微积分课件：9-2,9-3 常数项级数的审敛法

1、一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛四、小结四、小结 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .2.2.基本定理基本定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns( (1 1) ) 若若 1nnv收收敛敛, ,且且自自某某项项起起有有nnvu , , 则则 1nnu也也收收敛敛； ( (2 2) ) 若若 1nnu

2、发发散散，且且自自某某项项起起有有nnvu , , 则则 1nnv也也发发散散. . 证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.比较审敛法比较审敛法1:nvvv 21nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数(基本级数基本级数)例例 1 1 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p解

3、解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要基本级数重要基本级数: : 等比级数等比级数, P-, P-级数级数例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数 11)1(1,1

4、,1)1(1:nnnnnnnn发散发散得出得出发散发散但不能由但不能由注注4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式( (比较审敛法比较审敛法2) :2) :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时

5、时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.例例: :与与等等比比级级数数作作比比较较, ,判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性n nn nn 1n 1n nn nn 1n 1nnnnn 1n 1(1)2 sin(1

6、)2 sin3 31 1(2) 2 ln(1)(2) 2 ln(1)3 31 1(3)(3)8686 例例: :与与p-p-级级数数作作比比较较, ,判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性 n 1n 1n nn 1n 12 22 2n 1n 1n3n3(1)(1)n(n1)(n2)n(n1)(n2)(2)( 21)(2)( 21)(3)n (1cos)(3)n (1cos)n n设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对

7、,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( n n含含n!,an!,a

8、常常用用,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .解解),( n(1)!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnnnss1nnn1nnan)1n(alimuulim 解解a 收敛收敛时时当当,1a 发散发散时时当当,1a ,1a时时当当 1nsn1原级数原级数 时时当当发散发散时时当当收敛收敛1s 1s 设设

9、1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ; 11nnnnnnnnnn1limulim : 解解101lim nn级数收敛级数收敛.1 时级数发散时级数发散; ; 1 时失效时失效. .例例5:判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性常用常用含含 a,n nn判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性例例 :6nn1n 1412312!2!(1) ,limn1(2) nn(3) n1ncos(4) 2nnnnnnnnnnnn 并并求求二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数

10、正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.解解2)1(2)1()1( x

11、xxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定义定义: :若若 1nnu收

12、敛收敛, , 则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .nn 1nn 1n 1n 1: , ,nnuuuu注注 若若发发散散 则则未未必必发发散散但但若若用用比比值值( (根根值值) )判判别别法法判判定定发发散散时时 则则发发散散11:limlim)nnnnnnnnuuuu 定定理理 对对级级数数满满足足（或或绝对收敛绝对收敛时时当当 1nnu,1发散发散时时当当 1nnu,1解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知

13、原级数绝对收敛.例例9 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性,若收敛若收敛,是绝对收敛还是是绝对收敛还是 条件收敛条件收敛n1n121(-1)1(1) lnn(2) (-1) (1)1(3) sin( n)nnnnnnnn 的敛散性的敛散性讨论讨论设常数设常数例例 1n2nnnk(-1)0,k 10的敛散性的敛散性讨论讨论收敛收敛且且设常数设常数例例 1n2nn1n2nna)1(,a0, 11四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较审敛法比较审敛法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布

14、尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是是否否成成立立? ?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.一、一、 填空题填空题: :1 1、 p级数当级数当_时收敛时收敛, ,当当_时发

15、散；时发散；2 2、若正项级数、若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的根的后项与前项之比值的根 等于等于, , 则当则当_时级数收敛；时级数收敛；_时级数发散；时级数发散； _时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 . .二、二、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .练练 习习 题题三、三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性用比值审敛法判别下列级数的收敛性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn.

16、 .四、四、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性用根值审敛法判别下列级数的收敛性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六、六、 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛? ?如果是收敛的如果是收敛的, ,是绝对收是绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn. .七、若七、若nnun2lim存在存在, ,证明证明: :级数级数 1nnu收敛收敛 . .八、证明八、证明: :0!lim3 nnnanb