微积分课件：7-2 二重积分的计算

1、一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结三、小结 第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.Df(x,y)dDzf(

2、x,y) 的的值值等等于于以以为为底底，以以曲曲面面为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 (f(x,y)0)(f(x,y)0)应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,zyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得a0 xb( 先积一条线, 后扫积分域 ).),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y-型区域的特点型区

3、域的特点：穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.说明说明: : (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),()(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd,DD注注: :对对y y先先积积分分时时, ,做做平平行行于于y y轴轴的的任任意意直直线线穿穿过过它它与与的的边边界界曲曲线线交交于于两两点点, ,这这两两点点y y的的坐坐标标就就是是y y的的上上下下限限. .后

4、后积积分分的的上上下下限限为为常常数数. .oxy为计算方便为计算方便, ,可可选择积分序选择积分序, ,必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.(2) (2) 若积分域较复杂若积分域较复杂, ,可将它分成若干可将它分成若干1D2D3DX X- -型域或型域或Y Y- -型域型域, ,321DDDD则则 解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例2 2：计算计算,dDyx其中其中D D 是抛物线是抛物线2yx 所围成

5、的闭区域所围成的闭区域. . 解解: 为计算简便为计算简便, ,先对先对x x后对后对y y积分积分, ,D: xydx Dxyd 21dy 22y 2212y1x ydy 22511y(y2)y dy2 432621y41y2yy24361 458 Dxy22 xy214oyxy2yxy21y2 2yy2 yx2及直线及直线则则 例例3 3： 计算计算Dsinxdxdy,x 其中其中D D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域. .oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知, ,因此取因此取D D 为为X X型域型域 : :0yxD:0 x Dsinxdxdyx

6、x0dy 0sinxdx cosx0 2 0sinxdxx x先对先对x x积分不行积分不行, , 注注: : 若被积函数为一元函数若被积函数为一元函数, ,缺哪个变量就对该缺哪个变量就对该变量变量 先积分先积分.xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a dyey2无法用初等

7、函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e D8yxdxdy,D1x11y1 例例 ：求求其其中中 ：，1D2Doxy yxxyyxyxxy解：解： 21DDDdxdyxydxdyyxdxdyxy111ydyxydx 33111y22y11122(xy)dy(yx)dy33 331122112216y dy(1y) dy33151y11dyyxdx 解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图., 10 yx,xyyx 所求体积所求体积 DdxyyxV )( 1

8、010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是例例10:10:求两个底圆半径为求两个底圆半径为R R 的直交圆柱面所围的的直交圆柱面所围的立体立体体积体积. .xyzRRo解解: : 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为222xyR ,利用对称性利用对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为22DV8Rx dxdy 22Rx0dy R2208(Rx )dx 316R3 222xzR22zRx220yRx(x,y)D:0 xR R2208Rx dx 222

9、Ryx222RzxD二重积分化为二次积分计算步骤及注意事项二重积分化为二次积分计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便积分域分块要少积分域分块要少累次积分好算为妙累次积分好算为妙( (先积一条线先积一条线, ,后扫积分域后扫积分域) )(充分利用对称性充分利用对称性)利利用用二二重重积积分分的的几几何何意意义义化化简简计计算算： D21DDDdxdy)y, x( fI轴对称轴对称关于关于xD)1( 1Dy)y, x( fdxdy)y, x( f2y)y, x( f0I为偶函数为偶函数关于关于为奇函数为奇函数关于关于轴对称轴对称关

10、于关于yD)2( 1Dx)y, x( fdxdy)y, x( f2x)y, x( f0I为偶函数为偶函数关于关于为奇函数为奇函数关于关于关关于于原原点点对对称称D)3( 1D)y, x( f)y, x( fdxdy)y, x( f2)y, x( f)y, x( f0I1yx:DdxdyxyID ，其中，其中例：例：1D2D3D4D为偶函数为偶函数关于关于关于原点对称，关于原点对称，y, xxyDD21 314321DDDDDD,为偶函数为偶函数关于关于关于原点对称，关于原点对称，y, xxyDD43为偶函数为偶函数关于关于轴对称，轴对称，关于关于xxyyDD13111 x00D1I4xydxd

11、y(4dxxydy)6 0)D(;dxdy)ysinxcosxy(4)C(;xydxdy2)B(;ydxdysinxcos2)A()(dxdy)ysinxcosxy(DD)1, 1()1 , 1(),1 , 1(OXYD111DDDD1 在第一象限部分，则在第一象限部分，则是是三角形域，三角形域，为顶点的为顶点的和和平面上以平面上以是是例：设例：设AAoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重

12、积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r的外部的外部在积分区域在积分区域极点极点DO)1AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(的边界上的边界上在积分区域在积分区域极点极点DO)2 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd

13、极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0的内部的内部在积分区域在积分区域极点极点DO)3221) (),();2);3)yf xyfxD 一一般般情情况况下下，被被积积函函数数为为积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆的的一一部部分分的的边边界界曲曲线线用用极极坐坐标标表表示示时时用用极极坐坐标标。 D2222x2yx:D,dyxI1：计算：计算例例cos2r0 ,22| ), r(D: 解解 22cos202drrd原式原式 22dcos383932 围成。围成。

14、由由求求例例0 x, xy, 0y, 1yx , 4yxDdxyarctgI 222D22 D22x2yx1:D,dxdyxy3：求：求例例 210rdrdI:4解解2643 )23,21(A )23,21(B 3432cos21rdrdtg:原式原式解解=0法二法二:积分区域关于积分区域关于x轴对称轴对称,yxy为奇函数为奇函数关于关于0 原式原式1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解在极坐标系下在极坐

15、标系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 注注: :利用例利用例5 5可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2x0edx2 事实上事实上, ,当当D D为为R R2 2时时, ,22xyDedxdy 22xyedxedy 22x04edx 利用例利用例5 5的结果的结果, , 得得 222xa0a4edxlim(1e) 故故式成立式成立 . .解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422

16、yyx222 03 yx03 xy解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D 由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a2dx(ba)bb

17、bbaaaa例例11:11:设设f(x)f(x)在在a,ba,b上上连连续续, ,且且恒恒大大于于零零, ,试试利利用用二二重重积积分分证证明明1 1f(x)dxf(x)dxf(x)f(x)bxbaaa10:dxf(y)dyf(y)(by)dy例例证证明明( )( ):( )( )DDf xf yIdxdydxdyf yf x证证( )( )2()2( )( )DDf xf yIdxdydxdyf yf x2()Iba二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyy

18、xfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,

19、思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 1

20、0 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyx