线性代数课件：ch2 行列式

1、1福福 州州 大大 学学 made by syhuang第二章第二章 行列式行列式 (determinant ) 2.1 行列式的定义行列式的定义 2.2 行列式的性质行列式的性质 2.3 行列式的应用行列式的应用2福福 州州 大大 学学 made by syhuang2.1 行列式的定义行列式的定义一、二阶、三阶行列式的定义一、二阶、三阶行列式的定义二、二、代数余子式与代数余子式与 阶行列式的定义阶行列式的定义n3福福 州州 大大 学学 made by syhuang用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组11112212112222 (2.1)a xa xb ,a xa xb .

2、1 2一、一、二阶、三阶行列式的定义二阶、三阶行列式的定义 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（4福福 州州 大大 学学 made by syhuang用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组11112212112222 (2.1)a xa xb ,a xa xb . 1 2时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为

3、方程组的解为，211222112122211aaaabaabx 11 2121211221221(2.2)a bb ax.a aa a 一、一、二阶、三阶行列式的定义二阶、三阶行列式的定义 ;212221121122211baabxaaaa ）（,211211221122211abbaxaaaa ）（其其系数矩阵系数矩阵A11122122aaaa 为二阶方阵为二阶方阵. .5福福 州州 大大 学学 made by syhuang2368A, 例例如如二二阶阶方方阵阵23268A 则则二二阶阶行行列列式式为方便地记住为方便地记住(2.2)(2.2)的结果，引进记号的结果，引进记号记记11a12a

4、22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa A ,或或det A记为记为A11122122aaaa 称为由二阶方阵称为由二阶方阵所确定的所确定的二阶行列式二阶行列式，在线性方程组中在线性方程组中, , 若若 表示系数矩阵表示系数矩阵, ,A则也称则也称 为系数行列式为系数行列式. .A6福福 州州 大大 学学 made by syhuang若记若记 1112112111122122222212, , aabaabDDDaabaab 112222122122111112112212212122babab aa bDx,aaa aa aDaa 则式则式(2.2)(2.

5、2)可简便地记作可简便地记作(1,2)iD iDi 其其中中为为 中中的的第第 列列由由右右端端常常数数项项替替换换而而得得11121211 2121221112112212212122 ,ababa bb aDxaaa aa aDaa 7福福 州州 大大 学学 made by syhuang为了类似的求解三元线性方程组为了类似的求解三元线性方程组 (2.4)(2.4)111122133121122223323113223333 ,a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 定义三阶矩阵定义三阶矩阵111213212223313233aaaAaaaaaa 1122331223

6、31132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a adetDA A 111213212223313233aaaaaaaaa记作记作的行列式为的行列式为8福福 州州 大大 学学 made by syhuang333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 说明说明: 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号1 5 92 6 73 4 8 123

7、123如如 456 4567897893 5 72 4 91 6 8 0 注意注意: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式9福福 州州 大大 学学 made by syhuang用消元法可得线性方程组（用消元法可得线性方程组（2.42.4）的解为）的解为111213212223313233aaaDaaaaaa 112131111311121122223221223321222332333133331323, , baaabaaabDbaaDabaDaabbaaabaaab, 1,2,3iiDxiD(1,2,3)iD iDi 其其中中为为 中中的的第第 列列由由右

8、右端端常常数数项项替替换换而而得得对于线性方程组对于线性方程组(2.4)(2.4)，若记，若记，0D 则当则当时时,10福福 州州 大大 学学 made by syhuang .12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解1223 D)4(3 , 07 112211D ,14 221312D ,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 11福福 州州 大大 学学 made by syhuang二、二、代数余子式与代数余子式与 阶行列式的定义阶行列式的定义 n111213212223313233aaaaaaaaa112233233212213323311

9、321322231 () ()() aa aa aaa aa aaa aa a2223212321221112133233313331321+11+21+3111112121313 (1)(1)(1)aaaaaaaaaaaaaaaa Ma Ma M 记记成成三阶行列式（三阶行列式（2.52.5）可以写成）可以写成332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa （2.62.6）其中其中 是三阶行列式中划去元素是三阶行列式中划去元素 所在的行所在的行和列后，余下的元素按原来的位置次序构成的二阶行列式和列后，余下的元素按原来的

10、位置次序构成的二阶行列式. .1 jM1 ja(1,2,3)j 12福福 州州 大大 学学 made by syhuang下面给出下面给出 阶阶行列式行列式( (determinantdeterminant) )的的递推定义递推定义. . nA1111aa 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 111212122212nnnnnnaaaaaaDdet AAaaa11()a A定义定义2.12.1 (1) (1)一阶矩阵一阶矩阵 的行列式定义为的行列式定义为(2) (2) 阶矩阵阶矩阵(2)n n 的行列式记作的行列式记作13福福 州州 大大 学学 made by syhua

11、ng111212122212nnnnnnaaaaaaDdet AAaaan阶行列式定义阶行列式定义 1+11+21+n1111121211(1)(1)(1)nna Ma Ma M 1+111(1)njjjjaM 212(1)2(1)2313(1)3(1)31+111(1)(1)(1) jjnnjjnjjjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaa 14福福 州州 大大 学学 made by syhuang定义定义 （1）在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的所在的第第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列阶行列式叫做元素式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记

12、作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1 )2(叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 余子式与代数余子式余子式与代数余子式书书P4415福福 州州 大大 学学 made by syhuang,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 122112

13、1MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别如作业题：如作业题：书书P74 一一216福福 州州 大大 学学 made by syhuang11a12a22a21a2211aa .2112aa 12121111AaAa 22222121AaAa 21211111AaAa 22221212AaAa .按第按第1行行的展开式的展开式.按第按第2行行的展开式的展开式.按第按第1列列的展开式的展开式.按第按第2列列的展开式的展开式因

14、此，因此，二阶行列式二阶行列式可表示为可表示为它的任一行它的任一行(列列)的各元素与其的各元素与其对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和 17福福 州州 大大 学学 made by syhuang同理，三阶行列式同理，三阶行列式还可以还可以写成写成 111213212223111112121313313233 aaaaaaa Ma Ma Maaa就是说，就是说，三阶行列式三阶行列式也可表示为也可表示为它的任一行它的任一行( (列列) )的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和. .111112121313212122222323313132323333

15、111121213131 a Aa Aa Aa Aa Aa A a Aa Aa A a Aa Aa A121222223232131323233333a Aa Aa Aa Aa Aa An对于对于 阶行列式，我们不加证明的给出如下的定理：阶行列式，我们不加证明的给出如下的定理：18福福 州州 大大 学学 made by syhuang1122det()ijiiiiininaa Aa Aa A ni, 2 , 1 njnjj2j2j1j1AaAaAa )n, 2 , 1j ( .按按第第i行行的展开式的展开式.按按第第j列列的展开式的展开式定理定理2.1 Laplace按行按列展开定理按行按列展

16、开定理注：注：在实际展开时在实际展开时:(1) 常按含常按含“0”元较多的行或列展开元较多的行或列展开 (以简化计算以简化计算).（2 2）还可先利用性质将某一行（或列）化为仅含一个）还可先利用性质将某一行（或列）化为仅含一个非零元再按此行（或列）展开，非零元再按此行（或列）展开，降降为低一阶行列式，为低一阶行列式，如此继续，直到化为三阶或二阶行列式计算如此继续，直到化为三阶或二阶行列式计算. .19福福 州州 大大 学学 made by syhuang121x3 1) D= x20,(1,2)514A8,D2)D 例例2 2已已知知行行列列式式中中元元素素的的代代数数 余余子子式式求求已已知

17、知四四阶阶行行列列式式 中中第第三三列列元元素素依依此此为为1,2,0,-1,1,2,0,-1,对对应应的的余余子子式式分分别别为为3,-2,4,5,3,-2,4,5,求求D D的的值值20福福 州州 大大 学学 made by syhuang2123 ( )114x.f xxxxx 例例中中项项前前的的系系数数(即即书书P45 例例2.4)7另如作业：书另如作业：书P76 二二26 21福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例4 4. .计计算算下下列列行行列列式式n21 n21 v(书书P46 例例2.7)nn2n1n222111aaa0aa00annn222n11211

18、a000aa0aaann2211aaa nn2211aaa 22福福 州州 大大 学学 made by syhuang12,1211,1nnnnnnnnaaaaaa ？n21 (1)21 2( 1) n nnv 重要公式重要公式 (书书P46 例例2.6)(1)212,11( 1)n nnnna aa23福福 州州 大大 学学 made by syhuang2.2 行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置转置行列式行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 TDD 24福

19、福 州州 大大 学学 made by syhuang 互换互换行列式的两行（列）行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853推论推论 如果行列式有如果行列式有两行（列）两行（列）完全完全相同相同，则，则此行列式此行列式为零为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 25福福 州州 大大 学学 made by syhu

20、ang 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk行列式的某一行（列）中所有元行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面素的公因子可以提到行列式符号的外面111213111213212223212223313233313233 aaaaaakakakak aaaaaaaaa 如如在应用此性质时常倒过来用，如在应用此性质时常倒过来用，如211121311121302122232122233132333132331 r()k kaaaaaaaaaaaaaaaaakkakk(数乘数

21、乘) 26福福 州州 大大 学学 made by syhuang而矩阵提取公因子是提取矩阵中所有元素而矩阵提取公因子是提取矩阵中所有元素的公因子的公因子11122122kakalala 如如: : 11122122aal kaa 1112111221222122kakaaakkakaaa 注意注意:行列式提取公因子是行列式提取公因子是提取提取某行某行(或某列或某列)的公因子的公因子27福福 州州 大大 学学 made by syhuang推论推论1行列式中如果有两行（列）元素行列式中如果有两行（列）元素成比例成比例，则此，则此行列式为零行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakaka

22、kaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 如果行列式有如果行列式有两行（列）两行（列）完全完全相同相同，则此行列式，则此行列式为零为零. . 0 28福福 州州 大大 学学 made by syhuang行列式的某一行行列式的某一行(列列)元素元素全为零全为零则行列式为零则行列式为零推论推论1行列式中如果有两行（列）元素行列式中如果有两行（列）元素成比例成比例，则此，则此行列式为零行列式为零 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式

23、. .kk(数乘数乘) 12 30 0 03 12例如 1 2 30 0 0 03 1 2 029福福 州州 大大 学学 made by syhuang性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如(拆分拆分) 30福福 州州 大大 学学 made by syhua

24、ng231231124263D例如 232331311224231126注意：一次拆一行注意：一次拆一行(列列)一次也只能一次也只能“合合”一行一行(列列)31福福 州州 大大 学学 made by syhuang性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjni1nj2j2j2i221n1j1j1i111jiaa)kaa(aaa)kaa(aaa)kaa(akcc k例如例如(倍加

25、倍加保值变换保值变换) 32福福 州州 大大 学学 made by syhuangjirkr jickc 21111213111213212223211122122313313233313233rkraaaaaaaaaakaakaakaaaaaaa 将行列式的第将行列式的第 列乘数列乘数 加到第加到第 列，记作列，记作ijkjki将行列式的第将行列式的第 行乘数行乘数 加到第加到第 行，记作行，记作变化的是第变化的是第2 2行，行，如如此变换此变换保持行列式值不变是因为保持行列式值不变是因为1112131112131112132111221223132122231112133132333132

26、33313233aaaaaaaaaakaakaakaaaakakakaaaaaaaaaa第二式为第二式为033福福 州州 大大 学学 made by syhuangijkrr 注意注意: :记号记号 与与 是不同的，是不同的，jirkr ijkrr 121112131121122213232122232122233132333132331krraaakaakaakaaaaaaaakaaaaaa 表示进行了两次变换，表示进行了两次变换，首先将第首先将第 行乘数行乘数 ，ik其次将第其次将第 行加到已经变化了的第行加到已经变化了的第ji行上，行上，所以进行变换后第所以进行变换后第 行没有变化行没有

27、变化. .如如j书书P50 附注附注34福福 州州 大大 学学 made by syhuang123.231312 例例1 1 计计算算D1230153121230150571230150018212rr213rr325rr18 计算行列式常用方法计算行列式常用方法：利用：利用对行列式的行对行列式的行(或或列列)变换变换把行列式把行列式化为上化为上(下下)三角形行列式三角形行列式，从而算得行列式的值从而算得行列式的值. 常用常用 “有有1调调1, 无无1造造1”方法方法835福福 州州 大大 学学 made by syhuang 练习练习4：39页页 674-78 页页 二二25,27 ; 三

28、三41,43(1) 36福福 州州 大大 学学 made by syhuang35123714.59274612例例2 2 计计算算351221rr6206110311100312rr41rr1 362611113111 0 （ ）3132 113111 03112 3 111111 0 3016 101111 023cc3 2316 1111 1 （ ）66 426437福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例3 计算下列行列式的值计算下列行列式的值123423413412412314cc10 2 3 410 3 4 110 4 1 210 1 2 313cc12cc123

29、413411014121123123401131002220111= 160(即书即书P51 例例2.9)思考：思考： 书书P51 例例2.1038福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例4 计算下列行列式的值计算下列行列式的值1111111111111111xxxx技巧技巧: 列全加，化上列全加，化上另如另如作业作业: P78 题题43 (7)作业作业: P78 题题43 (8)39福福 州州 大大 学学 made by syhuang课后思考课后思考: : 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解12ncccabbbbabbDbbabbbba

30、abbbnababbnabbabnabbbbna1111 技巧技巧: 列全加，化上列全加，化上40福福 州州 大大 学学 made by syhuang i1r ri 2,3, nbbb1a ba (n 1)ba ba b .)() 1(1 nbabna 11(1)11bbbabbanbbabbba 41福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例5. 已知已知1326,2743,5005,3874都能被都能被13整除整除,试证试证:不需计算行列式的值不需计算行列式的值,行列式行列式整除整除也能被也能被134783500534726231解：解：13261321326274327

31、42743 50055005005387438738744310cc42100cc411000cc第四列可提公因子第四列可提公因子13， 行列式可被行列式可被13整除。整除。 类似作业：类似作业： 书书P80 题题6242福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例6（公式公式） 范德蒙德范德蒙德 (Vandermonde)行列式行列式1222212111112111().nnnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx 书书P5143福福 州州 大大 学学 made by syhuang利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例如例如计算计算 利用范德蒙行列式计算行列利用范

32、德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。41111123414916182764D D222233331111123412341234上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知解解1441 312142324312()()()()()()()ijjiDxx 另外练习另外练习: 书书P74 一一644福福 州州 大大 学学 made by syhuang评注评注本题所给行列

33、式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，素的不同方幂， 有时其方幂次数或其排列与范德蒙行列式有时其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式将此行列式化成化成范德蒙行列式范德蒙行列式证明中证明中 递推技巧递推技巧 进一步应用：进一步应用：书书P52 例例2.12 及作业题及作业题P77 三三(2) (课后加强课后加强)45福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例7 7（公式）（公式）nnnnnknkkkkkbb

34、bbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明(书书P53 例例2.13)46福福 州州 大大 学学 made by syhuang证：证：;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqp

35、qqD 设为设为47福福 州州 大大 学学 made by syhuang,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb 48福福 州州 大大 学学 made by syhuang性质性质6 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余

36、子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 0221111111111= (*) niinjjjnjnjjnnnnaaaaaAaADaaaa证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 将将(*)中中949福福 州州 大大 学学 made by syhuang11111111= (*) niinjjjnjnjjnnnnaaaaaAaADaaaa可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 将将(*)中中11111111n ni ii in ni ij ji in nj jn ni ii in nn nn

37、 n n na aa aa aa aa a A Aa aA Aa aa aa aa a 行行第第 j行行第第 i相同相同 0, 50福福 州州 大大 学学 made by syhuang11111111n ni ii in ni ij ji in nj jn ni ii in nn nn n n na aa aa aa aa a A Aa aA Aa aa aa aa a 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同 将将(*)中

38、中0, 思考：书思考：书P74 一一951福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例8.)3(,)2(,)1(,),(,31423131501112532423222141311114131211MMMMAAAAAAAAMjiDDijij 求求和和依次记作依次记作式式元的余子式和代数余子元的余子式和代数余子的的设设(类似书类似书P55 例例2.14)(1)即求第一行代即求第一行代数余子式之和数余子式之和(3)即求第二行即求第二行余子式之和余子式之和52福福 州州 大大 学学 made by syhuang111213141 ( )AAAAAAAA.4 3521110513132

39、413D D 111213143521AAAAAAAA 1111110513132413 53福福 州州 大大 学学 made by syhuang113141(2)AAAAAA.125 3521110513132413D D 112131410AAAAAAAA1521010513131413 1121314131( 1)2AAAAAAAA 54福福 州州 大大 学学 made by syhuang21222324(3)MMMMMMMM2 12 22 32 421222324( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)MMMMMMMM 3142313111111253 .10 352111

40、0513132413D D 21222324110( 5)AAAAAAAA 24232221AAAA 55福福 州州 大大 学学 made by syhuang性质性质7 7 设设 阶方阵，阶方阵， 为为m 阶方阵，则阶方阵，则,A Bn为为C(1) TAA ; (2) nAA ; (3) ,AOOA A C DCCD (1)mnA C 注注: C中每行中每行都与都与A中所有中所有行对调，共行对调，共有有mn次对调次对调书书P56(如书如书P58 例例2.17)(4) ABA B , .BAAB 注意：注意： 1) 1) 性质性质(4)(4)要求要求A,BA,B都是方阵才成立，因方阵才有都是方

41、阵才成立，因方阵才有行列式行列式. . ABBAA B 但但有有ABBA, 2)设设A,B为为n阶方阵，一般地阶方阵，一般地，3) ABCCBmmmn则则设设, AnmCABCBA 56福福 州州 大大 学学 made by syhuangBABA 1010 A,0101B如如注意注意:4）一般地）一般地10()?T TABAB1()?ABAB (如书如书P38 提高题提高题3)1,T TA AA A A AE E 且且例例10 设设A为为n阶方阵阶方阵0AEAE求证求证(即书即书P81 题题64)例例11 求证奇数阶求证奇数阶反对称阵反对称阵的行列式为的行列式为0(反对称阵定义在书反对称阵定

42、义在书P16)(即书即书P80 题题61)010974100863980527650143210 如如=057福福 州州 大大 学学 made by syhuang5,3,23,2A BABAB 设设 阶阶方方阵阵除除第第 列列外外其其余余元元素素都都相相同同, ,求求例例12 另如作业：书另如作业：书P74 一一7 (即书即书P57 例例2.16)思考思考： 书书P58 例例2.1858福福 州州 大大 学学 made by syhuang 练习练习5 77-81 页页 三三 39; 40; 43(8); 45; 65 59福福 州州 大大 学学 made by syhuang2.3 行列式

43、的应用行列式的应用 一一 、克拉默克拉默(Cramer)法则法则设设n n个方程个方程n n个未知数的非齐次线性方程组为个未知数的非齐次线性方程组为11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 60福福 州州 大大 学学 made by syhuang如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa定理定理2.2 克拉默法则克拉默法则 且解可以表示为且解可以表示为那么线性方程组那么线性方程组(1)有唯一解，有唯一解， .DDx,DDx,DDx,

44、DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjn61福福 州州 大大 学学 made by syhuangnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 定理定理2.32.3 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. .对于对于齐次齐次线性方程组线性方程组 1111221211222211220020nnnnnnnnna x

45、a xa xa xa xaxa xaxax 62福福 州州 大大 学学 made by syhuang定理定理2.42.4 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 , ,则齐次线性方程组则齐次线性方程组 (2)(2)只有零解只有零解. .0 D方程组方程组(2)(2)是方程组（是方程组（1 1）的特例，将定理）的特例，将定理2.22.2应用到方程应用到方程组组(2)(2)得到得到定理定理2.52.5如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2) (2) 有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. . 0002211222212112121

46、11nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .今后可证今后可证: :系数行列式系数行列式 0 D63福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例1 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 111132421D解解 10111243164福福 州州 大大 学学 made by syhuang001121223312)1(13 cc 111132421D解解 101112431 1331212332212cc)2)(3( 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零

47、解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 65福福 州州 大大 学学 made by syhuang二、矩阵求逆公式二、矩阵求逆公式 1. 定义定义2.2 伴随矩阵伴随矩阵 (adjoint matrix)112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵,(),ijn nijijAaaAn 设设矩矩阵阵元元素素的的代代数数余余子子式式按按如如下下的的顺顺序序构构成成的的 阶阶矩矩阵阵A 记记为为例如例如. 求二阶矩阵求二阶矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.dcbaAacbdA(另：书另：书P62 例例2.21)66

48、福福 州州 大大 学学 made by syhuang定理定理2.6n n()ijAa,AAA AA E. 设设则则证明证明 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOOEA 书书P6267福福 州州 大大 学学 made by syhuang证明证明若若 可逆，可逆， A.EAAA 11使使即即有有, 11 EAA故故.0 A所所以以,0时时当当 A利利用用AAA AA E,EAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定

49、义得证毕证毕定理定理2.72.7 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA ,11 AAA且且书书P6368福福 州州 大大 学学 made by syhuang定理定理2.72.7 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 .,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA AA是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是为为非非奇奇异异矩矩阵阵,11 AAA且且11A,A.A 从从证证明明中

50、中可可知知: :若若 可可逆逆 则则有有 .,1 ABEBAEAB则则或或若若推论推论书书P30 (已证已证)书书P63 69福福 州州 大大 学学 made by syhuang.1 AB则则若若n 阶方阵阶方阵 A, B 满足满足 , EBAEAB或或推论推论定理定理2.72.7 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA ,11 AAA且且, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 证毕证毕证明证明 : 1A1170福福 州州 大大 学学 made by syhuang 0adbcA2 当

51、时， 可逆， 0adbcA1 当时， 不可逆；解解1AAA且 1.dbcaad bc 例例3 3 讨讨论论的的可可逆逆情情况况？ 当当可可逆逆时时求求其其逆逆矩矩阵阵. .a ab bA Ac cd d1171福福 州州 大大 学学 made by syhuang123231180312A 解解 ：.1存在存在 A113 15,12A 12211,32A 1 1 2 2 3 3例例4 4 设设2 2 3 3 1 1，问问是是否否可可逆逆？3 3 1 1 2 2若若可可逆逆求求其其逆逆矩矩阵阵. .A AA A72福福 州州 大大 学学 made by syhuang同理可得同理可得132122

52、237,1,7,5,AAAA 3132337,5,1,AAA 517175751,A 得得故故 AAA1151711751875173福福 州州 大大 学学 made by syhuang3. 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2AA .111 AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1AB BB1 1 A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A,AA*若若 可可逆逆，则则也也可可逆逆-1

53、-1() =()A*A*且且有有(5)(即书即书P64 例例2.23)及作业：书及作业：书P80 三三5174福福 州州 大大 学学 made by syhuang3. 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质,AA*若若 可可逆逆，则则也也可可逆逆-1-1() =()A*A*且且有有(5)另证另证 : 0 AAA AA E1 1 由由,0时时当当 A,AAAAEAA有有11()-AA*A02 AAA AA E由由,0时时当当 A1有有AA A1111-AAA则则有有（）（）1AA -1-1() =()A*A*75福福 州州 大大 学学 made by syhuang例5 设A是三阶方阵,且 求(类似

54、类似书书P64 例例2.24 及及作业作业: 书书P80 题题52) 解 因为 ， 所以解这类题目，关键是把行列式中A-1、A*化为同一符号.83)31(81)21(113A76福福 州州 大大 学学 made by syhuang( (一）一） 定义定义2.32.3 k k阶子式阶子式 列列行行中任取中任取矩阵矩阵在在kkAmn (kmin m,n ), 位于这些行、列交叉处的位于这些行、列交叉处的2k个元素，个元素，.阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵k k阶行列式，阶行列式，中所处的位置次序而得的中所处的位置次序而得的kA不改变它们在不改变它们在A例如例如123412451 1012A24

55、102A的一个的一个2阶子式阶子式三、矩阵秩三、矩阵秩77福福 州州 大大 学学 made by syhuang mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211一般情况下，设一般情况下，设则则A的的k阶子式有多少个？阶子式有多少个？个。阶子式有的矩阵knkmCCkAnm78福福 州州 大大 学学 made by syhuang010R(4)2.ArD.rDArAA . 设设在在矩矩阵阵中中有有一一个个不不等等于于的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话）全全等等于于 ，那那末末称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵的的秩秩

56、，记记作作并并规规定定零零矩矩阵阵定定的的秩秩等等于于零零义义.)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显然有显然有显然有：显然有：0()min, R Am n79福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例1. 设设A为为n阶方阵，且阶方阵，且R(A)=rn, 则则 (A) A的每个的每个 r 阶子式不为零阶子式不为零 (B) A必有一个非零的必有一个非零的 r 阶子式阶子式(C) A的每个的每个 m (r) 阶子式必为零阶子式必为零.)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零

57、的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm 有一个有一个允许某些低阶允许某些低阶( r)为为0，但不能全为，但不能全为080福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例2.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR81福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例3.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B(是否有是否有3阶非零子式阶

58、非零子式? ), 0400230312 而而. 3)( BR=B的行阶梯形矩阵的的行阶梯形矩阵的 非零行行数非零行行数82福福 州州 大大 学学 made by syhuang(二二) 矩阵的秩求法矩阵的秩求法 Amnr行阶梯形行阶梯形r行最简形行最简形c标准形标准形注：初等变换不改变行阶梯形矩阵中非零行行数！注：初等变换不改变行阶梯形矩阵中非零行行数！. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA 矩阵的秩矩阵的秩 2 .8AB,R AR B .若若则则1.1.定定理理说明：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩说明：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.问：问：等秩是否等价？等秩是否等价？83福福 州州 大大 学学 made by syhuang2. 利用初等行变换求矩阵秩的方法：利用初等行变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯行阶梯形矩阵中形矩阵中非零行的行数非零行的行数就是矩阵的就是矩阵的