正弦定理余弦定理应用举例

1、资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.【复习指导】1 .本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2 .加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力.ajKAOJIZIZHUDAOXUE01”舍意自主导学必考必记；童学相长基础梳理1 .用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2 .实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中

2、，视线在水平线上左的角叫仰角，在水平线下方的角2 / 11叫俯角(如图(1).(2)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a(如图(2).(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30。，北偏西45。，西偏东60。等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.勿当<临一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问

3、题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.两种情形解三角形应用题常有以下两种情形实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.双基自测1.(人教A版教材习题改编)如图，设A,8两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,ZACB=45°,ZCAB=105。后，就可以计算出A

4、,8两点的距离为().解析由正弦定理得二，又I二30。.".AB-50(m).答案A2.从4处望8处的仰角为a,从8处望A处的俯角为及则a,4的关系为().A.a>0B.a=BC.a+/?=90°D.a+夕=180。解析根据仰角与俯角的定义易知夕二夕。答案B3 .若点A在点C的北偏东30。，点8在点C的南偏东60。，且AC=8C,则点A在点8的（）.A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°解析如图.4 .一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后，看见一灯塔在

5、船的南偏西60。，另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时（）.A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析如图所示，依题意有N84C=60。,/94。=75°,所以NC4。=aCDA=15°,从而8=01=10（海里），/c8在口948（7中，得48二5（海里），于是这艘船的速度是二10（海里/时）.答案C5.海上有A,B,。三个小岛，测得A,8两岛相距10海里，ZBAC=60°,ZA8C=75。,则8,C间的距离是海里.解析由正弦定理知二.解得8c=5（海里）.答案5KAOXIANGTANJIUDAOXI 02 » 考向探究导

6、析研析考向案例突破考向一测量距离问题【例1】A如图所示,产%为了测量河对岸A,8两点间的距离，在这岸定一基线C。，现已测出CO=a和NACD=60。，ZBCD=3OZBDC=105°,ZDC=60°,试求AB的长.审题视点在MCD中，求出8C,在中，求出ABO解在AC。中，已知CD=a,ZACD=60°,/AOC=60。,所以4C=a：NBC。=3O°,ZBDC=105%ZCBD=45°在BCD中，由正弦定理可得8C=a在aABC中，已经求得4c和8C,乂因为NAC8=30。，所以利用余弦定理可以求得A,8两点之间的距离为A8=a。方法总结况1

7、）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.（2）利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.【训练1】如图，A,8C,。都在同一个与水平面垂直的平面内，B、。为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面4处测得B点和D点的仰角分别为75。,30。，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=O.Ikmo试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求8,。的距离.解在4C。中,ND4C=30。，ZADC=600-ZDAC=3009所以CO=AC=0。1km,乂/8。=180。-60。-60。=60。,故。8是4。1。底边/10的中垂线

8、,所以8。=BAq乂:ZABC=150在A8C中，=,所以A8=(km),同理,BD=(km).故仄。的距离为km.考向二测量高度问题【例2】a如图，山脚下有一小塔A以在塔底8测得山顶C的仰角为60。,在山顶。测得塔顶A的俯角为45。，已知塔高A8=20m,求山高审题视点过点C作CEIIDB，延长BA交CE于点E,在5EC中建立关系.解如图，设C0=xm,则4E=x-20m,tan60°=,BD=x(m).在AEC中，x20=x,解得x=10(3+)m.故山高CD为10(3+)m°方法总结(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图、

9、明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高A8时，可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点C与。，现测得CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为6,求塔高AB.A解在BCO中，ZCBD=n-a-/3,由正弦定理得=,所以BC=在RtA48C中，AB=BCtanZACB=.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】a如图所示，在梯形48C。中，AD/BC,AB=5,AC=9,ZBCA=30°,ZADB=45°,求8。的长.445BnbN皿审题视点由于48=5，乙408=45。,因止匕要求8。，可在乂8。中，由正弦定理求解.关键是确定N8AO的正弦

10、值.在&48C中48=5,4。二9,AACB二30。，因此可用正弦定理求出sin乙ABC,再依据乙钻C与互补确定sinZBAD即可.解在ABC中，AB=5,AC=9,ZBCA=30°.由正弦定理，得=,sinZABC=.*：AD/BC,：.ZBAD=SO°-ZABC,于是sinZBAD=sinZABC=.同理，在AB。中，AB=5,sinZBAD=,NAO8=45。，由正弦定理：=,解得8。=.故8。的长为.方法总结要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时.要注意有利于应用正、余弦定理.【训练3】如图，在ABC中，已知/8=45。，。是BC

11、边上的一点，AO=10,AC=14,DC=6,求48的长.AC=14,DC=6,由余弦定理得cos/4£>C=一，AZADC=nO°,AZADB=60°o在ABO中4。=10,N8=45o,NAO8=60。，由正弦定理得=,；A8=5.M 1入 A，" -03» 考题专项突破KAOTIZXUANXIANGTUPO冷舱展示：名师解读规范解答9如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】（1）解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模（准确地画出图形）一求解一检验作答.,（2）三角形应用题常见的类型：，实际问题经抽象概括后、已知量与未知量全部集

12、中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之:，实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形、这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。，【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据、这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中。【示例】a（本题满分12分）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于4处时，

13、乙船位于甲船的北偏西105。方向的囱处，此时两船相距20海里，当中船航行20分钟到达4处时，乙船航行到中船的北偏西120。方向的电处，此时两船相距10海里.问:乙船每小时航行多少海里？2甲思维突幼（1）分清已知条件和未知条件（待求）.（2）将问题集中到一个三角形中.（3）利用正、余弦定理求解.解答示范如图，连接由已知42%=10,A1A230X10,AA2=乂ZAiA2B2=180°-120°=60°,是等边三角形，二Aj52=AA2=10,由已知8=20,ZBAB2=105°-60°=45°,（8分）在中，由余弦定理得BB=ABAB2Ai8i4&,cos45°=202+（10）2-2X20X10X=200,8182=10。因此，乙船的速度为x60=30（海里/时）.（12分）覆瓦物利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图,结合示意图构造三角形.然后转化为解三角形的问题进行求解.【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的8处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30。、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东0的方向即沿直线CB前往B处救