经典力学课件：第4章惯量张量

1、xyzoxyzijkiiiirxiy jzk在Oxyz坐标系下()iiii iiJrm vm rr AAA(BC )= (C )B - (B )C由2() iiiiJm rrr得代入xyzijkiiiirxiy jzk222222222()()()()j + ()()iiiixixiyiziiiiiyixiyiziiiiizixiyiziJmxyzxyzx imxyzxyzymxyzxyzz k + 222222()()()iiixiiiyiiiziiixiiiyiiiziiixiiiyiiizm yzm x ym x zim y xm zxm y zjm z xm y zm xyk -可得x

2、yzJJ iJ jJ k即222222()()()xiiixiiiyiiizyiiixiiiyiiizziiixiiiyiiizJmyzm x ym x zJm y xmzxm y zJm z xm z ymxy -222222()()()xxiiiyyiiizziiixyiiixziiiyxiiiyziiizxiiizyiiiIm yzIm zxIm xyIm x yIm x zIm y xIm y zIm z xIm z y ， ， ， 令xyyxxzzxyzzyIIIIII ， ， 显然有xxxxxyxxzxyyxxyyyyzzzyxxzyyzzzJIIIJIIIJIII 则其中Ixx、

3、 Iyy、I zz分别是刚体相对x、y、z轴的转动惯量；Ixy、 Iyx、I xz、Izx、 Iyz、I zy是交叉项，称作惯量积。222222()()()xxxyyxyyxzzxzzyzzyIyzdmIIxydmIzxdmIIxzdmIxydmIIyzdm , , , 若是连续的质点组，应该是积分n 角动量的矩阵形式xxxxyxzxyyxyyyzyzxzyzzzzJIIIJIIIIIIJ以上，以上，Ixx、Ixy、Izz等等9个量组成了个量组成了一个张量，称为一个张量，称为惯性张量惯性张量。00 xxxxyxzxzzyyxyyyzyzzzxzyzzzzzzzJIIIIJIIIIIIIIJ 当

4、z轴与转轴重合时，xy0。角动量矩阵简化为2kk111E2211()()22()E()2iiiiiiiiiim vm v vm vrrm vABCBCAJ =）即代入xyzijkxyzJJ iJ jJ k可得222kxxxyyyzzz1E(2222)yzyzzxzxxyxyIIIIII 2k1EI2而对比上两式，可得转动惯量I的表达式222xxxyyyzzz2yzyzzxzxxyxy1(222)IIIIII (coscoscos)xyzijkijk又因为代入上式可得xxyyzzyzzxxy(coscoscos2coscos2coscos2coscos)IIIIII若将cos，cos，cos分别

5、记为，和xxyyzzyzzxxy(222) IIIIIIxxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIII =对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴为坐标轴，则可消除掉交叉项Iij。例如z轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点（xi，yi，zi），总存在一个对称点（xj，yj，zj），并有xixj，yiyj，zizj0 xzzxiiiyzzyiiiIIm x zIIm y z=0 角动量 转动惯量动能xxyyyzzzJ=Ii+Ij+Ikx222xxyyzz(coscoscos)IIIyz222kxxyyzz1E =(I+I+I)2x 角动量xyzJ00J0000JxxxyyyzzzI

6、II 转动惯量xxyyzz000000III = 动能xxyyzz000000 xxyzyzIII k1E =2LLyxzABROzxzxJJzJxJ1xzJ2以O点为原点，z轴沿盘面的法线方向，建立Oxyz坐标系，z轴、x轴和转轴在一个平面内。(sincos)xzikij（）则22xxzz11ImRmR42，22211J=mR(sincos4211mRsincos42ik）（+）而所以本题可以这样考虑，将Jx和Jz分别向转轴方向投影并求和，得到J的转轴分量为J1xz222JJ sinJ cos11mR(sincos)421JI22211mR (sincos)42I而得到JJzJxJ1xzJ2

7、J2(t)J2(t+t)J J2 2J J2 2J的变化是由于J的与轴垂直的分量J2变化所致。J2绕转轴以的角速度旋转。2zx22J =J sinJ cos11mR(cossinsincos)241mRsin 28J2的大小不变，但方向变化。222221J =JmRsin 28J1=mRsin 28t1mRsin 28dddd22222J M2FLtJ1F=m Rsin 2t16Ldddd12LABCDABCDCDBADCPAPAAr = r + rV= V + V= V + VOrPrAAPrVVPVAVAPAVV =r(rr )PAPAAAPAdrdrddrV=(r + r) =+dtdtdtdtdrdrd rVrdtdtdtd r0dtVVr ， （刚体，P到A的距离恒定）以A为基点时PAAAV= V +r BAABAV= V +r(r = rr ) 证明：O为固定参照点，P为刚体上任一点，A、B是任选的两个基点。以A为基点时以A为基点，B点的速度为PBBBV= V+r 代入VP的表达式，得到PAABBAABABBPAAAABABBAAV= V+rr V+(rr )r V= V+r (rr )r r BAABAABBBAA