微积分课件：9-4 幂级数

1、一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性二、幂级数的运算二、幂级数的运算三、小结三、小结 第四节第四节 幂幂 级级 数数函数项级数的一般概念函数项级数的一般概念设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .,120 xxxnn例如级数例如级数一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为0 xx 的的幂级数幂级数. . 的幂级数的幂级数称为称为时时当当xxa

2、,0 xn0nn0 2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx

3、 使使级级数数收收敛敛, ,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域 n nn nn0n0例例1 :1 : 若若幂幂级级数数a xa x 在在x3x3处处收收敛敛, ,则则在在x1x1处处( )( )(A)(A)条条件件收收敛敛;(B);(B)绝绝对对收收敛敛;(C);(C)发发散散;(D);(D)敛敛散散性性不不定定 n nn nn0n0例例2 :2 : 若若幂幂级级数数a (x1)a (x1) 在在x3x3处处收收敛敛, ,则则在在x1x1处处( )( )(A)(A)

4、条条件件收收敛敛;(B);(B)绝绝对对收收敛敛;(C);(C)发发散散;(D);(D)敛敛散散性性不不定定 n nn nn0n0例例3 :3 : 若若幂幂级级数数a (x3)a (x3) 在在x5x5处处发发散散, ,则则在在x0 x0处处( )( )在在x2x2处处( )( )(A)(A)条条件件收收敛敛;(B);(B)绝绝对对收收敛敛;(C);(C)发发散散;(D);(D)敛敛散散性性不不定定如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它

5、它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 上述上述正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径., 0 R规定规定, R(1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,),RR ,(RR .,RR ),(RR 幂级数的幂级数的收敛域收敛域是指是指幂级数的幂级数的收敛区间收敛区间是指开区间是指开区间(-R,R)如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?系系数数模模比比值值法法 如如果果幂幂级级数数 0

6、nnnxa的的所所有有系系数数0 na, 设设 nnnaa1lim,则则 (1) 当当0 时时, 1R; (3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxa3.收敛半径、收敛域及其求法收敛半径、收敛域及其求法,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x , 0)2( 如如果果, 0 x

7、),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; R收敛半径收敛半径,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理 nnnxax. 0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.系系数数模模根根值值法法 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na, 设设 nnnalim,则则 (1) 当当0 时时, 1R; (3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;例例4 4 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解)1(nnn

8、aa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnxn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ); ;2 2n n n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 nnna limnn lim, , oR ;)()2(1 nnnx 0 0nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛

9、xn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ) . .2 2n n ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用比比值值判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x, 1212 x当当,2时时即即

10、x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30b

11、a01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :(2) 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnx

12、na(收敛半径不变收敛半径不变)(3) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可导导, 并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即(2) 0) )(nnxx

13、xsx 11两边积分两边积分 01nnnx解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为1 , 1 , 时级数时级数且且1 x,1)(0 nnnxxs设设收敛收敛 , , 011)(nnnxxxs则则dxxxxsx 011)()1ln(x )1 ,0()0,1 x)(xS, )1ln(1xx )(xS而而)0(S, )1ln(1xx ,10 x,1 ) 0( x1x 0n120n2n12n1 )2(1)x(n )1(nx练习题练习题解解,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx

14、 12)1(nnnn故故)21( s . 8 四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 一、一、 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122212nnnxn；4 4、)0,0(1 b