经典力学：习题课4－动量

1、力学力学习题课习题课四、动量及动量定理四、动量及动量定理例例4.1 4.1 一气球下挂有一个软梯，总质量为一气球下挂有一个软梯，总质量为M M，在软体，在软体上站有一个质量为上站有一个质量为m m的人。她们在浮力的人。她们在浮力F F作用下加速上作用下加速上升。若人相对于软梯以加速度升。若人相对于软梯以加速度aa向上爬，问此时，气向上爬，问此时，气球上升的加速度为多少？球上升的加速度为多少？MFmaaoy【解法解法1 1】直接将牛顿定律应用于质点组直接将牛顿定律应用于质点组mMaaa而而()()MmMMFmM gMamaMam aa即即1()()()()MMaFmM gmamMFmagamMm

2、M结果正确，但理论上没有依据，因为牛顿定律仅适用于质点。结果正确，但理论上没有依据，因为牛顿定律仅适用于质点。设气球和人相对于地面的加速度分别为设气球和人相对于地面的加速度分别为 a aM M、a am m 。则有则有【解法解法2 2】对各质点写出动力学方程再求和对各质点写出动力学方程再求和两式求和两式求和mm fmMmFFmgFma人：人：()()m fMfmMFFmM gmaMa得到正确的结果，但该解法无新意，没有用到质点组的概念得到正确的结果，但该解法无新意，没有用到质点组的概念MMfMmMFFMgFMa气球：气球：() ()mMMFmM gmaMamamM a即即1()()MaFmM

3、gmamM也得到也得到【解法解法3 3】用非惯性系（以气球为参照系）用非惯性系（以气球为参照系）人：人：m fmMMFFmgmamaMfMmMFFMgMa两式求和两式求和()()m fMfMMFFmM gmamaMa得到正确的结果，但该解法无新意，与解法得到正确的结果，但该解法无新意，与解法2 2相同相同气球：气球：() ()mMMFmM gmaMamamM a有有1()()MaFmM gmamM也得到也得到【解法解法4 4】用质心的动量定理（相对地面，静止系）用质心的动量定理（相对地面，静止系） 质心坐标质心坐标()()MmMmccMymyMymyyyMmMmmMyya而而()()cFMm

4、gMm y合外力合外力()()()MMMFMm gMym yaMm yma即即 1MMyaFmM gmamM()() 最后得最后得M MF Fm maao oy yy yM My yc cy ym ma aM M【解法解法5 5】用质心系用质心系设设v vmcmc和和v vMcMc分别为人和气球在质心系中的速度分别为人和气球在质心系中的速度因为质心系是零动量系，应有因为质心系是零动量系，应有McmcMvmv 等式两边加等式两边加 mvmvMcMc()()McMcMcmcMcMcmcmMmvMvmM vmvmvm vvmv 即即()McmMmM vmv 等式两边对等式两边对t t求导求导()Mc

5、MccFaaaagmM()()McMcmMmmvavamMmM 等式两边对等式两边对t t求导求导()()1()()MMccMFmaaFmM gmamaagamMmMM例例4.2 4.2 质量为质量为M M，长为，长为L L的木船浮在静止的水面上。一的木船浮在静止的水面上。一质量为质量为m m的人站在船尾，从静止开始以恒定速率的人站在船尾，从静止开始以恒定速率v v0 0相相对船走向船头，当他到达船头时突然停止。若水对船对船走向船头，当他到达船头时突然停止。若水对船的阻力的阻力f f与船相对水的速率与船相对水的速率u u成正比，即成正比，即 f fkuku，求，求船的运动规律。船的运动规律。【

6、解解】分几个阶段求解分几个阶段求解 起步阶段。人从静止加速到起步阶段。人从静止加速到v v0 0的瞬间，该过程极短，阻力的瞬间，该过程极短，阻力可忽略，系统的动量沿水平方向守恒。可忽略，系统的动量沿水平方向守恒。设此时船速设此时船速v vM M，应有，应有000000mMMmMmvMvmvmM vvvv();()00Mm vvmM 即即（负号表示船速与人的速度方向相反）（负号表示船速与人的速度方向相反） 人的行走阶段。人的行走阶段。系统动量系统动量0()MpmvmM v00MMkvdvdvdtdtmM ()，0()MMdvdvmmMkvdtdt 即有即有Mdpkvdt 系统受到阻力系统受到阻力

7、 ，据动量定理有，据动量定理有Mfkv 可得可得MMdvkdtvmM ()积分得积分得0MkkttmMmMMmvvveemM ()()()0 0当人到船尾时当人到船尾时0Ltv此时此时010()()MMkLmM vmvvemvM （上式说明船速按指数衰减）（上式说明船速按指数衰减） 人到船头突然停止。该过程很短，可不考虑阻力，则系统沿人到船头突然停止。该过程很短，可不考虑阻力，则系统沿水平方向动量守恒。设人停止时船速水平方向动量守恒。设人停止时船速v vM2M2，应有，应有012()()MMm vmMvmMv002010()()()()kLm M vMMmvmmvvvvemMmMmM即即得到得

8、到00210()()()kLmM vMmvvemM( (v vM M 2 2 0 0说明，在人行走阶段，系统从阻力得到向右的动量）说明，在人行走阶段，系统从阻力得到向右的动量） 以后的运动。系统受到阻力以后的运动。系统受到阻力 f = -kvf = -kvM M2 2( (与与x x轴相反）轴相反）22()MMdvmMkvdt 应有应有22()MMdvkdtvmM 即即220ktmMMMvve() 积分得积分得（式中（式中tt是以人刚停下作为是以人刚停下作为0 0时刻）时刻）得到得到0021kLktmM vmMMmvveemM()()()() 计算船移动距离。计算船移动距离。a. a. 在在0

9、 0L/vL/v0 0时间内，设船移动时间内，设船移动 x x1 1000100L vL vMmvxv dtdtmM/() （负号表示船移动方向（负号表示船移动方向为为x x轴反向）轴反向）即即0011kLmM vmvxek() b. b. 在在0 0tt时间内，设船移动时间内，设船移动 距离距离x x2 2 。22202002010kktmMtttmMMMMxvdtvedmvxmMekt)()()总距离总距离 x x x x1 1 x x2 20000111kLkLktm M vm M vm Mmvmvxeeekk()()()() 当当tt时时 x0 x0。即船开始向左移动，后向右移动，最后

10、回到原点。即船开始向左移动，后向右移动，最后回到原点。002011kLktm M vm MMmvmvxemMekk()()() n分析：分析：船最终回到原点并不依赖人的行走方式。船最终回到原点并不依赖人的行走方式。( )( )dxu tvtdt 人相对速度人相对速度设船速设船速()pm uvM u质点系动量质点系动量dpddumuvMkudtdtdt ()即有即有或或mdvmMdukudtkdx ()对上式积分，并考虑到对上式积分，并考虑到00fftvvuu ,当当tt时时0000ffvuxvumdvmM dukdxkx ()00000tvvuu, ,即即tt时，时，x x0 0例例4.3 4

11、.3 一个一个9090。弯水管，上端半径为弯水管，上端半径为d1d1，下端半径为，下端半径为d2d2，水流量，水流量为为q q（单位时间内；流过管子的水的体积），水的密度为（单位时间内；流过管子的水的体积），水的密度为。试。试求水管的弯处由于水的流动而产生的附加压力。求水管的弯处由于水的流动而产生的附加压力。【解解】取水管内取水管内ABCDABCD这一段这一段的水为研究的质点系。的水为研究的质点系。121qvd 在在CDCD处（下端）进水流速为：处（下端）进水流速为：222qvd 在在ABAB处（上端）进水流速为：处（上端）进水流速为：分析：分析：ABCDABCD这段水的动量变化，经这段水的动

12、量变化，经tt时间，时间，ABAB处的液面到达处的液面到达ABAB面处，以面处，以v1v1速度下降；速度下降；CDCD处的液面到达处的液面到达CDCD面处，以面处，以v2v2速度出射；速度出射；ABCDABCD间的水的状态与间的水的状态与t t时刻相同，动量无变化。时刻相同，动量无变化。所以系统的动量改变为：所以系统的动量改变为：AB ABAB AB间的水动量消失（垂直方向动量消失）；间的水动量消失（垂直方向动量消失）；CD CDCD CD间的水动量增加（水平方向动量增加）间的水动量增加（水平方向动量增加）在在AB ABAB AB间水损失的体积：间水损失的体积：在在CD CDCD CD间水增加

13、的体积：间水增加的体积：且有：且有：12VV 1211Vd v dt 2222Vd v dt 则有：则有：2222222222xdpVvd v dt vd vdt 1122211111ydpVvd v dt vd vdt 所以：所以：222221112211yydpqqFd vddtdd 222222222222xxdpqqFd vddtdd 222441211xyqFFFdd 例例4.44.4：一电机重：一电机重P P，其外壳用螺杆固定于水平基座上。，其外壳用螺杆固定于水平基座上。有长为有长为2l2l，重为，重为p p的匀质杆，其一端与电机轴固连，并的匀质杆，其一端与电机轴固连，并与轴垂直；

14、另一端则连着一个重为与轴垂直；另一端则连着一个重为Q Q的钢球。若电机转的钢球。若电机转轴以匀角速度轴以匀角速度转动，试求作用在螺杆上的作用力。转动，试求作用在螺杆上的作用力。（设电机的质心就在转轴处，钢球的体积可忽略）（设电机的质心就在转轴处，钢球的体积可忽略）【解解】如图所示，以转轴为原点建立直角坐标系。如图所示，以转轴为原点建立直角坐标系。22cos,sinxltylt 电机的的质心坐标为（电机的的质心坐标为（x x1 1，y y1 1） ：1100,xy 设杆的的质心坐标为（设杆的的质心坐标为（x x2 2，y y2 2） ：钢球质心坐标（钢球质心坐标（x x3 3，y y3 3）为：

15、）为：3322cos,sinxltylt 则电机系统质心坐标（则电机系统质心坐标（x xc c，y yc c）为：）为：12302=2()ccososcoscPxpxQxPpltQpltxPpQPpQ ltPpQQ 12302=2()ssininsincPypyQyPpltQpltyPpQPpQ ltPpQQ 求得系统质心加速度为：求得系统质心加速度为：22()coscxcpQ laxtPpQ 22()sincycpQ laytPpQ 可得可得iciFm a 由系统质心的动力学方程：由系统质心的动力学方程：2222()co()cossxPpQpQ lNtgPpQpQ ltg 2222()sin

16、()sinyPpQpQ lNtPpQgPpQpQ lPpQtg 螺杆处的最大水平力和垂直作用力为：螺杆处的最大水平力和垂直作用力为： 22max()ypQ lNPpQg 22max()xpQ lNg 22222222xyNNNpQ lpQ ltPpQtgg ()()cossin 222422222PpQpQ lpQlNPpQtgg ()()sin 例例4.5 4.5 水以恒定的速率水以恒定的速率v v0 0从面积为从面积为s s的喷嘴中射出，竖的喷嘴中射出，竖直向上形成水柱，将一质量为直向上形成水柱，将一质量为M M的水桶倒顶在空中。水的水桶倒顶在空中。水冲击到桶底部后，有一半的水吸附在桶底并

17、沿着桶内冲击到桶底部后，有一半的水吸附在桶底并沿着桶内壁流下，其流速可忽略；另一半水以原速率反向竖直壁流下，其流速可忽略；另一半水以原速率反向竖直溅下。求桶停在空中的高度溅下。求桶停在空中的高度h h。【解法一解法一】应用质点系动量定理应用质点系动量定理水冲击桶后，水的动量水冲击桶后，水的动量设在设在t t时间内有质量时间内有质量m m的水喷向水桶。的水喷向水桶。0pmv 水冲击桶前，水的动量水冲击桶前，水的动量（向上为正向）（向上为正向）202vvgh 而而12pmv 0mv s t 水受到桶施予的冲量为桶受水冲击的冲量之反，其冲量为水受到桶施予的冲量为桶受水冲击的冲量之反，其冲量为IMgt

18、 即即01322Mgtppmvmvmv 200322Mgtv s tvgh 据动量定理据动量定理解得解得22202220229vM ghgv s 【解法二解法二】变质量体系求解变质量体系求解分析：质量主体分析：质量主体M M，停在空中不动，停在空中不动00dvvdt, 受力受力Mg 质量附体，分成三部分：质量附体，分成三部分：00dmv sdt 不断进入桶的水，质量为不断进入桶的水，质量为相对桶的速度相对桶的速度202uvgh 吸附于桶底的水，质量为吸附于桶底的水，质量为011022dmv sdt 反向溅出的水，质量为反向溅出的水，质量为011022dmv sdt 0u （忽略其速度）（忽略其

19、速度）相对桶的速度相对桶的速度相对桶的速度相对桶的速度202uvgh 据变质量方程据变质量方程dvdmmFudtdt （向上为正向）（向上为正向）有有22000010222Mgv svghv svgh 即即200322Mgv svgh 解得解得22202220229vM ghgv s 例例4.6 4.6 一束速率为一束速率为v v0 0的水流水平地向质量为的水流水平地向质量为m m的木块喷的木块喷射，使原静止的木块获得水平方向速度，水与木块撞击射，使原静止的木块获得水平方向速度，水与木块撞击后即附着与木块，随即缓慢流失。设水流的横截面积为后即附着与木块，随即缓慢流失。设水流的横截面积为A A，

20、密度为，密度为，木块与地面间的摩擦系数为，木块与地面间的摩擦系数为。求（。求（1 1）木块的最终速率；（木块的最终速率；（2 2）木块速率与时间的关系。）木块速率与时间的关系。【解解】（1 1）求木块的最终速率，用变质量方程求解。）求木块的最终速率，用变质量方程求解。以木块为主体，质量以木块为主体，质量 m m，速度，速度 v v，动量，动量 mvmv以木块上的水为附体，它分成两部分。以木块上的水为附体，它分成两部分。喷向木块的水为喷向木块的水为质量元质量元1 1 10dmvvA t 10dmvvAdt 速度（相对于木块）速度（相对于木块） 10uvv 从木块流走的水质量元从木块流走的水质量元

21、2 2： 20dmvvAdt 速度（相对于木块）速度（相对于木块）20u 主体受外力：主体受外力：Ffmg 据变质量方程据变质量方程dvdmmFudtdt 长时间后半木块的速度为长时间后半木块的速度为v vf f，加速度为零，即，加速度为零，即 200fdvmmgvvAdt 即即 20dvmmgvvAdt （木块的运动方程）（木块的运动方程）可得到可得到0fmgvvA 由方程由方程 20dvmm gvvAdt （2 2）求解木块速率与时间的关系）求解木块速率与时间的关系改写为改写为 22200m dvvvvvA dtmgaA 或或 0220dvvAdtmavv 两边积分两边积分 022000v

22、tdvvAd tmavv 000012lnavvavAtaavvavm 得到得到 0001111tttta evevvaa eve 解得解得mgaA 2Agm 其中其中当当00,tv 00,fmgvvvvAta 【解法二解法二】将附着与木块上的水将附着与木块上的水m m作为质点系。作为质点系。设在设在t t时刻，水未附着于木块，动量时刻，水未附着于木块，动量 000fmvA vvtv 设设t+t+t t时刻，水附着于木块，动量时刻，水附着于木块，动量 0ffmvA vvtv 2000fffpA vvt vvA vvt 水动量的变化是受到木块施予的冲量水动量的变化是受到木块施予的冲量I I，而水

23、施予木块的冲量，而水施予木块的冲量是是 20fIpA vvt 木块还受到地面摩擦力的冲量冲量木块还受到地面摩擦力的冲量冲量Mgt 当当fvv 时木块受到合冲量为零时木块受到合冲量为零则则 200fMgtA vvt 可得到可得到0fmgvvA 例例4.7 4.7 一球状尘埃通过均匀密度的水蒸气云雾降落，一球状尘埃通过均匀密度的水蒸气云雾降落，液滴上的沉积率正比于单位时间液滴扫过的体积。如液滴上的沉积率正比于单位时间液滴扫过的体积。如果液滴在云雾中以静止开始运动，求长时间后液滴的果液滴在云雾中以静止开始运动，求长时间后液滴的加速度值。加速度值。【解解】液滴为球形，设尘埃质量为液滴为球形，设尘埃质量为M M0 0，半径为，半径为R R0 0，以开始降落，以开始降落时间为时间为t=0t=0，位置为坐标原点，取，位置为坐标原点，取x x轴向下。轴向下。设设t t时刻，液滴质量为时刻，液滴质量为M(t)M(t)，半径为，半径为R(t)R(t)。由题意：由题意： 330043M tMRR