高等数学：10-2 对坐标的曲线积分

1、1curvilinear integral第二节第二节 对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分问题的提出问题的提出coordinates对对坐标坐标的曲线积分的概念的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系小结小结 思考题思考题 作业作业2变力变力沿沿曲线曲线所作的功所作的功BAL:常力常力沿沿直线直线所作的功所作的功分割分割,0MA ABFW 实例实例 ),(yxFjyxQiyxP),(),( iiMM1jyixii)()( ),(111yxM,),(111 nnnyxMBMn 一、问题

2、的提出一、问题的提出对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分OxyAB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM L),(iiF ix iy iM 3求和求和 niiiiiiiyQxP1),(),( 取极限取极限 niiiiiiiyQxP1),(),( iW niiWW1 iW 取近似取近似取取 ),(iiF jQiPiiii),(),( iiiiMMF1),( iiiiiiyQxP ),(),( 即即近似值近似值精确值精确值对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 W0lim iiMM1jyixii)()( ),(iiF Oxy AB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM Lix iy iM 4二、对坐

3、标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1. 定义定义 设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条的一条有向有向光滑光滑 用用L上的点上的点:把把L分成分成n个有向小弧段个有向小弧段111222( ,),(,),Mx yMxy),(111 nnnyxM;, 2 , 1(1niMMii ,11 iiiiiiyyyxxx设设iiiiMM1),( 为为点点 ).,0BMAMn 曲线弧曲线弧,在在L上有界上有界.),(),(yxQyxP函数函数上任意取定的点上任意取定的点.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分5,0时时 iiniixP ),(1 如果当各小段长度的最大值如果当各小段长度的最大值

4、的极限总存在的极限总存在, 记作记作则称此极限为函数则称此极限为函数),(yxP在有向曲线弧在有向曲线弧 L上上或称或称第二类曲线积分第二类曲线积分. .对对坐标坐标x的曲线积分的曲线积分, ,d),( LxyxP LxyxPd),(即即类似地定义类似地定义 LyyxQd),(称称),(yxQ在有向曲线弧在有向曲线弧 L上上对对坐标坐标y的曲线积分的曲线积分. .积分弧段积分弧段被积函数被积函数iiniixP ),(lim10 iiniiyQ ),(lim10 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分62. 存在条件存在条件在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上3. .组合形式组合形式 LLyyxQxyxPd

5、),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(“点积点积”形形式式第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在.连续连续, ,),(),(yxQyxP当当其中其中 LsFd),(QPF ).d,d(dyxs 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分74. 物理意义物理意义WAB所作的功所作的功沿沿 AByQxPddjyxQiyxPF),(),( 变变力力sFWABd 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分)d,d(dyxs () (dd)ABPiQjxiyj85. 推广推广iiiniixPxzyxP ),(limd),(10 zRyQxPddd空间有向曲线弧空间有向曲线弧,iiiniiyQyzyxQ ),(li

6、md),(10 iiiniizRzzyxR ),(limd),(10 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分96. 性质性质,21LLL和和分分成成如如果果把把,是有向曲线弧是有向曲线弧设设L yyxQxyxPd),(d),(LL1L2 对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与(1) LyQxPdd则则 1ddLyQxP(2)方向相反的方向相反的是与是与LL 有向曲线弧有向曲线弧,则则 yyxQxyxPd),(d),( 2ddLyQxP曲线的方向有关曲线的方向有关. . L L对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分L LOxyOxy10对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐

7、标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算思想是思想是因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算化为定积分计算. .上限是终点的上限是终点的坐标坐标.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分11,)()( tytxL 的参数方程为的参数方程为定理定理上上有有定定义义且且在在曲曲线线弧弧设设LyxQyxP),(),(单单调调地地当当参参数数t,时时变变到到由由 运运动动到到沿沿的的起起点点从从点点LALyxM),(,B终终点点为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具及及在在以以 )(),(tt,有一阶连续导数有一阶连续导数,d),(d),(存存在在曲曲线线积积分分 LyyxQxyxPQP

8、 LyyxQxyxPd),(d),(连续连续,则则且且, 0)()(22 tt 且且)(t ),(t tt d)( tt d)( ),(t )(t ttttQtttPd)()(),()()(),( LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分12特殊情形特殊情形)(:xyyL )(:yxxL LyyxQxyxPd),(d),(,ax起起点点为为, cy起点为起点为 LyyxQxyxPd),(d),(1)(2)b终终点点为为d终终点点为为则则xxyxyxQxyxPbad)()(,)(, yyyxQyxyyxPdcd),()(),( 则则对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分,)(

9、)(: tytxL ttttQtttPd)()(),()()(),( LyyxQxyxPd),(d),(13,)()()(: tztytx zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(3)推广推广, 起点起点t 终点终点 )()(),(),(ttttP)()(),(),(ttttQ tttttRd)()(),(),( 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分14例例上上为抛物线为抛物线其中其中计算计算xyLxxyL 2,dxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 解解的定积分的定积分化为对化为对xxy Lxxyd xxxd)( 1023d2xx54 AOxxyd OBxxyd xxxd.)1

10、 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到从从BA (1)1010对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分Oxy15的定积分的定积分化为对化为对y2yx 112y11到到从从 y14142d5yy Lxxyd(2),d2dyyx y yyd2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分上上为抛物线为抛物线其中其中计算计算xyLxxyL 2,d.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到从从BA Oxyxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 16 其中其中是由点是由点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为312111 zyx,1tx 1013d)146(tt解

11、解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是 zyxyyxxd)1(dd计计算算例例,21ty tz31 , 0 t, 1 t对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分A点对应点对应B点对应点对应 zyxyyxxd)1(dd10(1)d(12 )2d(1 3 )3dtttttt17例例 Lyxyxx,d)(d2计算计算(1) L是上半圆周是上半圆周 反时针方向反时针方向;,22xay )0 ,(aA)0 ,( aB 解解,costax A点对应点对应 (2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. )0 ,(aA)0 ,( aB (1)中中L的的参数方程参数方程为为, 0 t. tB点对应点对

12、应)0 ,(aA)0 ,( aB 其中其中taysin 原式原式=23232aa 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分Oxy220cosd( cos )( sincos )d( sin )atatatatat18Oxy(2) L的方程为的方程为原式原式=xxaad2 .aax 到到从从332a )0 ,(aA)0 ,( aB , 0 y对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 Lyxyxx,d)(d2计算计算(2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. )0 ,(aA)0 ,( aB 其中其中19 ttzztyytxx),(),(),(设设A对应对应例例设点设点 M(x,y,z) 的向径的向

13、径一单位正电荷沿光滑曲线一单位正电荷沿光滑曲线:, t解解即即,kzj yi xr .|222zyxr 根据库伦定律根据库伦定律,位于原点位于原点(0,0,0)处的电荷处的电荷q产生的静电场中产生的静电场中,求电场所作的功求电场所作的功W.从点从点A移到点移到点B,B对应对应的电场力的电场力位于点位于点M处的单位正电荷受到处的单位正电荷受到 r对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分, rOM rrqF3 sFWABd ,t20因此所求的功为因此所求的功为 )()(2d rrrrq srrqd3 23222)(dddzyxzzyyxxq 23222)(d)(zyxtz zyyxxq )(1)(1 rr

14、q其中其中)(),( rr)d,d,d(dzyxs 分别是点分别是点A和和B到原点的距离到原点的距离.222|zyxrr 2222)ddd(2dzyxzzyyxxr 21222)(d)(zyxtz zyyxx 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分kzj yi xr rrqF3 sFWd 此例表明此例表明,静电场电场力作功只与正电荷运静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关动的起点和终点的位置有关,而与运动的路径无而与运动的路径无关关.凡是具有这种特性的力场凡是具有这种特性的力场,称称保守力场保守力场. .21补充补充在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L在上半平面部分与在上

15、半平面部分与 LxyxPd),(P(x, y)为为P(x, y)为为 1d),(2LxyxP其中其中L1是曲线是曲线L的上半平面的部分的上半平面的部分.类似地类似地, LyyxQd),(对称性质对称性质对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分,当平面曲线当平面曲线L是分段是分段光滑的光滑的, 关于关于下半平面部分的走向相反时下半平面部分的走向相反时,x 轴对称轴对称, ,则则0y的偶函数的偶函数y的奇函数的奇函数的讨论也有相应的结论的讨论也有相应的结论.对对对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 22例例,1|dd ABCDAxyyx计算计算直接化为定积分计算直接化为定积分计算, ABxyyx1dd BCx

16、yyx1dd DAxyyx1dd CDxyyx1dd取逆时针方向取逆时针方向., 1| yx解解 法一法一由曲线积分的性质由曲线积分的性质. 则则ABBCCDDA1 yx1 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( D其中其中ABCDA为为对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 011)1(ddxxxx0 101)1(ddxxxx 011)1(ddxxxx0 ABCDA 101)1(ddxxxx 101)1(d2xxx 101)1(d2xxx0tx 101)1(ddxxxx 101)1(ddxxxxOxy23将原式分成两部分将原式分成两部分,即即 ABCDA

17、xyx1|d ABCDAxyy1|d ABCDAxyx1|d对对曲线关于曲线关于的走向与的走向与L在下半部分的走向相反在下半部分的走向相反,1 yx1 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( D法二法二被积函数为被积函数为 ABCDAxyx1|d利用利用对称性质对称性质,L在上半部分在上半部分x轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数.0对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 ABCDAxyyx1|dd计算计算原式原式Oxy24 ABCDAxyy1|d对对曲线关于曲线关于L在右半部分的走向与在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反在左半部分的走向相反,被积函数为被

18、积函数为 ABCDAxyy1|d01|dd ABCDAxyyx所以所以,y轴对称轴对称,x的偶函数的偶函数.0对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 ABCDAxyyx1|dd计算计算 ABCDAxyx1|d01 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( D1 yxOxy25四、两类曲线积分之间的关系四、两类曲线积分之间的关系为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点),(yxL LyQxPdd2222( )( )cos ,cos,( )( )( )( )tttttt ,)()( tytxL ：设设有向有向平面曲线弧为平面曲线弧为 LsQPd)co

19、scos( 则则, ,d)(dttx ,d)(dtty tttsd)()(d22 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分有向有向曲线弧曲线弧L的切向量为的切向量为( ),( )ttt正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！26,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点zyx zRyQxPddd rAd sAtd可用向量表示可用向量表示),(RQPA )cos,cos,(cos tdd(d , d , d )rt sxyz 有向曲线元有向曲线元.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量tAAt处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx stAd则则 sRQPd)coscoscos(推广推广 空间曲线空间曲线对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！27例例 LyyxQxyxPd),(d),(2xy 解解 ,411cos2x .412cos2xx LyyxQxyxPd),(d),(所以所以sxxyxQyxPLd412),(),(2 把对坐标的