微积分课件：9-6 函数的幂级数展开式的应用

1、一、近似计算一、近似计算二、计算定积分二、计算定积分三、微分方程的幂级数解法三、微分方程的幂级数解法四、小结四、小结 第六节第六节 函数的幂级数展开式的函数的幂级数展开式的应用应用 一、近似计算一、近似计算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误差误差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关键关键: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则

2、放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例1 1.10,5 使使其其误误差差不不超超过过的的近近似似值值计计算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 例例2 2.,9sin! 3sin03并估计误差并

3、估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 30000013750001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过其误差不超过 .510 二、计算定积分二、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近

4、似值取前三项作为积分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数三、微分方程的幂级数解法三、微分方程的幂级数解法,22yxdxdy 例如例如解不能用初等函数或其积分式表达解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法寻求近似解法: 幂级数解法幂级数解法;1 1、一阶方程的初值问题特解求法、一阶方程的初值问题特解求法问题问题.),(00的特解的特解满足满足求

5、求yyyxfdxdyxx .)()()()(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf 其中其中 202010)()(xxaxxayy.,21为待定的系数为待定的系数其中其中naaa,xx0的幂级数的幂级数假设所求特解可展开为假设所求特解可展开为 .0|02的的特特解解满满足足求求 xyyxdxdy解解，00 x, 00 y,33221 nnxaxaxaxay设设方程的幂级数展开式代入原将yy, 342321432xaxaxaa24433221)( xaxaxaxax,32123121 nnxnaxaxaay例例4 4,201, 0, 0,21, 054321 aaaaa

6、.2012152 xxy所求解为所求解为 43122321221)2(2xaaaxaaxax比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 得得注注: :无初始条件求解无初始条件求解 1nnnxaCy可设可设(C是任意常数是任意常数) 如果方程如果方程0)()( yxQyxPy中的系数中的系数)(xP与与)(xQ可在可在RxR 内展为内展为x的幂级数的幂级数, ,那么在那么在RxR 内原方程必有形如内原方程必有形如 nnnxay 0的解的解. .定理定理2 2、二阶变系数齐次线性方程幂级数求法、二阶变系数齐次线性方程幂级数求法作法作法,0 nnnxay设解为设解为的幂级数，的幂级

7、数，展开为展开为将将xxfxQxP)(),(),(比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 确定确定y.0的解的解求方程求方程 yyxy,0nnnxay 设方程的解为设方程的解为解解例例5 5,10 nnnxnay则则21)1( nnnxanny, 0, yyxyyyy代入将,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n,313aa ,1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,8

8、04aa ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常数是任意常数aa四、小结四、小结、近似计算、近似计算,求不可积类函数的定积分，求不可积类函数的定积分， 3、微分方程的幂级数的解法、微分方程的幂级数的解法 2、,求不可积类函数的定积分，求不可积类函数的定积分，思考题思考题利用幂级数展开式利用幂级数展开式, 求极限求极限.sinarcsinlim30 xxxx 思考题解答思考题解答,54231321arcsin53 xxxx)1( x,sinarcsinlim30 xxxx 将上两式代入将上两式代入3 35 5x x

9、0 01 1x x1 13 3x xx xx x2 23 32 24 45 5l li im m 3 3x x原式原式=33333 3x0 x01 1xo(x )xo(x )6 6limlimx x .61 一、一、 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: : 1 1、3ln ( (精确到精确到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精确到精确到0001. 0).).二、二、 利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分 5 . 00arctandxxx ( (精确到精确到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 将函数将函数xexcos展开成展开成的幂级数的幂级数x . .练练 习习