高等数学：9-3 三重积分

1、1三重积分的三重积分的概念概念三重积分的计算三重积分的计算小结小结 思考题思考题 作业作业(triple integral)第三节三重积分第三节三重积分第九章第九章 重积分重积分2是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的上的如当各小闭区域直径中的最大值如当各小闭区域直径中的最大值在每个在每个iv ),(iii ),2 , 1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1. 三重积分的定义三重积分的定义nvvv ,21将闭区域将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 其中其中iv 并作和并作和作乘积作乘积),(zyxf设设有界函数有界函数. .也表示它的体积也表示它的体积.表示第表示

2、第i个小闭区域个小闭区域,上任取一点上任取一点三重积分三重积分一、三重积分的概念一、三重积分的概念(define)3记为记为函数函数),(zyxf趋于零时这和的极限总存在趋于零时这和的极限总存在,iiiniivf ),(lim10 则称此极限为则称此极限为 在闭区域在闭区域上的三重积分上的三重积分. vzyxfd),(即即 vzyxfd),(体积元素体积元素三重积分三重积分43. 三重积分的几何意义三重积分的几何意义设被积函数设被积函数, 1),( zyxf VvVd1连续函数一定可积连续函数一定可积2. 三重积分存在性三重积分存在性则区域则区域V 的体积为的体积为在在上是可积的上是可积的.)

3、,(zyxf当当的三重积分存在性时的三重积分存在性时,),(zyxf称称三重积分三重积分(existence)54. 三重积分的性质三重积分的性质与二重积分的性质类似与二重积分的性质类似.补充三重积分补充三重积分vzyxfd),(0为为f的的偶偶函函数数z对称性质对称性质),(),(zyxfzyxf 则称则称f关于变量关于变量z的的奇奇 函数函数.即对称点的函数值即对称点的函数值仅仅符号相反（或者是函数值相等）仅仅符号相反（或者是函数值相等） vzyxfd),(则则 (1),坐标面对称坐标面对称xOy关于关于的的奇奇函函数数z为为f21 若域若域xOy在在为为其中其中 1坐标面的上半部区域坐标

4、面的上半部区域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)三重积分三重积分(property)6或或,坐标面对称坐标面对称关于关于xOz 的奇函数的奇函数是是yf而得结果为零而得结果为零.例例,2222azyx vzyxd22 vzy d2 0vzy d221 0 则则为为设域设域 部分部分的的为为01 z ,1坐标面对称坐标面对称关于关于xOz 的奇函数的奇函数是是yf,坐标面对称坐标面对称关于关于xOy 的偶函数的偶函数是是zf三重积分三重积分7例例,2222azyx vyzxd2 0 vzyd22 vzyd4222 0的的偶偶函函数数yx,4vzyxfd),( vzyxfd),(则则(2),

5、都对称都对称xOzyOz关于两个坐标面关于两个坐标面 若域若域 同同为为f 是是其中其中2在第一在第一,五卦限部分的区域五卦限部分的区域.为为设域设域 是是2在一在一,五卦限部分的区域五卦限部分的区域,则则2 三重积分三重积分f, x y为之一的奇函数8 1988年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分, 0,22221 zRzyx：设空间区域设空间区域 ;d4d)(21 vxvxA;d4d)(21 vyvyB;d4d)(21 vzvzC.d4d)(21 vxyzvxyzDC则则( )成立成立.三重积分三重积分22222,0,0,0,xyzRxyz：9关于关于三个三个坐标坐标面面都都对称对称

6、,在第在第一一卦限部分的区域卦限部分的区域.例例,2222azyx vyzxd 0 vzyd22 vzyd8223 0f同同为为f vzyxfd),(则则 若域若域(3)的的偶偶函函数数zyx,3 vzyxfd),(8 是是其中其中3为为设域设域 是是3在第一在第一 三重积分三重积分卦限的部分卦限的部分, 则则, ,zx y为之一的奇函数10 vzyxfd),(则则 为为f0为为f vzyxfd),(2(4)4 关于关于原点对称原点对称,的奇函数的奇函数zyx,的的偶偶函函数数zyx,三重积分三重积分关于原点对称的一半区域关于原点对称的一半区域.4其中为 中若( , , ),(,)x y zx

7、yz (,)( , , )fxyzf x y z (,)( , , )fxyzf x y z特别注意：特别注意：对称点上积分微元的相等对称点上积分微元的相等或者是刚好反号是问题的本质属性！或者是刚好反号是问题的本质属性！11.lkjizyxv 则则zyxvdddd 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分故故直角坐标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分可表为三重积分可表为 vzyxfd),().(是是小小长长方方体体iv 在直角坐标系中在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来

8、划分平面的来划分, zyxzyxfddd),(三重积分三重积分12直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分),(:11yxzzS Dyx ),(,1穿入穿入从从 z 投影法投影法思想是思想是),(:22yxzzS ( (先一后二法先一后二法) )如图如图, 闭区域闭区域 xOy在在面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域D, ,过点过点作直线作直线,穿出穿出从从2z三重积分三重积分xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z13,看作定值看作定值先将先将yx ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyx

9、fyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型),(yxF再计算再计算zzyxf只看作只看作将将),(的函数的函数,上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间 Dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd三重积分三重积分则则14 vzyxfd),( 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于 z如何写出当如何写出当D为为Y型闭域型闭域时时,21( , )( , )( , , )dzx yzx yf x y zz21( )( )ddbyxayxx

10、y注注化为三次积分的公式化为三次积分的公式三重积分三重积分S的边界曲面的边界曲面内部的直线与闭区域内部的直线与闭区域 相交不多两点情形相交不多两点情形.三重积分三重积分15所以所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积分分(累次积分累次积分).和积分域和积分域选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时, 要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数),(zyxf同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投影面投影.三重积分三重积分16,dddcos43zyxzyxIV .20, 10, 10),( zyxzyxV 解解 由

11、于由于V是长方体是长方体, 故故20115141 Iyy d104 xx d103 例例三次积分的上、下限三次积分的上、下限都是常数都是常数,三重积分三重积分计算三重积分计算三重积分其中其中V是长方体是长方体 xyzO2 zzdcos017解解1:22 yxD化三重积分化三重积分 zyxzyxfIddd),(为三次积分为三次积分,例例222yxz 22xz 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. 22222xzyxz由由三重积分三重积分其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面得交线得交线, 由此推出投影区域由此推出投影区域 ：故故 2211xyx 11 xz 11221122222d),(ddxy

12、xxxzzyxfyxI 222yx22x xyzO22xz 222yxz 18例例 求求 zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解解2ye 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,应先应先x对积分对积分 zyx10d 10d)1(yy2114e一定要一定要交换积分次序交换积分次序. I211(1)00(1)ddyy zyyez 1 zyx三重积分三重积分xyzO 10d)1(yy yzyzye102)1()1(d2 yzyzzye10)1(d)1(219,dddzyxzxyV 计计算算所所围围成成的的区区域域与与平平面面1 z解解 画积分区域的草图画积分区域的草图.采用

13、采用先对先对x积分积分, 再对再对y、z积分积分的方法简单的方法简单.,10 ,0),( zzyzyDyz,),(yzDzy .022yzx 220010ddd1yzzxxyyzzI zyyzyzz02210d2d1zz d811027 222yxzV 为锥面为锥面其中其中例例.在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分三重积分三重积分将将V向向yOz平面投影平面投影对任一对任一x取值为取值为.361 先对先对z积分积分?得平面区域得平面区域xyzO1 20 截面法截面法(红色部分红色部分)( (先二后一法先二后一法) )截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)向某轴向某轴把积分区域把积分区域 )(轴

14、轴如如z投影投影, ,得投影区间得投影区间;,21cc(2),21ccz 对对, 的平面去截的平面去截轴且平行轴且平行用过用过xOyz;zD得截面得截面(3)计算二重积分计算二重积分 zDyxzyxfdd),();(zFz的函数的函数其结果为其结果为(4).d)(21 cczzF最后计算单积分最后计算单积分xzoy 1c2czzD三重积分三重积分21 即即 zDyxzyxfcczvzyxfdd),(dd),(21 cczzF21d)(当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便. 希自己推希自己推注注且截面且截面Dz易知时易

15、知时,三重积分三重积分22 zyxzddd zDyxdd1| ),(zyxyxDz zDyxdd截面法截面法( (先二后一法先二后一法)解解)1)(1(21zz 10dzz计算三重积分计算三重积分 ,dddzyxz为为其中其中 例例.1所围成的闭区域所围成的闭区域三个坐标面及平面三个坐标面及平面 zyx原式原式= zzzd)1(21210.241三重积分三重积分111xyzO1 zyxzD23 zzyxyzz101010ddd zyzyzz1010d)1(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) xzd dyzDzy 10计算三重积分计算三重积分 ,dddzyxz为为其中其中 .1所围成的闭

16、区域所围成的闭区域三个坐标面及平面三个坐标面及平面 zyx三重积分三重积分 zyxzddd 102d)(121zzz.241 111xyzO1 zyx zyxzddd yxDzzxy10dd 24已知椭球已知椭球V: 内点内点(x,y,z)处质量处质量的体密度为的体密度为: 求求椭球的椭球的质量质量.1222222 czbyax提示提示vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 ,222222czbyax 三重积分三重积分25解解因为因为vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 而而 vaxVd22等于等于 xDzy

17、dd 222211axcaxb xaxaad22 zyddxD:1222222的面积的面积椭圆椭圆axczby 221axbc 其中其中三重积分三重积分26由对等性知由对等性知abc 154 VVvczvbydd2222因此因此.54abcM 所以所以 vaxVd22xaxaad22 xDzydd)1(dd22axbczyxD abc 154三重积分三重积分22222(1)daabcxxxaa27xyzO222224yxzyxaz 及及求曲面求曲面.V所所围围立立体体体体积积解解 两曲面的交线为两曲面的交线为 22222ayxaz所以所以,:xyDxOyV面面的的投投影影域域在在2222ayx

18、 VvVd 222224ddyxayxDzxy xyDyxyxa d)4(22222 d)4(d202220 aa例例极坐标极坐标三重积分三重积分38(22).3a28,0 ,20 z规定规定xyzo ),(zyxM),( Pz , , 直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为cos ,sin ,xyzz 就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.三重积分三重积分2. .利用柱面坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分cylindrical coordinates设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三

19、个数则这样的三个数29为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 柱面坐标柱面坐标系中系中, 以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为z , 三重积分三重积分称点称点M的柱面坐标的柱面坐标),(zyxM),( PxyzO 30 xyzo 柱面坐标系柱面坐标系中的中的体积元素体积元素为为zvdddd V 在在柱面坐标系柱面坐标系中中, 如图如图,V 得小柱体得小柱体即即直角坐标系直角坐标系下三重积分与下三重积分与(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域柱柱(面面)坐标系

20、坐标系下三重下三重积分的关系是积分的关系是 z 三重积分三重积分 z 31 如何计算如何计算柱坐标系柱坐标系下三重积分下三重积分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd 回想回想直角坐标系直角坐标系下计算三重积分方法下计算三重积分方法.将三重积分化为将三重积分化为,cos x,sin yzz 三次积分三次积分( (累次积分累次积分) )zvdddd 三重积分三重积分32 zyxzyxfddd),(柱坐标系柱坐标系下三重积分的计算下三重积分的计算, 可得可得柱坐标系柱坐标系下三重积分化为下三重积分化为三次积分三次积分 baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),

21、(),(2121d),(ddz , 与与x, y, z等同的看为三个变量等同的看为三个变量. 如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示, ).()(21 只要把被积只要把被积函数中的函数中的的计算公式的计算公式. 类比公式类比公式先先将将在在xOy面上的投影域用面上的投影域用三重积分三重积分33从而从而, ),()(21 zzfddd),sin,cos(故故 ),(),(21d),sin,cos( zzzzf )()(21d d: 再再确定确定的下的下, 上边界面上边界面),(1 zz ),(2 zz 注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积三重积分三重积分、 、z. 12( , )( , )z

22、zz 34如积分域如积分域为圆柱域为圆柱域(如图如图). 20 ,0R ,0Hz vzyxfd),(则则: HRzzf0020d),sin,cos(dd 三重积分三重积分xyzO3520 ,0az ,cos20 解解 cos2 例例,d22 vyxz计算计算)0(0222 yxyx 所围成所围成.积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为.982a 20d azz0d cos202d z原式原式 zddd 其中其中由半圆柱面由半圆柱面0, 0, 0 azzy及平面及平面: 三重积分三重积分Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222 xyx36例例222

23、yxz 已知立体内任一点的质量的体密度已知立体内任一点的质量的体密度解解vyxkMd)(22 因为因为222yxz 平面平面2222 yx柱面坐标柱面坐标求曲面求曲面2 z与与所围立体的质量所围立体的质量M,与该点与该点 到到z轴的距离的平方成正比轴的距离的平方成正比.22()(0)k xyk常数的的交线交线是是2 z与与2 z上的圆上的圆体密度函数为体密度函数为三重积分三重积分xyzO2 z222yxz 37的的下边界面下边界面是是),(2122yxz 上边界面上边界面是是故故zkddd2 222d z k316 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域xy 即即vyxkMd)(22 是半

24、径为是半径为2的圆域的圆域 d203 20dk . 2 z三重积分三重积分xyzO422 yxxy 02 , 0221;2z38解解zezddd2 如先对如先对z积分积分其中其中是由锥面是由锥面例例,ddd222zyxyxez 计计算算与平面与平面22yxz zyxyxezddd222 21 zz、所围成的锥台体所围成的锥台体.柱面坐标柱面坐标三重积分三重积分xyzO22yxz 39xyzO可看出如先对可看出如先对z积分积分,zezd2 (积不出来积不出来).zezddd2 ).(4ee zzezd2212 212ze 将遇到积分将遇到积分最后对最后对z积分积分.zyxyxezddd222 d

25、dd2zez0z 2120三重积分三重积分这里应先对这里应先对 、 积分积分,22yxz 40解解2)(zyx 222zyx 对称性质对称性质)(2zxyzxy 是关于是关于yzxy 关于关于且且 vyzxyd)(0例例,d)(2vzyx 计算计算是抛物面是抛物面其中其中 所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域.,的奇函数的奇函数y.面对称面对称zOx三重积分三重积分222222 zyxyxz和球面和球面同理同理,的奇函数的奇函数是关于是关于xzx.面对称面对称关于关于且且yOz vxzd0 xyzO2222 zyx22yxz 41vzyxd)(222 计算计算 20 10 222 z 三重积分

26、三重积分 d)2(222103 20102322dddzvyxd)(22 zddd3 vzyxd)(2 柱坐标柱坐标 ).19216(15 xyzO2222 zyx22yxz 42).89290(60 vz d2 ,1323260 所以所以 222210dd zz 20d 对称性质对称性质vzyxd)(222 2221020: z4三重积分三重积分vzyxd)(222 计算计算vzyxd)(2 的的偶偶函函数数yx,都对称都对称xOzyOz,关于两个坐标面关于两个坐标面同同为为fvyxd)(22 )19216(15 vzyxd)(2 43 当被积函数是当被积函数是),(),(),(22xyzf

27、xyzfyxzf 积分域积分域由圆柱面由圆柱面 (或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.三重积分三重积分44选择题选择题 曲面曲面 之内及曲面之内及曲面 zzyx2222 22yxz 之外所围成的立体的体积之外所围成的立体的体积.ddd)(2211020 zA.ddd)(2111020 zB.ddd)(110202 zC.ddd)(22111020 zDD).( V三重积分三重积分xyzOxyzOxyzO1:22 yxxy 45锥面锥面 被圆柱面被圆柱面22yxz 所截所截,求锥面下方、求锥面下方、 xOy面上

28、方、圆柱内的区域面上方、圆柱内的区域V 的体积的体积.xyx222 解解V=2V1, 提示提示 1d2VvV.932 12d d dVz zddd2 0 cos2002 V1为第一卦限部分的体积为第一卦限部分的体积.三重积分三重积分柱坐标柱坐标xyzOxyzOxyzO46 r P zyxA,0 记投影记投影向量与向量与x轴正方向的轴正方向的.20 ),( r规定规定, ,0 r),(zyxM OM再再将将正方向间的夹角为正方向间的夹角为轴轴与与zOM, r夹角为夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的之之长长为为记记向向量量OM三重积分三重积分2. .利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算

29、三重积分xyzO设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影,47为常数为常数r为常数为常数 球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面；过过z轴的轴的半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为,sinsin ry ,cossin rx cosrz 为常数为常数 原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的轴的圆锥面圆锥面；三重积分三重积分 r zyxA),(zyxM xyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzO48球面坐标系球面坐标系中的中的体积元素体积元素为为rxyzo r dddsind2rrv

30、V 若以三坐标面分割空若以三坐标面分割空, V 得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中，中， r sinr r 间区域间区域三重积分三重积分 sinr r sinr49 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先积积r、再再积积 . 后积后积2cos )sind d drrr (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin r三重积分三重积分50如积分域如积分域为球域为球域(如图如图).: Rfvf0020(ddd 则则,0 ,0Rr 20 ,cossin r,sinsin r

31、cosr sin2rrd三重积分三重积分xyzO)51az cosar 222zyx 4 .cos0 ar 解解 法一法一 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 计算计算例例是锥面是锥面其中其中 所围的立体所围的立体. .)0(222 aazzyx与平面与平面球面坐标球面坐标三重积分三重积分xyzOaz 222zyx 52 zyxyxIddd)(22raddd40cos020 d)0cos(51sin255403 a.105a cossinsincossinrzryrx cos0ar ,40 : ,20 34sinr三重积分三重积分2dsin d d dvrr 53 zyx

32、yxIddd)(22 aaz ddd2020 aa03d)(2 54254aaa .105a azzyx222az 法二法二 采用采用:xyD: ,0a ,20 柱面坐标柱面坐标222ayx z222ayx 三重积分三重积分xyzOaz 222zyx 54解解4 ,40 22222azyx 由由22yxz 由由: ,20ar 采用采用例例由锥面和球面围成由锥面和球面围成, , 所成的公共部分的体积所成的公共部分的体积. .2222222xyzazxy求由立体与球面坐标球面坐标三重积分三重积分 V zyxddd1 ar20020ddd4 .)12(343a 403d3)2(sin2 a sin2

33、rxyzO022dsin d d dvrr 2ra55解解积分域关于积分域关于xOy坐标面对称，坐标面对称， zyxzyxzyxzddd1)1ln(2222220 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222被积函数是被积函数是z的奇函数的奇函数.例例利用利用对称性对称性简化计算简化计算其中积分区域其中积分区域. 1222 zyx为为 三重积分三重积分xyzO56 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222球球rddd sin2r01 00 2 10223020d1)1ln(dcossindrrrr 或或积分区域积分区域1222 zyx为为 cosr)1ln(2r 21r 00(

34、sincos d0) 三重积分三重积分57当积分区域是球形域当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面, ,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时, ,用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便. .或是球的一部分或是球的一部分;三重积分三重积分222()f xyz581989年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)计算计算, 5分分 .d)(vzx求求解解 vzxd)( vxd vzd 积分域积分域被积函数是被积函数是 vxd围成的空间区域围成的空间区域, ,x的奇函数的奇函数.面面对对称称，关关于于yOz0三重积分三重积分

35、 vzd dd cosr sin2r rd014 200)(20 )sin21(402 )41(104r .8 球球请再用柱面坐标做请再用柱面坐标做.xyzO22221zxyzxy设 是曲面与59 2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一) 12分分三重积分三重积分 设函数设函数)(xf 连续且恒大于零连续且恒大于零,d)(d)()()(22)(222 tDtyxfvzyxftF ,d)(d)()(2)(22 tttDxxfyxftG 其中其中,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 讨论讨论)(tF 在区间在区间), 0( 内的单调性内的单调性

36、. (2) 证明证明,0时时当当 t).(2)(tGtF 60三重积分三重积分,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 解解 因为因为 )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF 球球极坐标极坐标 200220dsin)(ddtrrrf tf0220d)(d ttfrrrf02022d)(d)(2 ttrrrfrrrf02022d)(d)(2 (1) 讨论讨论)(tF 在区间在区间), 0( 内的单调性内的单调性.rrr61三重积分三重积分 )(tF2 trrtrrfttf022d)()()( ttrrrfrrrftF02022d)(

37、d)(2)( trrrf022d)( 设函数设函数)(xf 连续且恒大于零连续且恒大于零 所以所以,内内在在), 0()( tF 单调增加单调增加.0 ), 0( t (1) 讨论讨论)(tF 在区间在区间), 0( 内的单调性内的单调性.62 (2) 证证 因因 (2) 证明证明,0时时当当 t).(2)(tGtF 三重积分三重积分 ttrrfrrrf0202d)(d)( ,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD tttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22 要证明要证明,0时时 t),(2)(tGtF 只需证明只需证明,0时时 t, 0)(2)( t

38、GtF 即即20202202d)(d )(d)(rrrfrrfrrrfttt )(tg ttrrrfrrrftF02022d)(d)(2)(令令. 0 63三重积分三重积分则则rrtrftftgtd)()()(0222 0 故故内内在在), 0()( tg 单调增加单调增加.因为因为,0)(处连续处连续在在 ttg所以所以有有时时当当,0 t).0()(gtg ,0, 0)0(时时故当故当又又 tg, 0)( tg因此因此,0时时当当 t).(2)(tGtF (2) 证明证明,0时时当当 t).(2)(tGtF 设函数设函数)(xf 连续且恒大于零连续且恒大于零20202202d)(d )(d)()(rrrfrrfrrrftgttt 64柱面坐标系下柱面坐标系下计算三重积分计算三重积分柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素 )三重积分三重积分三、小结三