求动点的轨迹方程

1、求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程(例题，习题与答案)在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型)。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。求动点轨迹的常用方法动点P的轨迹方程是指点P的坐标(x,y)满足的关系式。1 .直接法(1)依题意，列出动点满足的几何等量关系；(2)将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:

2、,动点M到圆C的切线长等与，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解：设动点M(x,y),直线MNI®圆C于N。依题意：，即而，所以MQMO(x-2)+y=x+y-1化简得：x=。动点M的轨迹是一条直线。2 .定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。例题：动圆M过定点P(4,0),且与圆C:相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M(x,y),动圆M的半径为r。xxM与圆C相外切，则有IM。=r+4xxM与圆C相内切，则有IMCI=r-4而IMPI=r

3、,所以IMCI-IMPI=±4动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2,c=4。动点的轨迹方程为:4123.相关点法若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x,y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。解：设M(x,y),A(),依题意有：x=,y=则：x=2x-4,y=2y-3,因为点A()在圆上，所以(2x4)2(2y3)24点M的轨迹方程为：(x2)2

4、(y罚i动点M的轨迹为以(2,)为圆心，1为半径的圆4.参数法例题：已知定点A(-3,0),MN分别为x轴、y轴xx的动点(MN不重合)，且，点P在直线MNxx。求动点P的轨迹C的方程。¥巾解：设N(0,t),P(x,y)直线AN的斜率，因为，所以直线MN勺斜率直线MN勺方程为y-t=,令y=0得x=,所以点M(,0)由，得x=),y-t=,贝Uxt2y2t所以动点P的轨迹方程为：5.交轨法例题：如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。求直线与的交点的轨迹的方程。解：设，由已知得，则直线的方程为，直线的方程为，即y+2=y-2=-两式相乘，消去即得的轨迹的方程为.练习与

5、答案1 .设圆C与圆x2+(y.3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为AA.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆2 .已知圆，圆，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。2L 112(x>0)3 .过点A(4,0)作圆O：x+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。(x-2)+y=4(0<x<1)求动点的轨迹方程4. 已知圆C：+（y-4）=1,动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，且|PM|=|P0|（O为坐标原点）。求动点P的轨迹方程。提示：|P0|=IPM|=3x+4y-12=05. 已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方

6、程。解：动点P到圆C的最短距离为IPC|-1,动点P到圆C的最短距离为|PC|-1,依题意有：IPC|-1=|PC|-1,即IPC|=|PC|所以动点P的轨迹为线段CC勺中垂线。所以动点P的轨迹方程为：2x+y-5=06. 已知双曲线的左、右顶点分别为,点P（），Q（）是双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹E的方程。解：由为双曲线的左右顶点知，两式相乘，因为点在双曲线上，所以，即，故，所以，即直线与交点的轨迹的方程为7.已知曲线与直线交于两点和，且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为.设点是上的任一点，且点与点和点均不重合.若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方

7、程。解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.8 .已知点C（1,0）,点A、B是。Q上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。解：连结CP,由，知ACLBC.|CP|=|AP|=|BP|=,由垂径定理知设点P(x,y),有化简，得到。9 .设椭圆，过点的直线交椭圆于AB,O为坐标原点，点P满足，当绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。解：直线过点，设其斜率为k，则直线的方程为，记，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解，其方程组中消取得点P的坐标为即：点P为，设点P为

8、，则P点的轨迹参数方程为（为参数）消去参数得：当斜率不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，故：动点P的轨迹方程为。10 .设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程。解：两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、，由题意得或，可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则,所以轨迹L的方程为.11 .如图所示，已知P(4,0)是圆内的一点。AB是圆上两动点,且满足，求矩形APBQ勺顶点Q的轨迹方程.解：设R(x,y),依题意，有IOR+|RA|=36，而|RA|=|RP|,所以|OR+|RP|=36,即x2y2(x4)2y236化简得：设Q(X,Y),因为

9、R(x,y)是QP的中点，所以有x=,y=,故化简得：X12 .在平面直角坐标系中，直线交轴于点A,设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足/MPO=AOP当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程。解：如图1,设MQ线段OP的垂直平分线，交。阡点Q,求动点的轨迹方程QMPQAOP,MP1,且|MO|MP|.因此即另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）MQ线段OP的垂直平分线,MPQMOQ.又因此M在轴上，止匕时，记M的坐标为为分析的变化范围，设为上任意点由（即）得，x1-a21.4故的轨迹方程为4(x1),x1,0,x1.13.点M是椭圆上的动点。如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，=0,