线性代数课件：3-5线性方程组解的结构

1、3.5 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构1. 解向量的概念解向量的概念齐次线性方程组齐次线性方程组)1(,000221122221211212111 nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx若记若记,0000 则齐次方程组则齐次方程组(1)可写成向量方程可写成向量方程: Ax=0 (2) 1212111,nnxxx 若若为方程为方程 Ax=

2、0 的解的解, 121111nx 则则称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量.它也是向量方程它也是向量方程(2)的解的解2. 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0 的的解的性质解的性质(1) 若若 x= 1, x= 2 为为Ax=0 的解的解, 则则x= 1+ 2 也是也是Ax=0 的解的解. 证明证明, 0)(2121 AAA0, 021 AA故故 x = 1+ 2 也是也是 Ax=0 的解的解. (2) 若若 x= 1 为为Ax=0 的解的解, k为任意实数为任意实数, 则则x=k 1 也是也是Ax=0 的解的解. 证明证明)()(11 kAkA , 00 k故故 x=k 1 也是也

3、是 Ax=0 的解的解. 齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0的全体解所组成的集合称为方的全体解所组成的集合称为方程组的解集程组的解集. 记作记作 S.3. 齐次线性方程组的基础解系及其求法齐次线性方程组的基础解系及其求法定义定义3.7 齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0的的解集解集 S 的最大无关的最大无关组组称为该齐次线性方程组的称为该齐次线性方程组的基础解系基础解系.要求齐次线性方程组要求齐次线性方程组 Ax=0的通解的通解, 只需求出它的基只需求出它的基础解系即可础解系即可.定理定理3.18 当当 m n 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A) = r 时时, n 元齐次线元齐次线性方

4、程组性方程组 Ax=0 的解集的解集S的秩的秩RS = n r. 当当 R(A) = n 时时, 方程组只有零解方程组只有零解, 故没有基础解系故没有基础解系.当当 R(A) = r n 时时, 方程组的基础解系恰有方程组的基础解系恰有n r 个向量个向量. 方程组任意方程组任意n r 个线性无关的解向量都可构成基础解系个线性无关的解向量都可构成基础解系. 故方程组故方程组 Ax =0的基础解系不是唯一的的基础解系不是唯一的.定理定理3.19 设设 R(A) = r n, 1, 2, , n r 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系的基础解系,则则 Ax=0 的通解可表示为的

5、通解可表示为:).,( ,212211Rccccccxrnrnrn Ax=0 的通解结构定理的通解结构定理.例例1 1 求求 的基础解系与通解的基础解系与通解. 02683054202108432143214321xxxxxxxxxxxx例例1 1 求求 的基础解系与通解的基础解系与通解. 02683054202108432143214321xxxxxxxxxxxx解解 00001340210812683154221081rA 4323141434 :xxxxx得同解方程组得同解方程组,00001004014143 r,100143 及及令令xx,04414321 及及xx对应有对应有,100

6、,014:412431 即得基础解系即得基础解系).,( ,100014 214124314321Rccccxxxx : :通解为通解为例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换10212011310000000000 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量xxxxxxx

7、代入11143011310226202262 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依次得依次得. 12, 31, 010312 . 100123 二、非齐次线性方程组的解二、非齐次线性方程组的解非齐次线性方程组非齐次线性方程组)4(,22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa亦可写成向量方程亦可写成向量方程: Ax=b, (5)

8、,21 mbbbb其中其中方程组方程组(5) 的解称为方程组的解称为方程组(4)的的解向量解向量.Ax=0 称为称为 Ax=b 对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组, 也称为也称为导出组导出组. 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax=b 的的解的性质解的性质(1) 若若 x= 1, x= 2 都是都是 Ax=b 的解的解, 则则 x= 12 是其是其导出组导出组 Ax=0 的解的解. 证明证明, 0 bb2121)( AAA x= 12 是是Ax=0 的解的解. (2) 若若 x= 是是 Ax=b 的解的解, x= 是是Ax=0 的解的解, 则则 x= + 是是 Ax=b 的解的解.证明

9、证明,0bb AAA )( x= + 是是 Ax=b 的解的解.非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax=b 的通的通解结构定理解结构定理:定理定理3.20 若若 是是 Ax=b 的一个解的一个解, 1, 2, , n r 为为其其导出组导出组 Ax=0 的一个基础解系的一个基础解系 ,则则 Ax=b 的通的通解可表示为解可表示为:).,( ,111Rccccxrnrnrn 例例3 3 求方程组求方程组 41022132324314214321xxxxxxxxxx的通解的通解.例例5 5 求方程组求方程组 41022132324314214321xxxxxxxxxx的通解的通解.解解 41020

10、21301232111)(bAB,000005721025101 r,72552432431 xxxxxx得同解方程组得同解方程组, 043 xx取取,5,221 xx则则即得方程组的一个特解即得方程组的一个特解.)0 , 0 , 5 , 2(*T ,725432431 xxxxxxAx的同解方程组为的同解方程组为导出组导出组 导出组基础解系为导出组基础解系为,)1 ,0,7,5(,)0,1 ,2,1(21TT 故所求方程组故所求方程组的通的通解为解为:).,( ,00521075012121214321Rccccxxxx 例例4 4 设设 1, 2, 3 是是齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础的一个基础解系解系, 1= 1+ 2 + 3, 2= 2 3, 3= 2+ 3, 问问 1, 2, 3 能否作为能否作为Ax = 0 的基础解系的基础解系?证明证明: 1, 2, 3 均为均为 1, 2, 3 的线性组合的线性组合, 1, 2, 3 均为均为 Ax = 0 的解的解. 设有数设有数 k1, k2, k3 使使 k1 1+ k2 2+ k3 3 = 0 ,即有即有 k1 1 + (k1+k2+k3) 2 + (k1 k2+k3 ) 3 = 0 ,故有故有:,0003213211