微积分课件：6-2 偏导数

1、一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、小结三、小结 第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法),(00yxxz ，),(00yxxf ，),(00yxzx或或),(00yxfx. x0f(x,y)(a,b),f(ax,b)f(a,b)limx 例例: :若若在在处处的的偏偏导导数数存存在在 则则xf (a,b) 如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(

2、yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 1 1 求求 223yxyxz 在在点点)2 , 1(处处的

3、的偏偏导导数数解解法法1: xz;32yx yz.23yx )2, 1(xz,82312 )2, 1(yz.72213 解法解法2:2:)2, 1(xz 462 xx1)62( xx81 xz231yy 2)23( yy72 yz)2, 1(yz xxx2f(x,y)x(y1)arcsinf (x,1)yf(x,1)xf (x,1) 1例例 ：设设，求求解解：3( , , )(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)yzxyzf x y zxfff 例例 ：，求求 ( ,1,1), (1, ,1)1, (1,1, )1,f xxfyfz 解解0)1 , 1 , 1(, 0)1 , 1 ,

4、1(, 1)1 , 1 , 1( zyxfff0), 1 , 1 (, 0) 1 , 1 (, 1) 1 , 1 ,( zfyfxfzyx22 4x 2yzz4z(3xy ),xy 例例 ：求求)yx3ln()y2x4(22ez 解：解：32)24()3ln(2)3(22222422yxyyxyxyxyzyx 22(42 )ln(3)22(42 )ln(3)xyxyxzexyxyx 36)24()3ln(4)3(22222422yxxyxyxyxyx 幂指幂指函数求导函数求导偏导数记号是一个例例5:5:已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证求证: :1 pTTVVpTRVp 证证:,

5、VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:( (R R为常数为常数) ,) , Vp2VTR TVpR pTRVVpTR 1不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,说明：说明：在分界点处的偏导数要用定义求在分界点处的偏导数要用定义求(与与一元函数相同一元函数相同)；222222xyxy0 xy6f(x,y)000 xy0 例例 ：讨讨论论在在（， ）点点的的偏偏导导数数与与连连续续性性之之间间关关系系。222222xyxy0 xy6f(x,y)000 xy0 例例 ：讨讨论论在在（， ）点点的的偏偏导导数数与与连连续续性性之之间间关关系系。 xfxffxx)0 , 0()0

6、 ,(lim)0 , 0(0解：解：）偏导数存在）偏导数存在，在（在（ 00)y, x( f0 x00lim0 x yfyffyy)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00y00lim0y 不连续不连续在在不存在，不存在，)0 , 0()y, x( fyxxylim22)0,0()y ,x( 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 偏偏导

7、导数数),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对x轴轴的的斜斜率率. 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率.几何意义几何意义: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为

8、高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这

9、两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 7 7 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 2 yyzx e(x1)arctan(1,0)x例例：求求在在点

10、点的的一一阶阶偏偏导导数数2yztxzue dt 例例：求求的的一一阶阶偏偏导导数数。练练 习习 题题0000 x0f(x2 x,y )f(xx,y )1.f(x,y),limx 设设具具有有偏偏导导数数 求求23yyx()xyx (1,2)y (1,2)xyy2.f(x,y)xy(x1)arccos,f (1,y)2x3.ze,z,z4.zxln xy ,z 设设求求设设求求求求偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结若

11、函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _

12、_. .3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan(

13、 . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. .七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxz