随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性

1、随机过程1234平稳性平稳性遍历性遍历性正交性、不相关性与独立性正交性、不相关性与独立性正正态随机过程的主要性质态随机过程的主要性质随机过程的平稳性判断判断方法方法：平稳性：若一个函数 ，当 ，的特性不变，就称 关于 函数是平稳的。),(tzyxfxxx),(tzyxf),(tzyxfx实际意义实际意义： 具有平稳性的随机信号能够保持一个规律的状态，具体到信号处理这就便 于我们检测系统是否混入干扰。平稳随机过程，它的统计特性不随时间的推移而变化。方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。

2、)(tXEk随机过程的平稳性 平稳过程平稳过程分为严平稳过程（Strictly Stationary）和弱平稳过程（weakly Stationary）。 严严平稳过程平稳过程 也称为狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程，随机过程的统计特性不随事件的推移而变化。宽宽平稳过程平稳过程 数学期望和方差不随时间和位置变化的随机过程，即弱平稳过程的条件是：（1）均值函数在所有时间上恒为常数；（2）对于所有时间t和和时滞k，自协方差相同。严平稳与宽平稳的关系： 严格平稳严格平稳 广义平稳广义平稳一定一定不一定不一定当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等

3、价的。随机过程的遍历性实际意义实际意义：随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下，从一次试验中得到来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经性，又称遍历性。定义定义：假设是平稳过程的任意一次实现（样本），由于它是时间的确定函数，可以求得它的。其时间平均值和分别定义为221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( ) ()TTTRx t x tx t x tdtT随机过程的遍历性221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( )

4、 ()TTTRx t x tx t x tdtT如果平稳过程使下式成立( )( )aaRR也就是说，平稳过程的统计平均值等于它的任意一次样本实现的时间平均值，则称该平稳过程具有各态历经性。注意：具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。正交性、不相关性与独立性 1. 正正交交性性：定义 为相关函数，若 则称XY正交 eg:sinx与cosx 注意：相关函数为0，不是不相关，而是正交。 2.不相关不相关性性：定义 协方差函数 若 ，即相关系数为0，则称之为不相关； 注意：不相关只是说二者没有线形关系，但并不代表没有任何关系。 3.独立性独立性：就用他们的概率分布函数或密度来表达，联

5、合分布等于他们各自分布的乘积，独立的定义是 ，就称独立。0R 0XC( , )( ) ( )F x yF x F y正交性、不相关性与独立性三者之间的关系（1）X与与Y独立独立,则则X与与Y一定不相关一定不相关。例如：如果 ，则 即X,Y不相关。相反，如果如果X与与Y不相关，则不相关，则X与与Y不一定独立不一定独立。不相关和相互独立一般不等价，只有当过程为高斯过程时才成立高斯过程时才成立。相关性描述的是两个随机变量之间是否存在线性关系，而独立性考察的则是两个随机变量间是否存在某种关系，因此独立的条件要比不相关严格。( , )( )( )F x yF x F y ( ) ( )( )( )E X

6、 t Y tE X tEY t（2）若这两个随机过程正交正交，则 =0，两个正交的随机过程并非一定能推得不相关或独立不相关或独立的结论。仅当数学期望Ex(t)或Ey(t)等于零的时候，这两个正交的随机过程才会不相关。正态随机过程的主要性质正态随机过程的主要性质性质：性质：1.正态过程是二阶矩二阶矩过程。2.一个高斯过程完全由它的均值函数和协方差函数均值函数和协方差函数决定，只要均值函数m(x)和协方差函数Bx(s,t)(或相关函数Rx(s,t)确定了，这个高斯过程也就完全确定了。3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征统计特征，如：高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。如果高斯过程的时间进程中两个不同