经典力学课件：第3章运动定理（1）动量

1、易凡易凡第三章第三章牛顿力学的运动定理牛顿力学的运动定理（一）动量（一）动量3.1 3.1 质点的动量定理质点的动量定理n动量的定义动量的定义drpm vmdtn动量的单位动量的单位Kg.m / sKg.m / sn量纲式量纲式 LMT LMT-1 -1 由牛顿第二定律由牛顿第二定律()d m vdpFm adtdt或或Fdtdpn动量定理（微分形式）动量定理（微分形式）d pFd tF d td p意义：力的时间积累效应导致动量发生变化。n元冲量元冲量dIFdtdp（动量定理的微分形式）（动量定理的微分形式）n力的时间积累称为冲量力的时间积累称为冲量n冲量定义（动量定理的积分形式）冲量定义（

2、动量定理的积分形式）0000ttttttIdIFdtd pp tp t( )()动量定理的意义：力F作用于质点m的时间积累（冲量）导致质点m的动量变化。 动量动量P P和冲量和冲量I I为矢量，在直角坐标系描述为为矢量，在直角坐标系描述为xyzxyzpp ip jp kmv imv jmv k000()()()xyzxxyyzzII iI jI kppippjppk其中其中000000txxxxttyyyyttzzzztIF dtmvmvIF dtmvmvIF dtmvmv 上述形式仅适用于惯性系，在非惯性系中，须引入惯性力的上述形式仅适用于惯性系，在非惯性系中，须引入惯性力的冲量冲量00()

3、ttIF d tm vv 由冲量定义由冲量定义冲量是过程量，当惯性系选定后，它与参照点选择无关。冲量是过程量，当惯性系选定后，它与参照点选择无关。 动量定理形式特征：动量定理形式特征：（过程量）（过程量）= =（状态量的增量）（状态量的增量） 动量定理常用于动量定理常用于碰撞碰撞过程。过程。p冲击过程的特征：冲击过程的特征：相比冲击力，某些常规作用力，如重力，摩擦力等可忽略相比冲击力，某些常规作用力，如重力，摩擦力等可忽略冲击力对质点作用的效果是速度发生陡变，位移可以不计。冲击力对质点作用的效果是速度发生陡变，位移可以不计。 碰撞碰撞一般泛指物体间相互作用一般泛指物体间相互作用时间很短（瞬间）

4、时间很短（瞬间）的过程。在的过程。在这短暂过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变。这种这短暂过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变。这种瞬间过程，也称作瞬间过程，也称作冲击过程冲击过程，作用力通常叫做，作用力通常叫做冲力冲力。n碰撞过程的平均冲击力：碰撞过程的平均冲击力：000tt0ttppttdtFttIF0 【例例3.13.1】质量质量 m m =140g =140g 的垒球以速率的垒球以速率 v v = 40m/s = 40m/s 沿沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角 6060o o飞飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间

5、为出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为 t t =1.2ms=1.2ms。 因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。打击力的冲量决定。重力、阻力的冲量可以忽略。重力、阻力的冲量可以忽略。12vmvmtF )(101.8102.130cos4014.0230cos233N tmvF 平均打击力约为垒球自重的平均打击力约为垒球自重的59005900倍！倍！ 在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。12vmvmtF F tmv160omv230om=140gv

6、vv 12【例例3.23.2】 一圆锥摆，质量为一圆锥摆，质量为m m的小球绕着铅直轴以的小球绕着铅直轴以转动，摆绳与轴成转动，摆绳与轴成角。角。a a、b b为圆周直径的两点。为圆周直径的两点。求小球由求小球由abab的过程中，绳的张力施于小球的冲量。的过程中，绳的张力施于小球的冲量。xyzomabtmgTobaxyt【解解】建立如图的坐标系建立如图的坐标系 o oxyz xyz 。xyzTT iT jT k张力张力T T为为sincossinsincosxyzTTtTTtTT ，/00/0sincossincos0 xIT d tTtd tTtd t /00/0sinsinsinsinsi

7、n(coscos 0)2sinIT dtTtdtTTtdtT yy/00coscosTIT dtTdt zzcoscos20tanxyzm gTm gorTIIm gIm g ，22222tan4 tanyzIm gjm gkm gIII 1.1. 由两个质点由两个质点mm1 1和和mm2 2构成的质点系构成的质点系t t0 0时刻，时刻，m m1 1、m m2 2的速度和动量分别为的速度和动量分别为1020101 1020220vvpm vpm v、, =、t t时刻，时刻，m m1 1、m m2 2的速度和动量分别为的速度和动量分别为1211222vvpm vpm v、, =、在作用过程中

8、在作用过程中m m1 1受力：受力： 外力外力 F F1 1， 内力内力 f f1212 （ m m2 2施予的力）施予的力）m m2 2受力：受力： 外力外力 F F2 2， 内力内力 f f2121 （ m m1 1施予的力）施予的力）选定参照系（惯性系）选定参照系（惯性系）022122220220()ttFfdtm vm vpp=-对于对于m m2 2有有对于对于m m1 1有有011211110110()ttFfdtm vm vpp=-两式相加两式相加000011 222 1121 22 1112211 022 0121 02 0()()()()()()()ttttttttFfd tF

9、fd tFFd tffd tm vm vm vm vpppp)令令121201020FFFpppppp、（合外力合外力）（总动量总动量）而而122112210ffff 得到得到00ttFdtpp与质点的动量定理形式完全一样2.2. N N个质点构成的质点系个质点构成的质点系n N N个质点个质点m m1 1、m m2 2、 m mi i、 m mN N构成的质点系构成的质点系n 外力（外力（external forceexternal force）：）： 系统外部对质点系内质点的作用力系统外部对质点系内质点的作用力n 内力（内力（internal forceinternal force）：）：

10、 系统内部各质点间的相互作用力系统内部各质点间的相互作用力特点：特点：成对出现；大小相等方向相成对出现；大小相等方向相反反推论：推论：质点系的内力之和为零质点系的内力之和为零。= 0ijijf2.2. N N个质点构成的质点系个质点构成的质点系由由N N个质点个质点m m1 1、m m2 2、 m mi i、 m mN N构成的质点组构成的质点组考虑第考虑第i i个质点个质点 m mi iiF受力受力（外力）（外力）（内力）（内力）12NiiiNijj iffff t t0 0时刻的速度和动量分别为时刻的速度和动量分别为00iivp、 t t时刻的速度和动量分别为时刻的速度和动量分别为iivp

11、、 据动量定理应有据动量定理应有000()tiijiiiiitjFfdtm vm ivpp将将N N个质点的方程相加，左边为个质点的方程相加，左边为0000000,()()()()NNNtttiijiijtttijiijittttiijiijttttiijiijjiFfdtF dtfdtF dtf dtFdtfdt 左边为左边为0ttFdt且且,()()0ijijjii ji ijjifff令令iiFF（质点系的合外力质点系的合外力）右边右边00NNNiiiiiiiiiiim vm vm vm v() 令令00NNiiiiiipm vpm v（质点系的总动量质点系的总动量）则右边则右边 = =

12、0pp最后得到最后得到00ttFdtpp 质点系的动量定理 （积分形式）：系统总动量的变化等于质点系所受到合外力的冲量。n说明说明 质点组的动量定律形式与单质点一样，但式中质点组的动量定律形式与单质点一样，但式中F F是整个质点是整个质点系所受到的合外力，系所受到的合外力，p p是系统的总动量。是系统的总动量。 令令00ttIFdtpp为合外力对质点系的为合外力对质点系的冲量冲量上式是质点系动量定律的积分形式上式是质点系动量定律的积分形式 质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式Fdtdp=质点系总动量的时间变化率等于所受合外力 动量定理仅适用于惯性系，在非惯性系中，须引入惯性力的动量

13、定理仅适用于惯性系，在非惯性系中，须引入惯性力的冲量冲量 内力的冲量不会改变质点组的总动量，但会改变质点组中各内力的冲量不会改变质点组的总动量，但会改变质点组中各质点的动量。或者说，内力将导致各质点的动量重新分配质点的动量。或者说，内力将导致各质点的动量重新分配 动量定理与牛顿定律的关系：动量定理与牛顿定律的关系：牛顿定律仅适用于单质点，动量定理却适用于质点系牛顿定律仅适用于单质点，动量定理却适用于质点系对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，而动量定对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，而动量定理说的是力对时间的积累效果。理说的是力对时间的积累效果。n 孤立体系的动量守恒定律孤立体

14、系的动量守恒定律若合外力若合外力0iiFF但但 F Fx x，y y，z z之一为之一为0 0000 xxpppppp，则有则有常称为质点系在某个方向的动量不变或常称为质点系在某个方向的动量不变或“守恒守恒”n 孤立体系的动量守恒定律： 不受外力或所受外力的矢量和为零的体系，系统的总动量不变（恒矢量）。若合外力若合外力0iiFF00ttIFdt则则0( )()0p tp t即有即有或或0( )()p tp tA则称系统的动量守恒则称系统的动量守恒n 动量守恒定律的几点说明动量守恒定律的几点说明动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论动量定理及动量守恒定律只适用于

15、惯性系动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒当外力当外力内力且作用时间极短时（如碰撞）可认为动量近似内力且作用时间极短时（如碰撞）可认为动量近似守恒守恒动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛顿第三定动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立时，只要计及场的律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。动量，动量守恒定律仍然成立。 动量守恒定律可以直接从空间的平移不变性（一种时空对称动量守恒定律可以直接从空间的

16、平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，性）导出。时空对称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，动量守恒定律比牛顿定律更普遍更基本，在宏观和微观领域动量守恒定律比牛顿定律更普遍更基本，在宏观和微观领域均适用。均适用。例例3.3 3.3 长为长为L L，质量为，质量为m m的软绳盘放在水平台上。用手的软绳盘放在水平台上。用手抓住绳的一端以恒定速率抓住绳的一端以恒定速率v v0 0向上提起，求当提起高度为向上提起，求当提起高度为x x时受的拉力。时受的拉力。xv0Tox【解解】以软绳为质点系。以软绳为质点系。t t时刻：时刻： 绳提起高度绳提起高度 x x ，动量，

17、动量 0mpxvLt+dtt+dt时刻：绳提起高度时刻：绳提起高度 x+x+x x ，动量，动量0()mpxdx vL绳受力：重力绳受力：重力 mgmg，手拉力，手拉力 T T，地面弹力，地面弹力 N N。应用动量定理应用动量定理000()()TNmg dtppmmmxdx vxvv dxLLL0002()mdxmTNmgvvLdtLdxvdt ; 即即2020()()mNLx gLmmTLx gmgvLLxmTmgvLL 最后得最后得20200,mxTvLmxLTmgvL 当当例例3.4 3.4 质量密度为质量密度为的链条从光滑的桌面上由静止开的链条从光滑的桌面上由静止开始下滑，求链条下滑运

18、动规律。始下滑，求链条下滑运动规律。xox【解解】以链条为质点系，以桌面为参照系。以链条为质点系，以桌面为参照系。t t时刻，链条下滑长时刻，链条下滑长 x x ，动量，动量 pxv t tdt dt时刻，链条下滑长时刻，链条下滑长 x xdx dx ，动量，动量()()pxdxvdvxvvdxxdvdxdv F dtdpppvdxxdvdxdv 忽略二阶小量，则有忽略二阶小量，则有 据动量定理据动量定理F d tv d xx d v ()()Fxdx gFdtxdx gdtxgdt 20dvxvgxdtdxvdt 得到得到 0 xgdtvdxxdvdvdxxvxgdtdt 即即 而而 得到微

19、分方程得到微分方程 解微分方程解微分方程 212dvdv dxdvdvvdtdx dtdxdx22222()02x dvdvgxvvgxdxdxx方程为方程为2222()22dvgxvvgdxxx即有即有222222322223342222()33ygxvdydvvgggdxdxxvygxgvxxx 令令则则2dydxyx 即即222lnlnlnyxcorcyxcyx 解得解得0,00txc 初始条件初始条件即得即得2203xgvx所以所以即即2203xgv2223dxvxgdt或或223dxgdxdtx即即6gxtc0,00txc 因为因为所以所以最后得到最后得到266ggxtxt 四四 .

20、 .质心运动定理和质心参考系质心运动定理和质心参考系 由质点系动量定理的微分形式：由质点系动量定理的微分形式：1.1. 质心质心idpdFpdtdt= 它在形式上相同与牛顿定律的动量表示式相同，但其含义并不它在形式上相同与牛顿定律的动量表示式相同，但其含义并不相同。相同。 而质点系内各质点的运动情况各不相同，加速度也不相同，而质点系内各质点的运动情况各不相同，加速度也不相同，不能简单等效于：不能简单等效于： （m m是质点系的总质量）是质点系的总质量）Fma= 牛顿第二定律是对质点而言，等价于牛顿第二定律是对质点而言，等价于Fm a1.1. 质心质心CFm a2.2. 质心的位置质心的位置由由

21、N N个质点构成的质点系个质点构成的质点系 m mi i ; i = 1, 2, , N; i = 1, 2, , N在确定的参照系中，各质点的位矢为在确定的参照系中，各质点的位矢为 r ri i 。定义：定义：对于确定的质点系，其质心的位置用质心位矢对于确定的质点系，其质心的位置用质心位矢r rc c表示：表示：1 1221121NiiNNicNNiim rm rm rmrrmmmm 2.2. 质心的位置质心的位置1 1221121NiiNNicNNiim rm rm rmrrmmmm n说明说明 质心位矢质心位矢r rc c是矢量，在直角坐标系下，质心的坐标为：是矢量，在直角坐标系下，质心

22、的坐标为：111111,NNNiiiiiiiiicccNNNiiiiiim xm ym zxyzmmm 推广至连续质量分布的质点系推广至连续质量分布的质点系111,()cccxxdmyydmzzdmMMMMdm 质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是以质量为质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是以质量为权重的加权平均。权重的加权平均。 选择不同坐标系，质心位矢选择不同坐标系，质心位矢r rc c表达式不同。但质心与各质点表达式不同。但质心与各质点间的相对位置仅与质点系的质量分布有关，与参照系的选择间的相对位置仅与质点系的质量分布有关，与参照系的选择无关。无关。zxyom1m2mir

23、cmjmNr1rNrjrir23.3. 质心运动定理质心运动定理n 质心的速度质心的速度v vc ciiiiiiiciicdm rm rm vdtdrdvdtdtMMMn 质心的动量质心的动量P Pc ccciiiiiipMvm vpp 质心动量的意义：质点系的各质点全部集中在质心上，以vc速度运动。 质心的动量 Pc 等于质点系的总动量P；由质点系动量定理的微分形式由质点系动量定理的微分形式1112221222111NNNiiiiiiiiNiiNNciiiiNiiiidpddddrFpm vmdtdtdtdtdtm rddd rm rmMdtdtdtmn 质心运动定理质心运动定理n 质心运动

24、定理： 体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在合外力作用体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在合外力作用下的加速度下的加速度 质心运动定理描述了物体质心的运动。体系的内力不影响质心质心运动定理描述了物体质心的运动。体系的内力不影响质心的运动。的运动。22cicidrFFMM ad t即即22,cicid rMmadt式中式中cdpdpFdtdtn 上式即是质心的动量定理 外力对体系的冲量等于质心动量的增量外力对体系的冲量等于质心动量的增量n 质心质心的动量定理的动量定理由质点系动量定理的微分形式由质点系动量定理的微分形式cFdtdp00tcctF dtM vM v例例3.5 3.5

25、 用质心概念求解例用质心概念求解例3.33.3002;()2cxvxxxxxxvLLL222cmxxxLxmL质心坐标质心坐标质点系外力：拉力质点系外力：拉力T，弹力弹力N，重力重力mg22cd xmTNm gdt应有应有020cvvxxLL02cmm xvTNm gL1()NLx m gL20 xmTm gvLL与例与例3.33.3的结果一样的结果一样4.4. 质心参照系（质心系）质心参照系（质心系）n定义：定义：某坐标系，其坐标原点在某坐标系，其坐标原点在质心处，坐标轴与固定系质心处，坐标轴与固定系的坐标轴始终保持平行，的坐标轴始终保持平行，这样的坐标系即称为质心这样的坐标系即称为质心坐标

26、系，简称质心系。坐标系，简称质心系。mio yxzc xyz ri ric rcri = ric+ rcSSo（1 1）各质点的运动视为两部分运动的叠加）各质点的运动视为两部分运动的叠加n质点质点m mi i的位矢的位矢ir相对惯性系（静系相对惯性系（静系s s）相对质心系（动系相对质心系（动系ss）icr应有应有i cicrrrn质心系的特点质心系的特点速度速度iicciiccrrrvvv即即各质点随质心一起作平移运动（相对质心静止）各质点随质心一起作平移运动（相对质心静止）质心系不一定是惯性系，也可能不是惯性系！质心系不一定是惯性系，也可能不是惯性系！（2 2）质心系是零动量系）质心系是零

27、动量系证明证明iicciiiicicvvvm vm vm v即即由对全部质点对全部质点m mi i求和求和iiiiciciiim vm vm viiciiiciiim vm vm v即即iiiiccciiim vppm vM vpp，0iicim v（3 3）在质心系，可不考虑平动惯性力的影响）在质心系，可不考虑平动惯性力的影响 ioicFm a 00iciFFa若若则质心系为非惯性系，各质点有平动惯性力则质心系为非惯性系，各质点有平动惯性力在质心系下，质点系的合外力被惯性力抵消，所以质心系是零动量系。()oioiciciiiFFm am aF 0oFF合惯性力合惯性力则则00iciFFa则质

28、心系为惯性系则质心系为惯性系若若例例3.6 3.6 在光滑平面上，在光滑平面上， m1 m1 和和 m2m2以以 v1 v1 和和 v2 v2 碰撞碰撞后合为一体（完全非弹性碰撞）。求碰撞后二者的共后合为一体（完全非弹性碰撞）。求碰撞后二者的共同速度同速度v v。在质心参考系观察，碰撞前后二者的运动如。在质心参考系观察，碰撞前后二者的运动如何？何？n在惯性系中观察在惯性系中观察 碰撞前质心速度：碰撞前质心速度：111212cm vm vvmm 无外力，质心速度不变。碰撞后二者共同速度为质心速度无外力，质心速度不变。碰撞后二者共同速度为质心速度111212cm vm vvvmmn在质心系在质心系

29、中观察中观察五五经典力学中的变质量问题经典力学中的变质量问题1.1. 经典力学中讨论的变质量体系的特征经典力学中讨论的变质量体系的特征 所研究的体系质量不为常数，而是随时间变化。这种变化是所研究的体系质量不为常数，而是随时间变化。这种变化是由于外部不断有新质量进入体系，或体系内部不断有质量输由于外部不断有新质量进入体系，或体系内部不断有质量输送给外部；送给外部； 变化部分的质量无限小，可视为质量元变化部分的质量无限小，可视为质量元dmdm ； 体系中所有质点运动状态相同，因而可用一个质点来描写体体系中所有质点运动状态相同，因而可用一个质点来描写体系的运动这样的系的运动这样的“变质量体系变质量体

30、系”，质量发生变化，质量发生变化， 称之为称之为“经典力学中的变质量问题经典力学中的变质量问题”。0dmdtn几点注意几点注意 体系中的总质量（质量主体与质量附体）不变；变化的是质体系中的总质量（质量主体与质量附体）不变；变化的是质量主体量主体 研究质量元不断的加入或离去对质量主体运动状态的影响，研究质量元不断的加入或离去对质量主体运动状态的影响，实质是质量元与质量主体的碰撞问题；实质是质量元与质量主体的碰撞问题； 变质量问题（模型）有：软绳下落、火箭升空、流星对地球变质量问题（模型）有：软绳下落、火箭升空、流星对地球的撞击、冰的融化等等；的撞击、冰的融化等等；2.2. 变质量体系的运动方程变

31、质量体系的运动方程mtvm+dmtdtvdvdmvdvu质量离去质量离去 dm0dm0dm0n方程推导的出发点方程推导的出发点 非变化非变化的主要质量部分为质量主体，变化的（将进入或的主要质量部分为质量主体，变化的（将进入或离去）的质量元为质量附体离去）的质量元为质量附体 体系总质量主体质量附体质量体系总质量主体质量附体质量 将质点组的动量定理的微分形式应用该问题中将质点组的动量定理的微分形式应用该问题中n方程推导方程推导（设质量减少，（设质量减少，dm0dm0） t t时刻，体系质量：时刻，体系质量：m m （主体附体）（主体附体） 速度：速度： 动量：动量：vpmv t+dtt+dt时刻，

32、主体质量：时刻，主体质量： ，附体质量，附体质量 主体速度：主体速度： ， 附体速度：附体速度： 动量：动量：vdvvdvu()()()vdmdmdvdmdvpmdmvdvdm vdvumvmdvudmmvmdvvdmudm(0)mdmdmdmu是附体脱离主体瞬间，它相对于主体的速度在相互作用瞬间，体系的动量变化在相互作用瞬间，体系的动量变化mvdpppmddpmdvudmmvmvudFdtdpmdvudmdvdmFmudtdt可得可得由由即即d vd mmFud td t上式为变质量体系的运动方程n方程说明方程说明 F F是作用于质量主体上的外力是作用于质量主体上的外力设设mmFFF在主体与

33、附体的相互作用（碰撞）瞬间，通常外力与质量成在主体与附体的相互作用（碰撞）瞬间，通常外力与质量成正比（如重力）正比（如重力）此时此时mFm当当0,0,0mtmF 所以所以mFF u u是质量元是质量元dmdm相对质量主体相对质量主体m m的速度的速度 m m与时间有关与时间有关 质量元质量元dmdm，若是离开主体，若是离开主体dm0dm0dm0 反作用力反作用力F Fp p设外力设外力F=0F=0，则有，则有dvdmmudtdt若令若令ppdmdvFumFdtdt 即有即有Fp定义为反作用力，它源于质量元dm对质量主体m的作用，即碰撞。n方程说明方程说明附体离开主体时：附体离开主体时：dm0dm0dm0pF为推力为推力若若 u u 与与 v v 同方向，同方向，若若 u u 与与 v v 反方向，反方向，0pdmFudtpF为阻