信号的抽取与插值

1、信号的抽取与插值信号的抽取与插值 许多数字信号处理应用中，一个系统中会存在不同采样频率的许多数字信号处理应用中，一个系统中会存在不同采样频率的信号，称这样的系统为信号，称这样的系统为多速率信号处理系统多速率信号处理系统 数字音频：数字音频：广播、数字压缩光盘和数字音频磁带使用的采样率广播、数字压缩光盘和数字音频磁带使用的采样率不同，音频系统中经常需要在几种不同的采样率之间转换不同，音频系统中经常需要在几种不同的采样率之间转换 多媒体通信多媒体通信，所传输的信号包括音频、视频和数据等不同类型的，所传输的信号包括音频、视频和数据等不同类型的信号，这些信号的带宽相差很大，因此它们的采样率也不同信号，

2、这些信号的带宽相差很大，因此它们的采样率也不同 增加信号采样率的运算叫增加信号采样率的运算叫内插内插(interpolation)或或上采样上采样(up-sampling)降低采样率的运算叫降低采样率的运算叫抽取抽取(decimation)或或下采样下采样(down-sampling) 多速率信号处理系统的核心内容是多速率信号处理系统的核心内容是信号采样率转换信号采样率转换与与滤波器组滤波器组整数因子抽取整数因子抽取 整数因子插值整数因子插值 采样率的分数倍转换采样率的分数倍转换 抽取和插值的多相滤波器结构抽取和插值的多相滤波器结构主要内容主要内容 1 整数因子抽取整数因子抽取 )(nx1 D

3、)(mxD把原序列把原序列每隔每隔个点抽取一个点组成一个新序列个点抽取一个点组成一个新序列 DmxmxD 其中，其中，D为正整数为正整数 051015202530-1-0.500.51Input SequenceTime index nAmplitude0123456789-1-0.500.51Output sequence down-sampled by 3AmplitudeTime index n抽取后是否会丢失信息？抽取后是否会丢失信息？ )(mxD)(nx为此分析序列为此分析序列与原序列与原序列之间的频谱关系之间的频谱关系 )(nxsf)(mxDDfs/)2/( Dfs以因子以因子D进

4、行抽取后不产生混叠的频率范围为进行抽取后不产生混叠的频率范围为2/sf如果要采样不产生混叠，则如果要采样不产生混叠，则 的频率限制在的频率限制在 以内以内)(nx的频率分量的频率分量如果如果x(n)中含有大于中含有大于)2/( Dfs必然产生频谱混叠，导致不能从必然产生频谱混叠，导致不能从中恢复中恢复)(mxD)(nx nDDnnxnx其它其它0,.2, 0)()(int)()()()()(intnnxiDnnxnxDi 其中其中)()(iDnniD )()()(intDmxDmxmxD nnmDmDzDnxzmxzX )()()(DnnnnznxzDnx/intDint)()( 的整数倍的整

5、数倍是是由于由于n不是不是D的整数倍时的整数倍时)(intnx=0 DnDnDnnDznnxznxzX )()()()(/int )(01110niDniDnWDDnrDDr DnnrDDrnDzWDnxzX 101)()()(1)(1110110DrDDrnDrDnDrzWXDzWnxD )e (1)e (2j10jDrDrDXDX )e (j DX可见，抽取序列的频谱可见，抽取序列的频谱是原序列频谱是原序列频谱D倍展宽后倍展宽后按（按（22）的整数倍位移并叠加而成）的整数倍位移并叠加而成 抽取产生抽取产生频谱混叠频谱混叠 为保证抽取后不丢失信息，应该保证抽取后信号的频为保证抽取后不丢失信息

6、，应该保证抽取后信号的频谱不发生混叠，所以在抽取前对信号的频谱应该加以谱不发生混叠，所以在抽取前对信号的频谱应该加以限制。限制。如果在抽取前先用一数字低通滤波器（滤波器的带宽如果在抽取前先用一数字低通滤波器（滤波器的带宽为为 /D,对对x(n)进行滤波，使得进行滤波，使得DX/|0)e (j 则按因子则按因子D抽取后信号频谱不会发生混叠抽取后信号频谱不会发生混叠 序列抽取不发生混叠的序列抽取不发生混叠的Nyquist条件条件 其其他他0/| )e (|jDDHD 2 2 整数因子插值整数因子插值 nIImImxmxI其它其它0,.2, 0)/()()(nxsf)(mxIsIfnnmImIzIn

7、xzmxzX )/()()()()(InInzXznx )e ()e (jjIIXX 内插后信号频谱被压缩了内插后信号频谱被压缩了I倍倍 )e (j IX)e (j X中不仅包含中不仅包含的高频成分的高频成分还含有大于还含有大于 /I/I的基带部分的基带部分为了能从中为了能从中 得到基带信号，需要通过低通滤波得到基带信号，需要通过低通滤波消除内插带来的镜像。消除内插带来的镜像。)e (j IX低通滤波器的幅度响应为低通滤波器的幅度响应为 其其他他0/|1| )e (|jIHI 插值可以提高时域分辨率插值可以提高时域分辨率3 3 采样率的分数倍转换采样率的分数倍转换 假设输入输出信号采样率的转换

8、因子为假设输入输出信号采样率的转换因子为DIR/ 可以通过将可以通过将D D抽取与抽取与I I插值结合来实现插值结合来实现为了保证不丢失信息，分数倍采样率转换应为了保证不丢失信息，分数倍采样率转换应先插值后抽取先插值后抽取 其他其他0/,/min| )e (|jDIDH )e (j H 例例 在图示系统中，已知输入信号在图示系统中，已知输入信号x(n)的采样率为的采样率为4kHz，其，其频谱幅度如图所示。试确定该系统中的频谱幅度如图所示。试确定该系统中的I、D和和幅度特性，使输出信号幅度特性，使输出信号y(m)的抽样频率为的抽样频率为5kHz解：解：由于输出信号比输由于输出信号比输入信号的抽样

9、频率入信号的抽样频率提高了提高了5/4倍，所以倍，所以R=5/4 取取I=5，D=4 |16. 0016. 0|4| )(|j eH7. 4 多抽样率系统的多相滤波结构多抽样率系统的多相滤波结构先滤波后抽取先滤波后抽取 先插值后滤波先插值后滤波 对运算速度的要求相当高对运算速度的要求相当高 7. 4. 1 抽取器与插值器的恒等变换抽取器与插值器的恒等变换恒等变换恒等变换1 1D1( )x n2( )xn1()y mDD1( )x n2( )xn()y m2 1 1 2 恒等变换恒等变换2 2两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它

10、们各自抽取后再定标和相加 1 2 II( )x nI2 ( )x n1( )y m2( )y m2()y m1( )y m1 信号分别定标以后的插值等于它们各自插值后再分别定标信号分别定标以后的插值等于它们各自插值后再分别定标恒等变换恒等变换3 3D( )x n()y mDz 2()y mD( )x n1z 信号延迟信号延迟D个样本后作个样本后作D倍抽取和先倍抽取和先作作D倍抽取再延迟一个样本是等效的倍抽取再延迟一个样本是等效的 ( )()x nx nD ( )( )DXzzX z 证明：设证明：设 则则x(n)y(m)11101( )( )()DrDDDrY zXzX W zD 11101(

11、)()DrDrDDDDrW zX W zD 11101()DrDDrz X W zD ()()()Dy mxmx Dm 2()(1)y my m 12( )( )Y zz Y z 1101( )()DrDDrY zX W zD 1111201( )( )()DrDDrY zz Y zz X W zD 12( )( )Y zY z 恒等变换恒等变换4 4I( )x n1z ()y mIIz ()y m( )x n信号经过单位延迟后作信号经过单位延迟后作I倍插值倍插值和先和先作作I倍倍插值插值再延迟再延迟L个样本是等效的个样本是等效的 )(1)(110DrDDrDzWXDzX )(1)(1101D

12、rDDrzWXDzV )()(1)()()(11011DrDDrzWXzHDzVzHzY )()()(2zXzHzVD )()(1)(11102DrDDDrDDrzWXzWHDzY 1 rDDW)()(1)()(1)(1101102DrDDrDrDDrzWXzHDzWXzHDzY 因为因为所以所以)()(21zYzY 将信号按将信号按D因子抽取后再经过滤波器因子抽取后再经过滤波器H(z),等价于将信号先经过滤波器等价于将信号先经过滤波器H(zD),再按再按D因子抽取因子抽取 恒等变换恒等变换5 5)()(IIzXzX 因为因为)()()(3zXzHzV )()()()(33IIIzXzHzVz

13、Y )()(4IzXzV )()()()()(44IIIzXzHzVzHzY )()(43zYzY 将信号先经过滤波器将信号先经过滤波器H(z)后再按后再按I因子内插，等价于将信号按因子内插，等价于将信号按I因子内因子内插后再经过滤波器插后再经过滤波器H(zI)恒等变换恒等变换6 67. 4. 2 抽取和插值的多相滤波器结构抽取和插值的多相滤波器结构 nnznhzH 1111 DDllDllDllzDDlhzDlhzDlh DllDDllDllzDDlhzzDlhzzDlh 11)1(1令令 1, 1 , 0, DjzjDlhzEllj 则则 DjDjjzEzzH 10 多相分量多相分量 I I型多相分解型多相分解 jenh Dnj DjDjjzEzzH 10先滤波后抽取先滤波后抽取 先抽取后滤波先抽取后滤波降低了对处理速度的要求，提高了实时处理能力降低了对处理速度的要求，提高了实时处理能力 减小运算误差的积累，提高运算精度降减小运算误差的积累，提高运算精度降, ,低对字长的要求低对字长的要求, , 每一支每一支路上滤路上滤波器的波器的阶数只阶数只有有H(z)阶数的阶数的1/D nnznhzH 1111 IIllIllIllzIIlhzIlhzIlh IjIjjzEz 10jIj 1令令 IjIIjjIzEz 110)1(定义定义 zEzRj