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1、第二版 学海导航 专题辅导利用递推关系求数列通项1.形如型，用累加法.方法如下： 由 得：时，所以各式相加得 时，=.例 1. 已知数列an满足,证明证明：由已知得： = .2已知前 n项和求通项公式，用公式例2.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则3.形如型,用累乘法. 由得 时，=f(n)f(n-1). 例3.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.3.转化法。通过对数列递推关系式的恰当恒等变形，如配方(适合题型: an+1 =p an + q、an+1 =

2、p an + f(n)、因式分解、取对数、取倒数、平方等常用手段，将其转化为等比数列或等差数列。 例4已知数列an满足a1 =1，2an+1 = an +6n +3。求an 。解（配方法）设2an+1 +k（n+1）+b= an +kn+b 2an+1 = an kn-2k-b· k= - 6 , b = 9 2an+1 6(n+1）+9= an - 6n+9an - 6n+9是以4为首相1/2为公比的等比数列 an - 6n+9=4 an = 4 + 6n - 9 例5. 已知， 求an解：对两边平方,得 ，且an0不妨设+q=2(+q) （配方法） q=1 +1=2(+1), 又

3、 ,数列是以2为首项，公比为2的等比数列，=，an= （）4归纳法。先计算数列的前若干项，通过观察规律，猜想通项公式，进而用数学归纳法证之 。例6 对例5的数学归纳法求解：易求出 a1 =1，a2 = ，a3 = ，a4 =， a5 = ，猜想：an = ，下面用数学归纳法证明：当n = 1时，a1 = 结论成立；假设当n = k时结论成立，即ak =，当n = k + 1时， =，即n =k +1时结论成立。由知an =对所有的正整数都成立。an= （）三已知三相以上的数列的递推公式求数列的通项公式，只能运用“观察，归纳，猜想，证明”的步骤和方法加以解决。例7已知数列an满足a1 =1，a2 =6，an+2 = an+1 an ,求a2004 解： a1 =1，a2 =6，a3 =5，a4 = - 1，a5 = - 6，a6 = -5，a7 =1，a8 =6，a9 =5，a10 = -1 .猜想数列an是以6为周期的周期数列。事实上，an+2 = an+1 an = an - an-1 an = - an-1 an+3 = - an an+

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