材料力学简单的超静定问题

1、.EAlFlN .例例 已知已知1、2杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为E3A3，F的大小已知，求各杆内力。的大小已知，求各杆内力。解解: 1: 1、分析分析A结点结点一次超静定问题。一次超静定问题。, 0 xF l, 0yF21NNFFFFFFNNN321 cos)(. l21ll cos31ll cos1111AElFlN3333AElFlN .1332113311332 c o sc o s12c o sNNFFEAE AFFE AEA.装配应力的计算：装配应力的计算：超静定结构中由于加工误超静定结构中由于加工误差，差， 装配产生的应力。装配产生的应力。1l2

2、l3l平衡方程：平衡方程：变形协调条件：变形协调条件：21NNFF cos)(213NNNFFF cos13ll.例例 图示图示AB为刚性梁，为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度均两杆的抗拉（压）刚度均为为EA，制造时，制造时1杆比原长杆比原长l短短 ，将，将1杆装到横梁后，求杆装到横梁后，求两杆内力。两杆内力。解解: :1 1杆伸长杆伸长2 2杆缩短杆缩短装配后各杆变形装配后各杆变形1l 2l 1l 2l 变形协调条件变形协调条件212ll )(.解解: : 分析分析ABBAF1F2FA0221 aFaF物理方程物理方程EAlFl11 EAlFl22 (缩短缩短)变形协调条件变形协调条件21

3、2ll )(lEAF541 (拉力拉力)lEAF522. kNFA85 kNFB15思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离 = 1mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的，上下两段杆的横截面面积分别为横截面面积分别为600mm2和和300mm2。试作杆的轴。试作杆的轴力图力图. 温度应力温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使：超静定结构中，由于温度变化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。构件膨胀或收缩而产生的附加应力。路、桥、建筑物中的伸缩缝设置。路、桥、建筑物中的伸缩缝设置。高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节。高温管道间

4、隔一定距离弯一个伸缩节。工程中不容忽视的温度应力！工程中不容忽视的温度应力！.温度应力的计算：温度应力的计算：lABtl lABFAF温度由温度由1221ttttt ,平衡方程平衡方程0BAFF变形相容条件变形相容条件Ftll tllt 物理方程物理方程.EAlFtLB 温度应力：温度应力：tEAFB 碳素钢线膨胀系数为碳素钢线膨胀系数为06110512C. tEAFB .pGITl 扭转变形计算公式扭转变形计算公式dxGIxTlp)( .例：例： 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受受外力偶矩外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力偶矩。作用，求杆两端的支座反力偶矩

5、。.解：解：mmmAB静力平衡方程为：静力平衡方程为：0ABACCB变形协调条件为：变形协调条件为：maG Im bG IApBp0即：即：Am bmlBm aml.例：图示两端固定的结构，其中例：图示两端固定的结构，其中AB段为实心圆轴，直段为实心圆轴，直径为径为D，BC段为内径为段为内径为d，外径为，外径为D的圆筒，受集中力的圆筒，受集中力偶偶M的作用。试求：的作用。试求：（1）AB段和段和BC段的最大切应力；段的最大切应力；（2）欲使许用力偶）欲使许用力偶M达到最大值，两段长度应满足达到最大值，两段长度应满足什么条件？什么条件？MAMC解：设解：设A、C两端的约束反力偶两端的约束反力偶为

6、为MA、MC由平衡方程有：由平衡方程有：pBCCBCpABAABGIlMGIlM21, )(32,32444dDIDIpBCpAB 其中其中BCABAC 又又)1(CAMMM MABCl1l2.)2(021 pBCCpABABCABGIlMGIlM 由（由（1）、（）、（2）式有：）式有：144241441442424)()(,)(ldDlDMldDMldDlDMlDMCA （1）最大切应力：）最大切应力：)(16,)(161442412max1442422maxldDlDMDlIMldDlDMDlIMpBCDCBCpABDAAB （2）欲使许用力偶达到最大，有：）欲使许用力偶达到最大，有：m

7、axmax BCAB1:121 ll. 用用“多余未知力多余未知力”代替代替“多余多余”约束，约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的静不定梁的相当系统相当系统, ,亦称亦称基本静定系基本静定系。 综合考虑变形的几何方程、力和变形关综合考虑变形的几何方程、力和变形关系可求解系可求解多余未知力多余未知力。. 基本静定系基本静定系1 1 基本静定系基本静定系2 2 超静定问题超静定问题.例：已知例：已知q、l，求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。. 解法一：将支座解法一：将支座B看成多余约束，变形看成多余约束，变形协调条件为：协调条件为：

8、0Bw08343EIqlEIlFB83qlFB. 解法二：将支座解法二：将支座A A对截对截面转动的约束看成多余面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：约束，变形协调条件为：0A 02433EIqlEIlMA82qlMA.例：为了提高悬臂梁例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，的强度和刚度， 用短梁用短梁CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，求相同，求 (1) 二梁接触处的作用力；二梁接触处的作用力； (2)加固前后加固前后B点挠度的比值；点挠度的比值； (3)加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值。梁最大弯矩的比值。.解：解：(1)(1)基本静定系如图基本静定系如图PABCDD1X1X1变形协

9、调条件为：变形协调条件为：1DDwwEIaXwD331.EIPaEIaXEIaPaEIaaXwD6536)5(6)2(3312211.1DDwwEIaXwD331EIPaEIaXwD6533311PX451(2)加固前后加固前后B点挠度变化值（变小）点挠度变化值（变小）EIPaaEIaXEIaXwB24252332131 .(2)加固后加固后B点挠度的变化值（变小）点挠度的变化值（变小）EIPaaEIaXEIaXwB24252332131 EIPawB3830加固前加固前B点挠度为：点挠度为：加固前后加固前后B点挠度的比值点挠度的比值64390001BBBBBwwwww .(3)加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值梁最大弯矩的比值PaM20max加固前加固前AB梁最大负弯矩梁最大负弯矩加固后加固后AB梁最大弯矩梁最大弯矩PaMMD11max最大负弯矩最大负弯矩(思考思考:为何最大负弯矩在为何最大负弯矩在D1处处?).例：图示结构例：图示结构AB梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI，CD杆杆