月21日，老天下着小雨，但泥泞的道路没有阻挡我们前进的步伐。我们如约而来。 题记 乐教授在讲座中提到：类比法是高等数学教学中一种最重要的方法。类比导致推测，从而揭示真理。在较长期的教学生涯中，我对此体会得极为深刻。高等数学同济五版，上下两册很厚，表面上看内容很多，很细碎零乱。如果不从前后联系的观点来看，我们发现很难将它们聚在一起，更不用说提纲挈领了。其实，当我们从前后联系的观点、从类比和对比的观点看，从总体上鸟瞰这些内容时，高等数学说穿了没有多少。上册讲的是一元函数的微积分学，其中最基础也是最重要的概念我想是极限。学生能正确彻底地理解极限就为他

2、们很好地学好微积分打下了坚实的基础。在课堂教学中，我也是通过三个具体例子，从具体到抽象来引出数列极限的定义。然后讲解定义的要点。老师是否能将这一节讲好已成为学生能否学好高等数学的第一个关键所在。之后便是函数的极限。同济教材是先讲函数在趋于有限点时的极限，然后讲趋于无穷大时的极限。（我记得您在讲课时说，先讲趋于无穷大时的极限。刚开始当老师时，我一直按照教材的思路处理，先讲趋于有限点时的极限，后来发现先讲趋于无穷大时的极限跨度更小一些。）在讲函数在趋于有限点时的极限时，就可以采用类比的方法。从复习数列极限的定义出发引出函数的极限。只需将数列极限概念中的“”类比地改为“”就可得出函数在趋于有限点时极

3、限的定义。在前边讲数列极限的定义时就已讲清的作用，它是来刻画 和的接近程度的。它具有绝对的任意性和相对的固定性，是矛盾的统一体。N与的关系，着重强调N的存在性。 “”的含义。学生们理解了以后，再给他们加以分析，点拨，很易过渡到函数的极限。再强调函数极限中的，其地位和作用和数列中的完全一样。就相当于N。“”的含义类似于“”。这样使用类比的方法讲解，既复习了数列极限的定义，同时也讲了函数极限的定义。真所谓“温故而知新”。当然使用类比讲完概念后，还要对比，让他们明白这两个概念的关系，联系和区别。如果仅从变化趋势来看，它们极限的本质完全一样，只不过是考虑的对象和变量趋于的方式不同而已。在讲数列极限的定

4、义后，还要讲怎样利用“”定义证明某常熟是某数列的极限。我给他们指出证明的关键是什么，入手点在哪里，有什么样的技巧，以及书写证明过程要注意的问题。关于这类题，教材中例题有3个，习题有5个。我从中选择3个最有代表性的给他们讲解。在讲解这个问题时，我不过多地使用类比法，但在讲解的言语中已经渗透出这一思想，最后再小结。让他们明白：我讲了3个题，实际上只讲了1个题。但我希望他们会无数个题。当这一类题他们会后，等讲到利用“”证明函数极限时，再类比地讲出：关键是什么，入手点在哪里，有什么样的技巧，书写过程要注意什么。学生们理解是很顺利成章的事。当很清楚地讲完诸如数列极限的唯一性，极限的局部有界性， 局部保号

5、性等定理后，我们也不难把它们类比到函数极限的对应定理。这些定理不仅从表述上，而且在证明思路上都很相似。讲二重极限时也可采用类比的方法。它这样定义： 设为定义域的聚点， 。这里的和不正是一元函数中的和吗？“”不正相当于一元函数中的“”？为什么强调是的聚点呢？这相当于一元函数中的什么？当你讲明白这些的时候，要想说它难也是很困难的事。在教学中，我体会到使用类比法和对比法不仅可以把“容易”的问题类比到“很难”的问题上去，而且更容易地抓住他们的关系，弄清它们的区别和联系，掌握他们的本质。使用类比法还有一个好处，那就是一举两得。譬如在讲数列时，学生们没彻底地理解极限的定义，不要紧。等到讲函数的极限的定义时

6、，你再讲一遍，甚至可以不用类比法来讲，把它当作一个全新的内容来讲。但在讲的过程中，一定要有意无意地渗透类比这种思想。让学生感到他们现在所听的和前边的很像。他们既是在听新课，同时也是在复习旧课。这样数列学好了，就能学好函数的极限；即使数列没学好，通过学习函数的极限也能将数列的极限给补上。也就是说，前面学好的，学习后面内容的同时，也是在复习以前的内容，对以前的内容更加巩固。前面没学好的，学习后面内容的同时，也是在学习以前的内容，这样通过学习新内容，也就学习了以前的内容。这不是一举两得吗?在高等数学中还有很多地方都可以采用类比法。比如讲空间解析几何，就可从平面解析几何类比而来；讲多元函数的微积分学，就可从一元函数的微积分学类比而来。而高等数学无非就这么两个主要内容。当明白这一点时，我们也就明白高等数学讲了两册，实际上也没什么。这也许就是华罗庚先生所说的“由厚到薄”这一过程吧。当然更重要的，还要“由薄到厚”。（“由厚到薄”是一种手段，而“由薄到厚”才是目的。）当然类比法也不是万能的，我们至多可