导数在研究函数中的应用.

1、普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社 函数在某点处的导数的几何意义为函数图象函数在某点处的导数的几何意义为函数图象在该点处切线的斜率，它量化了曲线经过该点时在该点处切线的斜率，它量化了曲线经过该点时上升或下降的上升或下降的“变化趋势变化趋势” 因此函数的导数刻画了可导函数在整个定义因此函数的导数刻画了可导函数在整个定义域内的变化的趋势域内的变化的趋势(上升或下降的陡峭程度上升或下降的陡峭程度)，而，而函数的单调性也可

2、以刻画函数的此种性质函数的单调性也可以刻画函数的此种性质那么导数与函数的单调性有什么联系？那么导数与函数的单调性有什么联系？普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社结论结论: 由函数的图象观察，当函数的图象上升时，各点处切线的斜率或增大或减小，但均为正值；而当函数的图象下降时，各点处切线的斜率则均为负值普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社数学理论数学理论 一般的，设可导函数一般的，设可导函数yf(x)，如果，如果在某区间上在某区间上f(x)0，那么函数，那么函数f(x)为该为该区间上的单调增函数；如

3、果区间上的单调增函数；如果f(x)0，那，那么函数么函数f(x)为该区间上的单调减函数为该区间上的单调减函数 普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社数学应用数学应用 请借助于导数说明下列函数的单调性：请借助于导数说明下列函数的单调性：1函数函数yx2；2函数函数y2x1 普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社例例1 利用函数的导数确定函数利用函数的导数确定函数f(x)x24x3 的单调增、减区间的单调增、减区间例例2 确定函数的确定函数的f(x)2x36x27的单调区间的单调区间例例3 确定函数确定

4、函数f(x)sinx，x0，2 的单调区间的单调区间普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社例例5 已知函数已知函数f(x)ax33x2x1是是R上的单调上的单调 减函数，求实数减函数，求实数a的取值范围的取值范围普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社作业：作业：29 练习练习3，34 习题习题2普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社极大值与极小值极大值与极小值普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社 观察图

5、象，不难发现，函数观察图象，不难发现，函数图象在图象在P点处从左侧到右侧由点处从左侧到右侧由“上升上升”变为变为“下降下降”（函数由（函数由单调增变为单调减）单调增变为单调减） 在在P点附近，点附近，P点的位置最高，亦即点的位置最高，亦即f(x1)比它比它附近点的函数值都要大我们称附近点的函数值都要大我们称f(x1)为函数的一个为函数的一个极大值，相应地，称极大值，相应地，称x1为函数的极大值点为函数的极大值点 类似地，图中类似地，图中f(x2)为函数的一个极小值，为函数的一个极小值，x2为函为函数的极小值点数的极小值点 函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大函数的极大值、极小值统称为函数

6、的极值，极大值点、极小值点统称为函数极值点值点、极小值点统称为函数极值点yxOa x1by = f(x)P(x1, f(x1)x2普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社例例1 求函数求函数f(x)x2x1的极值的极值例例4 已知函数已知函数f(x)ax3bx2cx (a0)在在x1时取得极值，且时取得极值，且f(1)1例例5 研究函数研究函数yx的极小值和此时的导数的极小值和此时的导数普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社小结：小结：1对可导函数而言，导数为零的点是该点为极值点的对可导函数而言，导数

7、为零的点是该点为极值点的 条件条件必要不充分必要不充分 求求f(x)0，解得，解得xx0； 列表判断函数在列表判断函数在xx0两侧的单调性；两侧的单调性； 判断极值点，并求极值判断极值点，并求极值2求极值的步骤：求极值的步骤：普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社3函数的极值是函数的局部性概念，体现了函数函数的极值是函数的局部性概念，体现了函数在某一点附近的情况，极值点是区间内部的点，在某一点附近的情况，极值点是区间内部的点，而不是区间的端点；且极大值与极小值没有必然而不是区间的端点；且极大值与极小值没有必然的大小关系的大小关系4一般的，当函数一

8、般的，当函数f(x)在某个区间上连续且有有限在某个区间上连续且有有限个极值点时，函数的极大、极小值点时交替出现个极值点时，函数的极大、极小值点时交替出现的的xa x1x2x3x4x5b普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社作业：作业：131 练习练习1234 习题习题3普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社最大值与最小值最大值与最小值普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社 函数函数f(x)在在x0处取极大值，是指在处取极大值，是指在x0附近附近f(x0

9、)比其比其它函数值都大，极大值是相对函数定义域内某一局部它函数值都大，极大值是相对函数定义域内某一局部而言的而言的 如果如果在函数定义域在函数定义域I内内存在存在x0，使得对任意的，使得对任意的x I，总有总有f(x)f(x0)，则称则称f(x0)为函数在定义域上的最大为函数在定义域上的最大值值 同样的，极小值也是研究函数在定义域内的某一局同样的，极小值也是研究函数在定义域内的某一局的性质的性质 如果如果 存在存在x0，使得对任意的，使得对任意的x I，总有总有f(x)f(x0)， 最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，则最大值惟一最大值，

10、则最大值惟一普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社观察函数观察函数y = f(x)，x a，b的图象：的图象： f(x2)，f(x4)是极大值，而函数的最大值是是极大值，而函数的最大值是f(b)类似地，类似地，f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，而函数的最是极小值，而函数的最小值是小值是f(x3)xa x1x2x3x4x5b普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社函数是否一定有最大值，最小值？函数是否一定有最大值，最小值？最值一般出现在哪里？如何求函数的最值？最值一般出现在哪里？如何求函数的最

11、值？ 求函数最值的步骤：求函数最值的步骤： 求函数的极值；求函数的极值； 求函数端点处的函数值求函数端点处的函数值f(a)，f(b) ； 比较极值与端点值比较极值与端点值f(a)，f(b) ，求出函数的最值，求出函数的最值最值出现在极值点，或区间的端点处最值出现在极值点，或区间的端点处普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社例例1 求求f(x)x24x3在区间在区间1，4上的最值上的最值例例2 求求f(x)xsinx在区间在区间0，2 上的最值上的最值普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社1函数函数f

12、(x)的图象在区间的图象在区间a，b上连续，且函数单调上连续，且函数单调递减，则递减，则f(x)在在a，b上的最大值为上的最大值为_，最小值，最小值为为_2函数函数f(x)x33xa，当，当x，时，函数时，函数f(x)的最小值为的最小值为1，则，则a的值为的值为 3若函数若函数f(x)x33xa在区间在区间0，3上的最大值上的最大值与 最 小 值 分 别 为与 最 小 值 分 别 为 M ， N ， 则， 则 M N 的 值的 值为为 4对任意对任意x，均有，均有f(x)4x3，且，且f(x)在在0，1上的最上的最大值为大值为1，则函数，则函数f(x)解析式为解析式为 普通高中课程标准实验教科

13、书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社作业：作业：133 练习练习2，3 234 习题习题4普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学(选修21