GCT_数学__第1章_算术(张乃岳)已整理 已讲

1、GCT-数学基础能力测试 l主讲：张乃岳模块精讲班 第1章 算术GCT 数学考试 考试说明时间：45分钟。满分：100分。题型：单项选择题。共25题，每题4分。 内容介绍（目录）共 25 题初等数学微积分线性代数（15题）（60分）（6题）（24分）（4题）（16分） 如何顺利通过GCT数学考试（强调几点）1、基本概念（清楚）。2、基本计算（熟练）。3、基本解题思路、技巧。 总而言之，基本知识点一定要熟练掌握，另外，基本知识点之间的联系、推理也要重视。第1章 算术一、（整）数的整除二、比和比例三、应用问题举例（约数，倍数；奇数，偶数；质数，合数；最简分数）（行程问题；植树问题；工程问题；分数、

2、百分数应用题；简单方程应用题；比和比例应用题等.）第1章 算术一、（整）数的整除设 为整数,ab若,cba)0(b则称 能被 整除，ba 或 能整除 。ab即,bca 也称 是 的倍数，ba 是 的约数。ba 一个数的约数的个数是有限的， 其中最小的约数为1，最大的约数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的， 其中最小的倍数是它本身。若,dcba)(bd 则.dbca 不整除1、奇数：偶数：不能被2整除的数。能被2整除的数。0，2，4， 奇偶数的性质奇 奇 = 偶偶 偶 = 偶奇 偶 = 奇奇 奇 = 奇偶 偶 = 偶奇 偶 = 偶例 设 都是自然数，且 是偶数，则（ ）.A. B. C. D

3、. ba,Dab与 都是奇数ab与 都是偶数ab与 一个是奇数，一个是偶数ab前三个选项都不对解自然数：,0,2, 132、质数（素数）：只有1和它本身两个约数的数。合数： 除了1和它本身，还有其他的约数的数。 “1” 既不是质数，也不是合数。 最小的质数为2，最小的合数为4。 质数与合数的关系：每个合数都可以写成若干个质数相乘，这几个质数都叫做这个合数的质因数。13322156 奇数 质数？ 偶数 合数？例 最小的质数与最大的两位数合数 相乘的积是（ ）B99A. B. C. D. 19898196补用16m长的绳子围成一个长方形的长和宽均为质数，则长方形的面积为 （ ）.A. 7B. 12

4、C. 15D. 16解ababS 8 ba62 53 44 C长和宽分别为3、53、能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数.能被5整除的数的特征：能被3整除的数的特征：个位上是0，5的数.各位上数的和能被3整除.4、几个数的最小公倍数：几个数的最大公约数：40 60104 62 2 35、互质数公约数只有1的两个数，叫互质（素）数。例 2，3互质；8，9互质 6、最简分数（既约分数）分子与分母互质的分数。例 但 不是。,97,79,53156二、比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。即ba :ba 又叫 ，ab比的前项比的后项比也可以写成分数的形式。ba 除、比、分数三者是相通的

5、。比例：表示两个比相等的式子。记作：dcba:或,acababcdbdcdbd比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。bcad 即正比例：反比例：设 是两个相关联的量，yx,若 （一定），则称 与 成正比例。kxyyx若 （一定），则称 与 成反比例。kxy yx1、若 一定，则称 与 成正比例。tsv2、若 一定，则称 与 成反比例。tsv 若甲乙两人同时出发.若甲与乙的速度比为 ，2:3则其走过的路程比为.2:3 若甲乙两人走同样的路程.若甲需用30分钟，乙需用40分钟，则其速度比为.3:4tvs例（08年）已知,53ba,97cb,25cd则da=（ ）.A. B. C.

6、 D. 7514751414751475解Adccbba)52()97()53(.7514（2011年）若,20ba,10cbcbba则的值为（ ）.A. B. C. D. 211111212111011210D解法一法二由题知,20 ba cb10ca200cbba故cccc1010200.11210（特殊值法）令令1c则,10b200a.11210cbba故法三 （先求出 和 ）ba cb ba121bbabba21cb111ccbccb11cbbacb1121.11210111021cc三、应用问题举例1、行程问题a、相遇问题路程 速度 时间甲乙若甲、乙同时相向而行，则说明： 相遇时两人

7、所用的时间相同； 在这段时间内，两人一起走完全程。（相当于另一人用两人的速度和走完全程） 常已知：,S,v甲v乙可求：. tvvSt甲乙b、追及问题S乙甲 从甲开始追乙到追上，两人所用的时间相同； 在这段时间内，甲比乙要多走一段路。v甲v乙 常已知：,S,v甲v乙可求：. tvvSt甲乙 行程问题常涉及比和比例应用题、分数应用题。 常已知：,S甲乙. t例 两地相距45 ,甲、乙两人同时从 地 A BAkm出发到 地去。甲骑自行车每小时行15 ，乙步行BBkm每小时行5 。甲到 地后停留了2 再返回 地，kmhA途中与乙相遇，相遇时乙走过的路程是多少？解甲乙BAkm45相遇甲乙h5 后km25

8、v乙v甲=15= 51)515(20)(h故相遇时乙走过的路程为：30525km例 甲、乙两队同时开凿一条长600 的隧道。m甲队从一端起，每天掘进9 ；乙队从另一m端起，每天比甲队少掘进3 。两队在距隧道中远的点多地方会合？m解m600甲乙v乙v甲= 9= 640)69(600（天）60300409)(m例一卡车从甲地驶向乙地，每小时行60 ，另km一卡车从乙地驶向甲地，每小时行55 。两车同时km出发，在离中点10 处相遇。甲、乙两地之间的距离km为（ ）km.kmA. B. C. D. 115230345460D解法一km10甲乙v乙v甲= 60= 55中点相遇时甲比乙多走了20相遇用的

9、时间：4)5560(20)(h故两地之间的距离为：4)5560(460)(km法二（列方程）5510260102xx例 甲、乙两车同时从 地出发去 地，甲车到达地后立即返回，在离 地45 处与乙车相遇，甲、乙两车速度比是 ，求 两地的路程。2:3ABBBkm2:3BA,解法一甲乙BA相遇km45v乙v甲:23S甲S乙1份为：90245)(km22545180BA,两地的路程为：)(km法二（列方程）453=452SS相 遇 问 题 ： 路 程 之 比速 度 之 比设相遇时乙走了 kmS180SaSaS2390例 甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从 区去区，甲需用30分钟，乙需用40分钟。如果乙

10、比甲早出发5分钟去 区，则甲出发后经（ ）分钟可以（07年）ABB)401301(81追上乙？A. B. C. D. 25201510C解法一甲乙BA301v乙v甲4018115解法二甲乙BAv甲v乙304034v甲,4av乙a3aaat343515解法三设甲出发后经 分钟可以追上乙，则tv甲v乙3040tt515t一定S例 甲、乙两车分别从 两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时。当甲车驶到 两地路程的 再前行50千米时与 BA,km5031,31BA,乙车相遇， 两地的路程是（ ）千米。 BA,解BAA. B. C. D. 225220215210A甲乙50v

11、乙v甲40s甲s乙405045设 两地的路程是 千米，则 BA,x9550)3195(x解之225x处例 设A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一一公路相向匀速行驶，两车第一次相遇于距甲地20公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原速（2011年）S原路返回，途中第二次相遇距乙地10公里处，则甲、乙A. B. C. D. 35404550D两地相距（ ）公里.解乙BA甲122010设StS（ 一定， 与 成正比）v第一次相遇第二次相遇v甲v乙1020sv甲v乙ss4020sss40201020解之20S2、植树问题a.路线不封闭棵数 段数棵数 段数 + 1棵数 段数 1 （最基本）

12、b.路线封闭棵数 段数 路线的封闭性，是一端植树还是两端植树，还是道路两旁植树。例 在圆形水池边栽树，把树栽在距岸边均为5m的圆周上，每隔4m栽一棵，共栽157棵。求圆形水池的周长约是多少？解5m4mC大1574 628)(mdCd大 628200)(md小 d大25 190)(mC小故d小19014.36.596)(m例 在一条长3600m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40m原已挖好一个坑，现改为每隔60m立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）.（04年）A. B. C. D. 5040和4050和3060和6030和D解40 801206012040和60的最小公

13、倍数为120只要搞清120m道路上的情况即可在120m长的公路上，需挖坑：1个；填坑：2个。301203600又在3600m长的公路上，需挖坑：30个；填坑：60个。3、火车过桥问题（解释一下）人走桥例 在有上、下行的轨道上，两列火车相对开来。甲车的车身长235m，车速为25m/s；乙车的车身长215m，车速为20m/s。求这两列火车从车头相遇到车尾离开需要多长时间？解10)2025()215235()(s例 一列火车长240m，车速为30m/s,在通过一座桥时，从车头上桥到车尾离桥共用了20s。这座桥的长度是（ ）m。A. B. C. D. 240360600840B解桥火车长+桥长为：60

14、02030)(m桥长为：360240600)(m4、行船问题路程 速度 时间其中涉及到的速度有：,v逆,v顺v静,v水v顺v静v水v逆v静v水关系：例 从甲地到乙地的水路有120 ，水流速度为5 。一艘轮船在静水中的航速为15 ，它在甲、乙两地之间往返一次需要多少时间？kmhkm /解v静v水515甲乙120kmv逆v顺,2010181012020120)(hhkm /5、工程问题（类似于行程问题）工作量 工作效率 工作时间特点：将工作总量看成单位 “1”。例 有一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队单独做，又用了6天才完成。这个工程由丙队单独

15、做需要多少天8)301241(完成？解甲队的工作效率为：,241乙队的工作效率为：30116 15（天）例 一项工程，甲独立做甲独立做3030天可以完成天可以完成，乙独立做20天可以完成。甲先先做了若干天后，由乙接着做完，这样甲、乙二人合起来共做了2222天。问甲、乙二人各做了多少天？ 解甲的工作效率为：,301乙的工作效率为：201设甲做了 天，x则乙做了 天，)22(x1202230 xx解之，得6x（天）例 某项工程8个人用35天完成了全工程量 ，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的的天数是（ ）.（05年）C31A. B. C. D. 18354060解31设完成剩余的工程还需

16、要 天，则xx14)358(240 x（天）6、分数、百分数应用题例 一个最简分数，分子与分母的和为50，如果分子和分母都减去5，得到的分数是2/3，这个分数原来是多少？解设此最简分数为,ba则由题意得50 ba3255ba解之，得,21a29b所求的最简分数为：2921例 有一个正的既约分数，其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子与分母的乘积等于（ ）A. B. C. D. 24303236D解设此既约分数为,ba则baba5424)24()54(abba既约分数为：94ba24545424ba94例 一个书架分上、下两层，共放书360本。如果把上层本数的1/10

17、放入下层，则上、下层的本数正好相等。求上、下层原来各放书多少本？解101180本设上层原来有 本xx109180 解之，得200 x（本）则例 某工厂月产量3月份比2月份增加10%，4月份 比3月份减少10%，那么（ ）。（03年）aA. 4月份与2月份产量相等 B. 4月份比2月份产量增加 1/99 C. 4月份比2月份产量减少 1/99 D. 4月份比2月份产量减少 1/100 解设2月份产量为 ，则D3月份产量为 ，4月份产量为 %)101( aa1.1%)101(1.1aa99.0可见，4月份产量比2月份减少aa99.0a1001例 某股民用30000元买进甲、乙两种股票，在甲股票下跌

18、10%，乙股票升值8%时全部卖出，赚得（2011年）钱数的比例为（ ）.C1500元，则该股民原来购买的甲、乙两种股票所用A. B. C. D. 3:22:31:55:1解设该股民原来购买甲股票 元，乙股票 元，则xy30000 yx150030000)%108%90(yx解之，得,5000 x.25000yyx :.5:17、比和比例应用题例 两筐水果共重130 ,若将甲筐水果的1/6装入乙筐后，甲、乙两筐水果的重量比为 ，原来两筐水果各重多少？kg6:7解6170kg137130 70kg设甲筐水果原来重 ，则xkg7065x解之，得84x)(kg例 一个直角梯形的周长是48 ，两底之和与

19、两腰之和的比是 ，一条腰与另一条腰的比是 ，求这个梯形的面积。S1:2cm5:3解梯2)(hba两底之和：323248)(cm两腰之和：16)(cm高：68316h)(cm2632 96)(2cm6例 两堆煤共重76.5 。第一堆运走4/5，第二堆运走3/4后，剩下的两堆煤正好相等。第一堆煤原来有（ ） 。 yx :ttA. B. C. D. 3034385.42D解设原来第一堆煤重 吨 ，第二堆煤重 吨，则x955.76x)(tyx51y414:5故5.42例 若某单位员工的平均年龄为45岁，男员工的平均年龄为55岁，女员工的平均年龄为40岁，则该单位男、女员工人数之比为（ ）。（2010年

20、）A. B. C. D. 3:22:31:22:1解C平均年龄人数年龄和设男员工有 人 ，女员工有 人，则xy 全体员工年龄和：)(45yx 男员工年龄和：x55女员工年龄和：y40yxyx4055)(45故2:1:yx8、简单方程应用题（浓度）例 要从含盐16%的40 盐水中蒸去水分，制出含盐20%的盐水，应当蒸去多少水分？解kg设应当蒸去水分 ，则xkg%1640 %20)40( x（根据蒸去水分前后所含的纯盐量相等列方程）解之，得8x)(kg例 把浓度为50%的酒精溶液90千克全部稀释为 浓度为30%的酒精溶液，需要加水（ ）千克？（08年）A. B. C. D. 607085105解设

21、需要加水 ，则xkg%5090 %30)90( x解之，得60 x)(kgA例 一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二（06年）A. B. C. D. 55.2345.24Ba次仍倒出 升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均匀，a此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（ ）升。解第一次倒出 升酒精后，剩纯酒精：aa10加水后，浓度为：1010a第二次倒出 升溶液后，剩纯酒精：a)10(aaa1010)10(aaa10)10(101004949)10(2 a3a9、和、差问题已知两个数的和与差，求这两个数。小数大数（和+差） 2 = 大数1

22、0、和倍问题差倍问题和 （倍数 + 1）= 小数差 （倍数 - 1）= 小数 从倍数入手，先求小数。补两条长度相同的绳索，一条截掉16m一条接上14m后，长绳长度正好是短绳的4倍，则两条绳索A. 20B. 24C. 26D.30C原来的长度是（ ）.解16m14m10)14(30差倍问题)(m两条绳索原来长：261610)(m11、年龄问题是 “和差问题、“和倍问题”、“差倍问题”的综合。 两人的年龄差不变。 每人都长。 统一时间段。例 母女俩今年的年龄共35岁，再过5年，母亲的年龄是女儿年龄的4倍。母女俩今年各多少岁？解再过5年，和：45倍数：4再过5年，女儿的年龄：9)14(45（岁）故今年女儿的年